Ejercicios: Gráfica de una función

En el siguiente mapa de coordenadas, se han marcado los puntos donde se encuentran varios objetos en un videojuego de aventuras. Indica las coordenadas cartesianas de cada uno de los elementos: el Cofre ($C$), la Llave ($L$), la Pócima ($P$) y el Escudo ($E$).

Para que una gráfica represente una función, a cada valor de la variable independiente $x$ le debe corresponder un único valor de la variable dependiente $y$. Observa las siguientes gráficas y justifica cuál de ellas no es una función.

Una plataforma de streaming cobra una cuota fija de $5\ €$ al mes más $2\ €$ por cada película de estreno que alquiles.

1. a) Indica cuál es la variable independiente y cuál la dependiente.
2. b) Si llamamos $x$ al número de películas e $y$ al coste total, completa la siguiente tabla de valores:

Películas ($x$)	0	1	2	3
Coste ($y$)

Representa en un sistema de ejes coordenados los puntos de la siguiente tabla, que relaciona el tiempo transcurrido (en segundos) y la distancia recorrida (en metros) por un patinete eléctrico que circula a velocidad constante. ¿Tiene sentido unir los puntos con una línea continua?

Tiempo ($s$)	1	2	3	4	5
Distancia ($m$)	4	8	12	16	20

La siguiente gráfica muestra la temperatura de un bote de refresco desde que se saca de la nevera y se deja sobre la mesa de la cocina.

1. a) ¿Qué temperatura tenía el refresco en el momento de sacarlo ($t = 0$)?
2. b) ¿Qué temperatura tiene al cabo de $20$ minutos?
3. c) ¿La función es creciente o decreciente? ¿Qué significa esto en el contexto del problema?

Un dron despega desde el suelo, sube hasta una altura determinada, se mantiene estable para tomar unas fotos y luego desciende hasta aterrizar de nuevo. Observa la gráfica y responde:

1. a) ¿A qué altura máxima llegó el dron?
2. b) ¿Cuánto tiempo estuvo el dron volando a esa altura máxima?
3. c) ¿En qué intervalo de tiempo el dron estaba descendiendo?

Decide si las siguientes funciones son continuas o discontinuas justificando brevemente tu respuesta:

1. a) La profundidad de una piscina según la distancia a la que nos encontremos del borde (suponiendo que el fondo tiene rampa).
2. b) El número de asistentes a un concierto de música según la hora del día.
3. c) El coste de una llamada telefónica que se factura por minutos completos empezados.

Observa la gráfica que representa la velocidad de un ciclista durante los primeros $10$ minutos de su entrenamiento.

1. a) Identifica los intervalos de tiempo en los que la función es creciente, decreciente o constante.
2. b) ¿Cuál fue la velocidad máxima alcanzada?
3. c) ¿En qué minuto empezó a frenar hasta detenerse?

La siguiente gráfica muestra la evolución de la batería del teléfono móvil de Lucía desde que sale de casa por la mañana hasta que regresa por la tarde. Observa la gráfica y responde a las siguientes preguntas:

1. a) ¿Qué porcentaje de batería tenía al salir de casa? ¿Y a las 6 horas de haber salido?
2. b) Indica los intervalos de tiempo en los que la función es creciente y explica qué crees que ha ocurrido en ese periodo.
3. c) ¿En qué momento se queda sin batería exactamente?
4. d) ¿Cuál es el valor máximo y el valor mínimo que alcanza la función?

Analiza las siguientes tres gráficas. Indica razonadamente cuál de ellas no representa una función y explica por qué basándote en la definición de función que has estudiado.

La función $f(x)$ representa la profundidad (en metros) a la que se encuentra un dron submarino de exploración en función del tiempo (en minutos) desde que se sumerge.

1. a) Determina el dominio y el recorrido de la función a partir de la gráfica.
2. b) ¿Durante cuánto tiempo estuvo el dron a una profundidad constante de $4$ metros?
3. c) ¿En qué instantes de tiempo el dron se encuentra a $2$ metros de profundidad?

Un técnico de sonido mide el nivel de ruido (en decibelios, dB) durante el ensayo de un grupo de música. La gráfica muestra los niveles registrados en un periodo de $10$ minutos.

1. a) Indica los intervalos de tiempo en los que el ruido aumenta (función creciente).
2. b) Señala los máximos relativos y los mínimos relativos de la función. ¿Qué significan estos puntos en el contexto del ensayo?
3. c) ¿Se trata de una función continua? Justifica tu respuesta.

La trayectoria de una pelota de baloncesto al ser lanzada viene dada por la gráfica de una función que relaciona la altura (en metros) con la distancia horizontal desde el jugador (en metros).

1. a) Halla los puntos de corte de la función con los ejes $X$ e $Y$.
2. b) ¿Qué altura tiene la pelota en el momento del lanzamiento ($x=0$)?
3. c) Si la canasta está situada a una altura de $3$ metros, ¿a qué distancia horizontal del jugador se encuentra la canasta si el balón entra justo en ese punto?

