Ejercicios: Proporcionalidad directa

Indica cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales. Justifica brevemente tu respuesta:

1. a) El número de personas que entran en un museo y el dinero recaudado por las entradas.
2. b) La edad de una persona y su altura.
3. c) El peso de las manzanas que compras y el precio total a pagar.
4. d) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija.

En una tienda de deportes, todas las camisetas del mismo modelo tienen el precio proporcional a la cantidad comprada. Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno y calcula la constante de proporcionalidad $k$ (precio por una camiseta).

Si un grifo vierte $15$ litros de agua cada $3$ minutos, ¿cuántos litros verterá si se mantiene abierto durante $10$ minutos? Resuélvelo utilizando el método de reducción a la unidad (calculando primero cuánto vierte en un minuto).

Para preparar un bizcocho para $6$ personas, se necesitan $300$ gramos de harina. Si queremos invitar a $15$ personas y que todos coman la misma proporción de bizcocho, ¿qué cantidad de harina necesitaremos?

Un videojuego ocupa $12$ GB de espacio y ha tardado $8$ minutos en descargarse con una conexión estable. Si el siguiente juego que quieres descargar ocupa $18$ GB y la velocidad de descarga es la misma, ¿cuántos minutos tardará la descarga?

El perímetro de un hexágono regular es directamente proporcional a la longitud de su lado. Si un hexágono cuyo lado mide $4$ cm tiene un perímetro de $24$ cm, calcula el perímetro de otro hexágono regular cuyo lado mide $7,5$ cm.

En un plano de una habitación con una escala $1:50$, el largo de la cama mide $4$ cm. ¿Cuál es la medida real de la cama expresada en metros? (Recuerda que la escala $1:50$ significa que $1$ cm en el dibujo equivale a $50$ cm en la realidad).

Marta ha pagado $4,50$ € por $3$ cajas de rotuladores para su proyecto de dibujo. Si necesita comprar $5$ cajas más para sus compañeros de grupo, ¿cuánto dinero le costarán esas $5$ cajas extra?

Una plataforma de streaming de videojuegos ofrece una suscripción premium. Sabemos que por $4$ meses de servicio se pagan $35,20$ €.

1. a) Calcula la constante de proporcionalidad directa $k$ (precio por mes).
2. b) Completa la siguiente tabla de valores:

1. c) ¿Cuántos meses podrías contratar si dispones de un presupuesto máximo de $100$ €?

Un dron de vigilancia forestal vuela a una velocidad constante. El centro de control registra que el dron ha recorrido $10,5$ kilómetros en los primeros $15$ minutos de vuelo.

1. a) ¿Qué distancia recorrerá el dron si mantiene la misma velocidad durante una hora completa?
2. b) Si el dron necesita cubrir una distancia total de $63$ km, ¿cuántos minutos tardará en completar la misión?

Indica razonadamente cuáles de los siguientes pares de magnitudes guardan una relación de proporcionalidad directa:

1. a) El número de entradas para un concierto y el precio total a pagar (sin gastos de gestión fijos).
2. b) La edad de una persona y su altura en centímetros.
3. c) El peso de las manzanas compradas a granel y el coste de la compra.
4. d) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija.
5. e) El número de páginas de un libro y el tiempo que se tarda en leerlo (asumiendo una velocidad de lectura constante).

Para preparar una pintura de un color naranja específico, un artista mezcla $150$ ml de pintura roja con $225$ ml de pintura amarilla.

1. a) ¿Cuántos mililitros de pintura roja necesitará si quiere utilizar $600$ ml de pintura amarilla para obtener el mismo tono?
2. b) Si el artista decide crear una mezcla total de $1$ litro ($1000$ ml), ¿qué cantidad de cada color debe añadir manteniendo la proporción original?

En el plano de una vivienda realizado a escala $1:250$, el salón tiene una longitud de $3,2$ cm y una anchura de $2,4$ cm.

1. a) Calcula las dimensiones reales del salón en metros.
2. b) Calcula el área real del salón en metros cuadrados.

Tres hermanos deciden repartirse los $144$ € que han recibido de regalo por parte de sus abuelos de forma directamente proporcional a sus edades, que son $10$, $12$ y $14$ años respectivamente. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno?

Un cargador rápido de smartphone es capaz de cargar el $18\%$ de la batería en tan solo $12$ minutos. Si la velocidad de carga se mantiene constante:

1. a) ¿Qué porcentaje de batería se habrá cargado tras media hora ($30$ minutos)?
2. b) ¿Cuánto tiempo total (en minutos y segundos) tardará el teléfono en pasar del $0\%$ al $100\%$ de carga?

