Ejercicios: Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Un diseñador gráfico tiene una fotografía rectangular de $10 \text{ cm}$ de ancho y $15 \text{ cm}$ de alto. Si decide ampliarla para hacer un cartel de modo que el nuevo ancho sea de $40 \text{ cm}$, ¿cuánto medirá la altura del cartel si ambas figuras deben ser semejantes?

En el plano de una urbanización, la escala utilizada es $1:500$. Si la piscina comunitaria mide $3 \text{ cm}$ de largo en el plano, ¿cuál es su longitud real expresada en metros?

Dos cuadrados son semejantes. El lado del primero mide $4 \text{ cm}$ y el lado del segundo mide $12 \text{ cm}$. Calcula la razón de semejanza $k$ y explica cuántas veces es mayor el área del segundo cuadrado respecto al primero.

A una hora determinada del día, un poste vertical de $2 \text{ m}$ de altura proyecta una sombra de $1,5 \text{ m}$. En ese mismo instante, la sombra de una torre eléctrica cercana mide $12 \text{ m}$. Aplicando el teorema de Tales, calcula la altura de la torre.

Una tablet tiene una pantalla rectangular cuyas dimensiones son $24 \text{ cm}$ de base y $7 \text{ cm}$ de altura. Calcula la medida de su diagonal aplicando el teorema de Pitágoras.

El tejado de una caseta de jardín tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $6 \text{ metros}$ y los lados iguales miden $5 \text{ metros}$ cada uno. Calcula la altura del tejado.

Para asegurar una antena de radio, se ha colocado un cable tensor desde su parte más alta hasta el suelo. Si la antena mide $12 \text{ m}$ de altura y el cable se amarra al suelo a una distancia de $5 \text{ m}$ de la base, ¿qué longitud tiene el cable?

Calcula el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden $16 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. (Pista: Recuerda que las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio, formando cuatro triángulos rectángulos iguales).

Un grupo de alumnos de 2º de ESO quiere calcular la altura de la canasta del patio sin utilizar una escalera. En un momento determinado, Luis, que mide $1,60 \text{ m}$, proyecta una sombra de $0,80 \text{ m}$. Si en ese mismo instante la sombra de la canasta mide $1,52 \text{ m}$, ¿cuál es la altura de la canasta? Dibuja un esquema de la situación identificando los triángulos semejantes.

En el plano de una habitación a escala $1:50$, las dimensiones de una mesa de estudio rectangular son $2,4 \text{ cm}$ de ancho y $3,6 \text{ cm}$ de largo.

1. Calcula las dimensiones reales de la mesa en metros.

2. Si el área real de la habitación es de $12 \text{ m}^2$, ¿cuál es el área que ocupa la habitación en el plano expresada en $\text{cm}^2$?

Marta ha comprado una televisión de $50$ pulgadas. Sabiendo que $1$ pulgada equivale a $2,54 \text{ cm}$, la diagonal de la pantalla mide exactamente $127 \text{ cm}$. Si la anchura de la televisión es de $110 \text{ cm}$, ¿cuál es la altura de la pantalla? Utiliza el teorema de Pitágoras y redondea el resultado a las décimas.

Una antena de telefonía de $12 \text{ m}$ de altura se sujeta al suelo con dos cables tensores que parten de su extremo superior. Cada cable está anclado a una distancia de $5 \text{ m}$ de la base de la antena.

1. ¿Cuál es la longitud total de cable necesaria para sujetar la antena?

2. Si queremos colocar otra antena semejante cuya altura sea de $18 \text{ m}$, ¿a qué distancia de la base deberíamos anclar los cables para que la estructura siga siendo proporcional?

Calcula el perímetro y el área de un hexágono regular cuyo lado mide $8 \text{ cm}$. Para hallar el área, recuerda que primero debes calcular la apotema utilizando el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos equiláteros que forman el hexágono.

Un carpintero está diseñando una estantería que tiene forma de triángulo rectángulo. Ha colocado una balda intermedia paralela a la base. La altura total de la estantería es de $150 \text{ cm}$ y la base mide $90 \text{ cm}$. Si la balda intermedia está situada a una altura de $60 \text{ cm}$ desde la base:

1. ¿Cuánto mide la longitud de dicha balda intermedia?

2. ¿Qué longitud tiene el listón inclinado que forma la hipotenusa de la estantería completa?

Se ha fabricado una maqueta de un monumento utilizando una escala $1:250$. Si el monumento real tiene un volumen de $1500 \text{ m}^3$, calcula el volumen de la maqueta en decímetros cúbicos ($\text{dm}^3$). Recuerda la relación entre la razón de semejanza y la razón de los volúmenes.

