Ejercicios: Mínimo común múltiplo

En un videojuego de plataformas, tu personaje consigue un escudo protector cada $4$ niveles y una mejora de velocidad cada $6$ niveles. Si acabas de empezar la partida en el nivel $0$, ¿en qué nivel coincidirán por primera vez ambas recompensas? Calcula el resultado obteniendo los primeros múltiplos de cada número.

Una aplicación de mensajería envía una notificación de "resumen de noticias" cada $10$ minutos, mientras que otra aplicación de redes sociales lo hace cada $15$ minutos. Si ambas han enviado una notificación a las $10:00$ de la mañana, ¿cuántos minutos pasarán hasta que vuelvan a coincidir por primera vez? Escribe los conjuntos de los múltiplos de $10$ y $15$ para encontrar el menor común a ambos.

Calcula en tu libreta el mínimo común múltiplo de los números $12$ y $18$ utilizando la descomposición en factores primos. Para ello, sigue estos pasos:

1. Realiza la descomposición factorial de ambos números.

2. Identifica los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

3. Multiplícalos para obtener el $m.c.m.(12, 18)$.

Tres luces inteligentes en un escaparate están programadas para cambiar de color en intervalos diferentes. La primera cambia cada $2$ segundos, la segunda cada $3$ segundos y la tercera cada $4$ segundos. Si se encienden las tres a la vez, ¿cuánto tiempo tardarán en volver a cambiar de color simultáneamente?

Sin necesidad de realizar la descomposición factorial, razona cuál es el $m.c.m.(5, 20)$. Ten en cuenta la relación de divisibilidad que hay entre ambos números. ¿Qué ocurre con el mínimo común múltiplo cuando un número es múltiplo de otro?

Un DJ utiliza dos loops de batería de diferente duración. El primer loop dura $8$ compases y el segundo $12$ compases. ¿Cada cuántos compases se reiniciarán ambos loops al mismo tiempo? Utiliza el método que prefieras (listado de múltiplos o descomposición factorial).

Lucía y Marcos entrenan en la pista de atletismo del instituto. Lucía tarda $6$ minutos en dar una vuelta completa y Marcos tarda $8$ minutos. Si salen juntos de la línea de meta:

1. a) ¿Al cabo de cuántos minutos volverán a cruzar la meta al mismo tiempo?
2. b) ¿Calcula cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese momento?

Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números de forma mental:

1. a) $m.c.m.(2, 5)$
2. b) $m.c.m.(3, 9)$
3. c) $m.c.m.(4, 10)$
4. d) $m.c.m.(7, 11)$

Pista: Recuerda que si los números son primos entre sí, su mínimo común múltiplo es simplemente su producto.

Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes grupos de números utilizando la descomposición en factores primos:

1. a) $m.c.m.(45, 75)$
2. b) $m.c.m.(12, 18, 24)$
3. c) $m.c.m.(80, 120, 200)$

Dos ciclistas profesionales entrenan en un velódromo circular. El primero completa una vuelta cada $108$ segundos, mientras que el segundo, que va un poco más lento, tarda $120$ segundos. Si ambos pasan juntos por la línea de meta en este momento, ¿cuántos minutos tardarán en volver a coincidir en el mismo punto por primera vez?

En una central de logística, una de las alarmas de mantenimiento suena cada $45$ minutos y otra cada $60$ minutos. Si a las $08:00$ de la mañana han coincidido las dos alarmas, ¿a qué hora volverán a sonar juntas por segunda vez?

Un centro cultural organiza tres actividades diferentes: clases de robótica cada $12$ días, talleres de teatro cada $15$ días y sesiones de cine forum cada $20$ días. Si hoy han coincidido las tres actividades, ¿cuántas veces volverán a coincidir en el mismo día a lo largo de los próximos $365$ días?

En un almacén queremos apilar cajas de dos tipos de productos diferentes. Las cajas del producto A tienen una altura de $18$ cm y las del producto B tienen una altura de $30$ cm. ¿Cuál es la altura mínima que deben alcanzar ambas pilas para que tengan exactamente la misma altura? ¿Cuántas cajas de cada tipo habrá en ese momento?

El equipo de soporte de una aplicación de videojuegos tiene tres servidores que realizan copias de seguridad de forma automática. El primer servidor hace una copia cada $24$ horas, el segundo cada $36$ horas y el tercero cada $48$ horas. Si hoy se han realizado las tres copias simultáneamente, ¿dentro de cuántos días volverá a ocurrir lo mismo?

