Ejercicios: Teorema de Pitágoras

En un entrenamiento de fútbol, un jugador corre en línea recta desde una esquina del campo hasta la esquina opuesta. Si el campo mide $80$ metros de largo y $60$ metros de ancho, ¿qué distancia recorre el jugador en su carrera diagonal?

Una escalera de tijera abierta tiene una altura vertical de $2,4$ metros. Si la distancia entre las patas apoyadas en el suelo es de $1,4$ metros, ¿cuánto mide cada uno de los brazos de la escalera? Ayuda: Fíjate que la altura divide la escalera en dos triángulos rectángulos iguales.

Comprueba si un triángulo cuyos lados miden $7$ cm, $10$ cm y $12$ cm es un triángulo rectángulo. Para ello, verifica si se cumple la igualdad del Teorema de Pitágoras entre sus lados.

Queremos colocar un cable desde la parte más alta de una antena de telefonía de $12$ metros de altura hasta un punto de anclaje situado en el suelo, a $9$ metros de la base de la antena. ¿Qué longitud debe tener el cable para que quede totalmente estirado?

Halla la longitud del lado desconocido ($c$) en el siguiente triángulo rectángulo, sabiendo que la hipotenusa mide $13$ cm y uno de los catetos mide $5$ cm.

Las pantallas de televisión se miden por su diagonal en pulgadas. Si una televisión tiene una anchura de $32$ cm y una altura de $24$ cm, ¿cuántos centímetros mide su diagonal?

Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden $16$ cm y $12$ cm. Recuerda que las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio, formando cuatro triángulos rectángulos.

Un faro proyecta una luz que llega hasta un barco. El faro tiene una altura de $30$ metros y el barco se encuentra a una distancia horizontal de $40$ metros de la base del faro. ¿Cuál es la distancia directa entre la bombilla del faro y el barco?

Para asegurar una red de voleibol en el patio del instituto, se ha colocado un cable tensor desde la parte superior de un poste hasta un anclaje en el suelo. El poste tiene una altura de $2,4$ metros y la distancia desde la base del poste hasta el anclaje es de $1,8$ metros. Si queremos poner un cable idéntico en otro poste que es una ampliación a escala $k = 1,5$ del primero, ¿cuánto medirá el nuevo cable tensor?

Una pantalla de smartphone de formato rectangular tiene una altura de $12\text{ cm}$ y una anchura de $5\text{ cm}$. Una tablet es semejante al smartphone y su lado menor mide $15\text{ cm}$. Calcula primero la diagonal del smartphone usando el Teorema de Pitágoras y, después, utiliza la razón de semejanza para hallar la diagonal de la tablet.

Un carpintero está diseñando dos estanterías triangulares semejantes para las esquinas de una habitación. La estantería pequeña tiene dos lados (catetos) de $30\text{ cm}$ y $40\text{ cm}$. La estantería grande tiene un perímetro de $240\text{ cm}$. ¿Cuánto mide el lado más largo (hipotenusa) de la estantería grande?

En un parque hay una rampa para skates que vista de perfil forma un triángulo rectángulo. La base de la rampa mide $4\text{ metros}$ y la altura máxima es de $3\text{ metros}$. A una distancia de $1,6\text{ metros}$ de la base, se ha colocado un soporte vertical de refuerzo.

• a) Calcula la longitud total de la rampa (la parte inclinada).

• b) Usando la semejanza de triángulos, calcula la altura del soporte vertical.

Un jardín tiene forma de triángulo isósceles. Sus dos lados iguales miden $13\text{ metros}$ y el lado desigual (la base) mide $10\text{ metros}$. Queremos construir una maqueta de este jardín que sea una reducción y cuya base en la maqueta sea de $20\text{ cm}$. Calcula:

• a) La altura real del jardín.

• b) El área que ocupará la maqueta en $\text{cm}^2$.

Dos edificios proyectan su sombra a la misma hora del día. El edificio A tiene una altura de $15\text{ metros}$ y su sombra mide $12\text{ metros}$. El edificio B está a su lado y proyecta una sombra de $20\text{ metros}$.

• a) ¿Cuál es la altura del edificio B?

• b) Si unimos la parte más alta de cada edificio con el extremo de su sombra, se forman dos triángulos rectángulos. Calcula la longitud de esas líneas imaginarias (hipotenusas) para ambos edificios.

Calcula el área de un hexágono regular de lado $8\text{ cm}$. Recuerda que un hexágono regular se puede dividir en seis triángulos equiláteros. Deberás usar el Teorema de Pitágoras para hallar la apotema del hexágono antes de calcular su área total.

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos que miden $9\text{ cm}$ y $16\text{ cm}$.