Para salvar un pequeño barranco en un circuito de aventuras, se ha instalado una tirolina de $25 \text{ m}$ de longitud. El punto de salida está en una torre a $18 \text{ m}$ de altura y el punto de llegada está en otra plataforma a $3 \text{ m}$ de altura. ¿Cuál es la distancia horizontal que separa ambas estructuras?

Un gamer quiere guardar su teclado mecánico de $52\text{ cm}$ de largo dentro de una caja de transporte que ha comprado. La caja es un ortoedro con unas dimensiones internas de $48\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $10\text{ cm}$ de alto. ¿Podrá el teclado caber en la caja si lo coloca uniendo dos vértices opuestos (la diagonal del espacio)? Calcula la medida de la diagonal mayor del interior de la caja para justificar tu respuesta.

Una empresa de mensajería utiliza drones para entregar paquetes. Para que el aterrizaje sea seguro en una azotea, el dron proyecta dos rayos láser que forman un ángulo recto en el emisor. El dron se encuentra a una altura $h$ sobre la azotea. Los puntos de impacto de los láseres en el suelo están alineados con la vertical del dron y distan entre sí $15,6\text{ m}$. Si uno de los puntos de impacto está a $3,9\text{ m}$ de la vertical del dron, calcula:

1. a) La altura $h$ a la que vuela el dron utilizando el teorema de la altura.
2. b) La distancia desde el dron hasta cada uno de los dos puntos de aterrizaje (los catetos del triángulo).

Para un festival de cine, se ha construido una maqueta a escala de una pirámide regular de base cuadrada. La pirámide real tiene un lado de la base de $24\text{ m}$ y una altura de $16\text{ m}$. Si la maqueta se ha construido con una razón de semejanza $k = 1:80$, calcula:

1. a) La longitud de la arista lateral de la pirámide real (necesitarás aplicar Pitágoras dos veces).
2. b) El volumen de la maqueta en centímetros cúbicos, sabiendo que el volumen de una pirámide es $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área base} \cdot \text{Altura}$. (Usa la relación $k^3$ para el volumen).

Una señal de tráfico tiene forma de triángulo equilátero de $90\text{ cm}$ de lado. Dentro de ella, hay una franja de color rojo que forma otro triángulo equilátero semejante. Si el área de la parte blanca (el triángulo interior) es exactamente la mitad del área total de la señal, ¿cuál es la razón de semejanza entre el triángulo pequeño y el grande? ¿Cuánto mide el lado del triángulo interior? Redondea a dos cifras decimales.

En una plaza hay un mástil vertical. A una distancia de $12\text{ m}$ de su base, hay un foco en el suelo que proyecta luz. Un adolescente que mide $1,65\text{ m}$ se coloca entre el foco y el mástil, a una distancia de $3\text{ m}$ del foco.

1. a) Calcula la altura del mástil sabiendo que la sombra de la cabeza del chico coincide exactamente con la parte superior del mástil.
2. b) Si el chico camina $2\text{ m}$ hacia el mástil, ¿qué longitud tendrá su sombra proyectada sobre el propio mástil?

El logotipo de una nueva marca de ropa es un rombo inscrito dentro de un rectángulo de $16\text{ cm}$ de largo y $12\text{ cm}$ de ancho. Los vértices del rombo son los puntos medios de los lados del rectángulo. Calcula:

1. a) El perímetro del rombo.
2. b) El área de un segundo logotipo semejante al anterior cuyo perímetro sea el triple. Justifica cómo cambia el área sin necesidad de calcular los nuevos lados.

Un faro de $35\text{ m}$ de altura está situado sobre un acantilado vertical. Desde un barco en el mar, se observa que la distancia a la base del faro (el punto donde empieza el faro en el acantilado) es de $100\text{ m}$ y la distancia a la parte más alta del faro es de $110\text{ m}$. Calcula:

1. a) La altura del acantilado sobre el nivel del mar.
2. b) La distancia horizontal desde el barco hasta la base del acantilado.

Se quiere instalar una placa solar rectangular en un tejado inclinado. El tejado tiene una inclinación tal que por cada $4\text{ m}$ de avance horizontal sube $3\text{ m}$ de altura.

1. a) Calcula la longitud real del tramo de tejado que cubre $8\text{ m}$ de distancia horizontal.
2. b) Si la placa solar mide $2\text{ m}$ de largo y se coloca siguiendo la pendiente del tejado, ¿qué altura vertical $h$ salva la placa entre su borde inferior y el superior? (Usa semejanza de triángulos).