Una empresa de reciclaje paga $0,65$ € por cada kilogramo de latas de aluminio entregado. Un grupo de estudiantes ha recogido latas durante el mes y las ha pesado en lotes:

1. a) ¿Cuánto dinero recibirán por un lote que pesa $8,4$ kg?
2. b) Si al final de la campaña han conseguido un total de $27,30$ €, ¿cuántos kilos de aluminio lograron reciclar en total?

Tres amigos deciden montar un canal de streaming de videojuegos. Al finalizar el primer mes, han obtenido unos ingresos de $1\,260\text{ €}$ por publicidad. Acuerdan repartir el dinero de forma directamente proporcional a las horas que cada uno ha dedicado a grabar y editar contenido.

Marcos dedicó $12$ horas, Lucía dedicó el doble que Marcos, y Sergio dedicó tantas horas como la mitad de lo que dedicaron Marcos y Lucía juntos. Calcula cuánto dinero le corresponde a cada uno y determina cuál es la constante de proporcionalidad $k$ (dinero por hora trabajada).

Una empresa de fabricación de filamento para impresoras 3D sabe que la longitud del hilo extraído es directamente proporcional al tiempo de funcionamiento de la máquina extrusora. Si en $15$ minutos se producen $45$ metros de hilo de un grosor determinado:

• a) ¿Cuántos kilómetros de hilo se fabricarán si la máquina trabaja sin interrupción durante una jornada laboral completa de $8$ horas?

• b) Si el coste de producción es de $0,12\text{ €}$ por cada decámetro ($10\text{ m}$) de hilo, ¿cuál será el valor total de la producción tras esas $8$ horas?

En un mapa de senderismo de la Sierra de Guadarrama, la distancia entre dos refugios es de $12,5\text{ cm}$. Sabemos que la escala del mapa es $1:50\,000$. Dos excursionistas deciden realizar ese trayecto. Si su velocidad media es de $4\text{ km/h}$, calcula cuánto tiempo tardarán en llegar de un refugio al otro expresando el resultado en horas y minutos.

Un ayuntamiento quiere fomentar el uso de energías limpias y reparte una subvención de $15\,000\text{ €}$ entre tres comunidades de vecinos que han instalado placas solares. El reparto se hace de forma directamente proporcional a la superficie de paneles instalada.

La Comunidad A ha instalado $120\text{ m}^2$. La Comunidad B ha instalado un $25\%$ más que la Comunidad A. La Comunidad C ha instalado el $60\%$ de la suma de las superficies de las comunidades A y B juntas. Calcula cuánto dinero recibe cada comunidad.

La gráfica siguiente representa la relación entre la masa de un metal precioso y su valor en el mercado. Observa que es una función de proporcionalidad directa:

• a) Halla la constante de proporcionalidad $k$, que representa el precio por gramo.

• b) Si una joya contiene un $15\%$ de impurezas (masa que no tiene valor) y pesa en total $24\text{ g}$, ¿cuál es el valor del metal puro que contiene basándote en la gráfica?

Para teñir una partida de camisetas de algodón, un taller utiliza una mezcla de tinte concentrado y agua. La receta indica que por cada $2,5\text{ litros}$ de agua hay que añadir $150\text{ ml}$ de tinte.

Si el taller dispone de un depósito de $60\text{ litros}$ de capacidad y quiere llenarlo manteniendo exactamente la misma proporción, ¿qué cantidad de tinte concentrado y qué cantidad de agua deberá mezclar? (Ten cuidado: el volumen final del depósito es la suma de ambos líquidos).

Un faro proyecta una sombra de $18\text{ metros}$ sobre el suelo. En ese mismo instante, un poste vertical de $2,5\text{ metros}$ de altura situado cerca del faro proyecta una sombra de $150\text{ cm}$.

• a) Calcula la altura del faro.

• b) Si el sol baja y la sombra del poste aumenta en $30\text{ cm}$ más, ¿cuánto medirá la nueva sombra del faro?

Una cadena de montaje produce un número constante de componentes electrónicos cada hora. Se sabe que trabajando $5$ días a razón de $8$ horas diarias, han fabricado un total de $14\,000$ componentes.

Si debido a un pedido urgente necesitan fabricar $25\,200$ componentes en los próximos $6$ días, ¿cuántas horas diarias deberán trabajar las máquinas para cumplir con el plazo, suponiendo que el ritmo de producción por hora no varía?