Ejercicios: Función de proporcionalidad inversa

Un grupo de amigos quiere alquilar una pista de pádel que cuesta $20$ € en total. El precio que debe pagar cada uno depende del número de personas que vayan a jugar. Observa la siguiente tabla que relaciona el número de amigos ($x$) y el dinero que paga cada uno ($y$):

Calcula el producto de las dos magnitudes ($x \cdot y$) para cada columna y comprueba que siempre es el mismo. ¿Cómo se llama ese valor constante en las funciones de proporcionalidad inversa?

Indica cuál de las siguientes expresiones algebraicas corresponde a una función de proporcionalidad inversa y explica por qué:

1. a) $y = 4x$
2. b) $y = \frac{4}{x}$
3. c) $y = x + 4$
4. d) $y = \frac{x}{4}$

Completa la siguiente tabla de valores sabiendo que la función de proporcionalidad inversa tiene como constante $k = 12$. La fórmula de la función es $y = \frac{12}{x}$.

Una empresa de mensajería tiene que repartir $60$ paquetes. Si contrata a más repartidores, cada uno tendrá que llevar menos paquetes. La relación viene dada por la función $y = \frac{60}{x}$, donde $x$ es el número de repartidores e $y$ es el número de paquetes por repartidor.

Si la empresa decide contratar a $6$ repartidores, ¿cuántos paquetes llevará cada uno?

Observa la siguiente gráfica. Sin realizar cálculos, identifica si representa una función lineal (proporcionalidad directa) o una función de proporcionalidad inversa (hipérbola). Justifica tu respuesta basándote en la forma de la línea.

Halla la constante de proporcionalidad inversa $k$ de una función sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(3, 10)$. Una vez que tengas $k$, escribe la ecuación de la función.

(Pista: recuerda que en este tipo de funciones $k = x \cdot y$).

Queremos construir rectángulos que tengan todos la misma área: $24$ $cm^2$. La relación entre la base ($x$) y la altura ($y$) de estos rectángulos sigue una función de proporcionalidad inversa.

1. a) Escribe la ecuación que relaciona la altura en función de la base.
2. b) Si la base mide $8$ $cm$, ¿cuál será su altura?

Comprueba si el punto $A(2, 9)$ pertenece a la función de proporcionalidad inversa $y = \frac{18}{x}$. Explica qué operación has hecho para saberlo.

Un grupo de amigos quiere alquilar una pista de pádel durante el fin de semana. El precio total de la reserva es fijo, por lo que el coste por persona depende de cuántos se apunten finalmente. Observa la siguiente tabla:

1. a) Comprueba razonadamente si se trata de una función de proporcionalidad inversa.
2. b) Halla la constante de proporcionalidad inversa $k$ y explica qué representa en este contexto.
3. c) Escribe la ecuación de la función que relaciona ambas magnitudes.

Dada la siguiente gráfica que representa una función de proporcionalidad inversa:

1. a) A partir del punto destacado $P(2, 12)$, calcula la constante $k$ de la función.
2. b) Escribe la expresión algebraica de la función.
3. c) ¿Cuál sería el valor de $y$ cuando $x = 6$? ¿Y el valor de $x$ cuando $y = 3$?

Un patinete eléctrico debe recorrer una distancia fija de $12$ km para llegar desde el instituto hasta el polideportivo municipal. El tiempo que tarda ($y$, en horas) depende de la velocidad constante a la que circule ($x$, en km/h).

1. a) Completa la tabla de valores que relaciona la velocidad y el tiempo:

1. b) Escribe la ecuación de la función.
2. c) Si el ayuntamiento limita la velocidad de los patinetes a un máximo de $25$ km/h, ¿cuál es el tiempo mínimo (en minutos) que se tardará en realizar el recorrido?

Queremos diseñar un huerto rectangular en el patio del instituto que tenga siempre un área fija de $24$ $m^2$.

1. a) Escribe la función que expresa la longitud de la altura ($y$) en función de la longitud de la base ($x$).
2. b) Indica si la función es creciente o decreciente y justifica tu respuesta basándote en el contexto del problema.
3. c) Representa gráficamente la función para valores de la base entre $1$ y $12$ metros.

Indica cuál de las siguientes situaciones se puede modelizar mediante una función de proporcionalidad inversa y escribe su ecuación en ese caso:

1. El número de entradas para un concierto que podemos comprar con $100$ $€$ según el precio de cada entrada.

2. La distancia recorrida por un coche que circula a $90$ km/h constantes según el tiempo transcurrido.

3. El número de obreros necesarios para construir un muro según los días que tardan en terminarlo (trabajando al mismo ritmo).

4. El precio de una bolsa de naranjas que cuesta $1,50$ $€$ el kilo.

Dada la función de proporcionalidad inversa $y = \frac{18}{x}$:

1. a) Indica cuál es su dominio (teniendo en cuenta que es una función matemática pura, no aplicada a un contexto real).
2. b) Calcula las imágenes para $x = -3$, $x = 1$, $x = 2$ y $x = 9$.
3. c) Determina los puntos de la gráfica donde la ordenada es igual a la abscisa ($y = x$).