Busca el número más pequeño que, al ser dividido por $15$, $20$ y $35$, da siempre un resto igual a $0$. Una vez hallado, indica cuál sería el número más pequeño que al dividirlo por esos mismos valores diera siempre un resto de $3$.

Una empresa de transporte tiene dos rutas interurbanas. El autobús de la ruta Norte pasa por la estación central cada $1$ hora y $15$ minutos. El de la ruta Sur pasa cada $50$ minutos. Si a las $10:00$ de la mañana han salido los dos a la vez, calcula cuántas veces habrán coincidido en la estación antes de que termine el día a las $22:00$.

En una estación espacial, cuatro satélites de investigación orbitan alrededor de un asteroide. El primero completa su órbita cada $12$ horas, el segundo cada $18$ horas, el tercero cada $20$ horas y el cuarto cada $30$ horas. Si hoy a las $12:00$ del mediodía se encuentran alineados por primera vez, ¿cuántos días completos deberán transcurrir para que vuelvan a coincidir exactamente en la misma posición? ¿A qué hora del día ocurrirá dicho encuentro?

El producto de dos números naturales es $6\,750$ y su máximo común divisor ($M.C.D.$) es $15$. Utilizando la relación que existe entre el producto de dos números, su $M.C.D.$ y su mínimo común múltiplo ($m.c.m.$), calcula primero el valor del $m.c.m.$ de dichos números. A continuación, averigua cuáles son esos dos números sabiendo que su diferencia es exactamente $15$.

Una empresa de diseño quiere fabricar paneles publicitarios cuadrados. Para ello, disponen de tres tipos de baldosas rectangulares de diferentes colores, cuyas dimensiones son $12 \times 18$ cm, $15 \times 20$ cm y $18 \times 24$ cm. Quieren construir el panel cuadrado más pequeño posible que pueda ser cubierto por cualquiera de los tres tipos de baldosas de forma independiente (sin mezclarlas en el mismo panel). ¿Cuál debe ser la medida del lado de dicho panel? ¿Cuántas baldosas de cada tipo se necesitarían para cubrirlo?

En la biblioteca del instituto están reorganizando la sección de narrativa. La bibliotecaria observa que si guarda los libros en cajas de $6$, de $8$ o de $10$ ejemplares, siempre sobran exactamente $3$ libros que se quedan fuera. Sabiendo que el número total de libros de la sección está comprendido entre $400$ y $600$, ¿cuántos libros hay exactamente en la sección de narrativa?

Un DJ tiene tres secuenciadores de luz programados para emitir destellos en diferentes intervalos. El primero emite un destello cada $24$ segundos, el segundo cada $36$ segundos y el tercero cada $40$ segundos. Si a las $23:00$ horas los tres secuenciadores coinciden en su destello, ¿cuántas veces volverán a coincidir los tres simultáneamente antes de que termine la sesión a las $00:00$ horas (media noche)?

Averigua el valor de un número natural $x$, sabiendo que es menor que $50$ y que se cumplen simultáneamente estas dos condiciones:

• El mínimo común múltiplo de $24$ y $x$ es $120$.

• El máximo común divisor de $24$ y $x$ es $4$.

(Pista: Descompón factorialmente los números conocidos y utiliza la definición de m.c.m. y M.C.D.)

Tres engranajes de una máquina industrial están conectados. El engranaje $A$ tiene $45$ dientes, el $B$ tiene $60$ dientes y el $C$ tiene $75$ dientes. Si la máquina comienza a funcionar y marcamos un punto de contacto entre los tres, ¿cuántas vueltas completas habrá dado cada engranaje cuando vuelvan a coincidir por primera vez en la posición inicial?

Un sistema de seguridad informática genera tres códigos de acceso automáticos. El primer código cambia cada $2^3 \cdot 3 \cdot 5$ segundos, el segundo cada $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ segundos y el tercero cada $2 \cdot 3 \cdot 5^2$ segundos.

1. a) Expresa el tiempo de cambio de cada código en números decimales.
2. b) Calcula, expresando el resultado mediante su descomposición factorial, cada cuánto tiempo coinciden los tres cambios de código simultáneamente.
3. c) ¿Cuántos minutos habrán pasado entre cada coincidencia?