• a) Calcula la altura del triángulo usando el Teorema de la Altura.

• b) Una vez hallada la altura, utiliza el Teorema de Pitágoras para calcular cuánto miden los dos catetos del triángulo original.

Un servicio de mensajería utiliza cajas de cartón con forma de ortoedro (prisma rectangular). Una de sus cajas más grandes tiene unas dimensiones de $60\text{ cm}$ de largo, $45\text{ cm}$ de ancho y $30\text{ cm}$ de alto. Un cliente necesita enviar un tubo rígido que mide exactamente $82\text{ cm}$.

Utiliza el Teorema de Pitágoras para determinar si el tubo cabe dentro de la caja (colocándolo de forma diagonal uniendo dos vértices opuestos del espacio interior) y justifica tu respuesta con los cálculos necesarios.

Un arquitecto ha diseñado una cristalera con forma de triángulo isósceles cuya base mide $12\text{ m}$ y sus lados iguales miden $10\text{ m}$ cada uno. Por motivos de iluminación, necesita colocar un travesaño horizontal exactamente a la mitad de la altura del triángulo.

Calcula primero la altura total de la cristalera usando el Teorema de Pitágoras y, posteriormente, utiliza la semejanza de triángulos para hallar la longitud del travesaño horizontal.

Una empresa de publicidad ha creado una lona con forma de rombo para cubrir la fachada de un edificio. Las diagonales del rombo miden $16\text{ m}$ y $12\text{ m}$. Quieren fabricar una réplica a escala para una oficina cuya razón de semejanza con respecto a la original es $k = 0,25$.

Calcula el perímetro de la lona original (usando Pitágoras para hallar el lado) y, a partir de ese dato, determina el perímetro y el área de la réplica pequeña sin necesidad de calcular sus lados uno a uno.

Un dron está sobrevolando un terreno llano a una altura de $120\text{ m}$. En un momento dado, su cámara detecta la parte superior de una torre de control. Los sensores indican que la distancia en línea recta (diagonal) desde el dron hasta la cima de la torre es de $150\text{ m}$. Si sabemos que la sombra de la torre en ese mismo instante mide $18\text{ m}$, calcula:

1. La distancia horizontal en el suelo desde el dron hasta la vertical de la torre.

2. La altura de la torre de control utilizando la semejanza entre la torre y su sombra, sabiendo que los rayos del sol inciden con un ángulo que hace que un poste de $2\text{ m}$ proyecte una sombra de $1,2\text{ m}$.

Un jardín tiene forma de hexágono regular de $8\text{ m}$ de lado. Se quiere instalar un sistema de riego circular que cubra exactamente hasta los puntos medios de cada lado (es decir, el círculo inscrito en el hexágono).

1. Calcula el radio de dicho círculo (apotema del hexágono) utilizando el Teorema de Pitágoras.

2. Si un plano del jardín está hecho a escala $1:200$, ¿cuál será el área del hexágono en el plano en $\text{cm}^2$?

Dos edificios verticales están separados por una distancia de $16\text{ m}$. El edificio A mide $24\text{ m}$ de altura y el edificio B mide $36\text{ m}$. Se quiere tensar un cable de fibra óptica que vaya desde la azotea del edificio A hasta la azotea del edificio B.

1. ¿Qué longitud mínima debe tener el cable?

2. Si un técnico se sitúa en el cable a una distancia horizontal de $4\text{ m}$ del edificio A, ¿a qué altura sobre el suelo se encuentra en ese punto? (Utiliza semejanza de triángulos).

Se tiene una pirámide cuadrangular regular cuya base es un cuadrado de $10\text{ cm}$ de lado. La altura de la pirámide (desde el centro de la base al vértice superior) es de $12\text{ cm}$.

1. Calcula la altura de una cara lateral (apotema de la pirámide) usando Pitágoras.

2. Si construimos una pirámide semejante más pequeña con una razón de semejanza $k = 0,5$, calcula el volumen de la pirámide pequeña sabiendo que el volumen de la original es $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área base} \cdot \text{Altura}$.

En un parque, un columpio está formado por dos postes metálicos que se cruzan formando una "X". Los pies de los postes están separados $3\text{ m}$ en el suelo. Los postes miden $5\text{ m}$ cada uno y se cruzan exactamente a una altura de $2\text{ m}$ sobre el suelo.

Calcula la distancia entre los extremos superiores de los postes utilizando las propiedades de la semejanza (triángulos en posición de Tales) y el Teorema de Pitágoras para hallar las distancias auxiliares necesarias.

Aquí tienes una propuesta de 8 ejercicios de nivel medio para alumnos de 2º de ESO, integrando los conceptos de semejanza y el Teorema de Pitágoras con contextos actuales y visuales.