Un camión cisterna de $15.000$ litros de capacidad se vacía mediante varias bombas de extracción idénticas. Si se utilizan $2$ bombas, la cisterna se vacía en $6$ horas.

1. a) ¿Cuánto tiempo se tardaría si se utilizaran $4$ bombas?
2. b) ¿Y si quisiéramos vaciarla en solo $2$ horas, cuántas bombas necesitaríamos?
3. c) Identifica las variables independiente y dependiente y escribe la fórmula de la función que las relaciona.

Un grupo de estudiantes de 2º de ESO ha ganado un premio compartido de $600$ $€$ en un concurso de robótica.

1. a) Construye una tabla que relacione el número de estudiantes que forman el equipo ($x$) y la cantidad de dinero que recibe cada uno ($y$).
2. b) Representa la función gráficamente. ¿Es una función continua o discontinua? Justifica tu respuesta.
3. c) Si cada estudiante quiere recibir al menos $75$ $€$, ¿cuál es el número máximo de alumnos que pueden formar el equipo?

Un servidor de videojuegos tiene una capacidad de transferencia de datos fija para descargar una actualización de $1,2$ GB ($1228,8$ MB). La velocidad de descarga $v$ (en MB/s) y el tiempo necesario $t$ (en segundos) son magnitudes inversamente proporcionales.

1. a) Escribe la función que relaciona el tiempo $t$ en función de la velocidad $v$.
2. b) Si un usuario tiene una conexión limitada a $4$ MB/s, ¿cuántos minutos tardará en descargar la actualización?
3. c) Si queremos que la descarga no dure más de $2$ minutos, ¿cuál debe ser la velocidad mínima de nuestra conexión?

En una reserva de animales, se ha comprado una partida de pienso que dura exactamente $24$ días para alimentar a los $80$ lobos del recinto. Debido a un rescate, el número de lobos va a cambiar.

1. a) Determina la constante de proporcionalidad inversa $k$ y explica qué representa en este contexto.
2. b) Expresa la función que relaciona el número de días $d$ que durará el pienso según el número de lobos $n$.
3. c) Si tras el rescate el pienso solo dura $15$ días, ¿cuántos lobos nuevos han llegado a la reserva?

Observa la siguiente gráfica que representa una función de proporcionalidad inversa del tipo $y = \frac{k}{x}$. A partir de la información visual:

1. a) Halla el valor de la constante $k$ sabiendo que la curva pasa exactamente por el punto destacado en naranja.
2. b) Calcula el valor de la ordenada $y$ cuando la abscisa es $x = -2,5$.
3. c) ¿Pertenece el punto $P(12, -0,5)$ a la función? Justifica tu respuesta.

Un grupo de amigos quiere alquilar una casa rural para el puente de diciembre que cuesta $720$ € en total. El precio por persona depende del número de amigos que finalmente asistan al viaje.

1. a) Escribe la ecuación de la función.
2. b) Si inicialmente eran $6$ amigos pero finalmente se apuntan $3$ personas más, ¿cuánto dinero se ahorra cada uno de los $6$ amigos iniciales?
3. c) Si el presupuesto máximo de cada amigo es de $50$ €, ¿cuál es el número mínimo de personas necesarias para que puedan alquilar la casa?

Considera un rectángulo cuya área es constante e igual a $48$ cm². La base del rectángulo es $x$ y la altura es $y$.

1. a) Expresa la altura en función de la base. ¿Qué tipo de función es?
2. b) Si aumentamos la base en $4$ cm, la nueva altura es de $4$ cm. ¿Cuál era la longitud de la base original?
3. c) Representa gráficamente la situación para valores de la base entre $2$ y $16$ cm.

Dos magnitudes $A$ y $B$ son inversamente proporcionales. Se sabe que cuando $A$ aumenta en $5$ unidades, el valor de $B$ se reduce a la mitad del valor original (que era $B = 20$).

1. a) Calcula el valor inicial de la magnitud $A$.
2. b) Determina la constante de proporcionalidad inversa $k$.
3. c) Escribe la expresión analítica de la función que relaciona ambas magnitudes.

Un engranaje está formado por dos ruedas dentadas, $R_1$ y $R_2$. El número de dientes y la velocidad de giro (en r.p.m.) son magnitudes inversamente proporcionales. La rueda $R_1$ tiene $40$ dientes y gira a $120$ r.p.m.

1. a) Si la rueda $R_2$ gira a $300$ r.p.m., ¿cuántos dientes tiene?
2. b) Si queremos que la segunda rueda gire lo más lento posible, pero debe tener como máximo $80$ dientes, ¿cuál será su velocidad de giro mínima?
3. c) Halla la función que nos da la velocidad de giro $y$ en función del número de dientes $x$.

Dada la siguiente tabla de valores de una función de proporcionalidad inversa, descubre los valores ocultos marcados con letras y responde a las cuestiones:

1. a) Calcula los valores de $a$, $b$, $c$ y $d$.
2. b) Indica si la función es creciente o decreciente en el primer cuadrante.
3. c) ¿Para qué valor de $x$ se obtiene una imagen de $y = 0,01$?