Un videoclub online ofrece una tarifa de alquiler de películas en la que los tres primeros días cuestan $4$ € en total, y a partir del cuarto día el precio sube $1,5$ € por cada día adicional de retraso.

1. a) Completa la siguiente tabla de valores:

Días ($x$)	1	2	3	4	5	6
Precio ($y$)

1. b) Representa gráficamente la función.
2. c) ¿Es una función continua o discontinua? Explica si tiene sentido unir los puntos de la gráfica con una línea continua en este contexto real.

Dos amigos, Marcos y Elena, están ahorrando para comprarse una consola. La gráfica muestra el dinero que tiene cada uno al final de cada semana.

1. a) ¿Quién empezó con más dinero ahorrado?
2. b) ¿En qué semana igualan sus ahorros? ¿Cuánto dinero tienen en ese momento?
3. c) Indica en qué periodos Elena ahorra más rápido que Marcos (donde su gráfica sea más "empinada").
4. d) ¿Cuál es el dominio de ambas funciones según la gráfica?

Se calienta un recipiente con agua y se registra su temperatura cada minuto. Al llegar a los $100^{\circ}C$, el fuego se mantiene constante durante $3$ minutos y luego se apaga, dejando que el agua se enfríe lentamente.

1. a) Dibuja una gráfica cualitativa que represente esta situación (tiempo en el eje $X$, temperatura en el eje $Y$).
2. b) En tu gráfica, identifica la zona de crecimiento, la zona de función constante y la zona de decrecimiento.
3. c) Si la temperatura ambiente es de $20^{\circ}C$, ¿a qué valor tenderá el recorrido de la función cuando pase mucho tiempo?

Un creador de contenido de Twitch analiza la evolución de sus suscriptores durante un evento especial de 10 horas. La función que describe el número de suscriptores $S$ en función del tiempo $t$ (en horas) sigue este comportamiento:

• Durante las 2 primeras horas, el crecimiento es constante y lineal, pasando de 100 a 500 suscriptores.

• Entre la hora 2 y la hora 5, el número de suscriptores se mantiene estable.

• A partir de la hora 5, debido a un "raid" de otro canal, los suscriptores aumentan siguiendo la expresión $S(t) = 100t$ hasta la hora 8.

• En las últimas 2 horas, el canal pierde suscriptores de forma constante hasta terminar con 600.

Representa la gráfica de la función, determina el dominio y el recorrido en este contexto, e identifica los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Una empresa de alquiler de patinetes eléctricos ofrece una tarifa para turistas. El coste $y$ en euros depende del tiempo $x$ en minutos. La gráfica de la función es discontinua porque la empresa cobra por tramos de 30 minutos completos o fracción:

• De 0 a 30 minutos: 5 € (tarifa plana de desbloqueo y uso inicial).

• De 30 a 60 minutos: 8 €.

• De 60 a 90 minutos: 11 €.

• Y así sucesivamente hasta un máximo de 3 horas (180 min).

Dibuja la gráfica de tipo "escalonada", indica los puntos de discontinuidad y calcula cuánto pagaría una persona que utiliza el patinete durante 105 minutos. ¿Es esta relación una función? Justifica si a un valor de tiempo le pueden corresponder dos precios distintos.

Un dron de vigilancia realiza un vuelo de reconocimiento. La gráfica muestra su altura $h$ (en metros) respecto al tiempo $t$ (en minutos). El dron despega, sube hasta 40 m, se desplaza horizontalmente durante un tiempo, sube de nuevo hasta 60 m para evitar un obstáculo, baja rápidamente a 20 m para observar algo en detalle y finalmente aterriza.

A partir de la gráfica que tú mismo debes esbozar con estos datos:

1. a) ¿Cuál es la tasa de variación (pendiente) en el tramo de descenso rápido si este ocurre entre el minuto 10 y el 12?
2. b) Indica el intervalo de tiempo donde la función es constante.
3. c) Si el dron tiene una autonomía de 15 minutos, ¿cuál es el dominio real de la función si el aterrizaje termina justo en ese límite?

Se estudia la temperatura de una reacción química en un laboratorio. La temperatura $T$ (en $^\circ C$) sigue la función $T(x) = |x - 5| + 10$, donde $x$ es el tiempo en minutos desde que se añade un reactivo.

1. a) Construye una tabla de valores para $x$ desde 0 hasta 10 minutos.
2. b) Representa la gráfica. Notarás que tiene forma de "V".
3. c) ¿En qué minuto se alcanza la temperatura mínima? ¿Cuál es ese valor?
4. d) Determina el intervalo donde la función es decreciente y explica qué significa físicamente en el experimento.

La siguiente gráfica representa la distancia a la que se encuentra un corredor de obstáculos respecto a la línea de meta durante una carrera de 400 metros.

Analiza la gráfica y responde:

1. a) ¿En qué momentos el corredor se detiene o cae? ¿Cómo se refleja esto en la gráfica?
2. b) ¿Es la velocidad del corredor constante durante toda la carrera? Compara las pendientes de los tramos rectos.
3. c) ¿Cuál es el significado del punto de corte con el eje $Y$ y el punto de corte con el eje $X$?

Un depósito cilíndrico de 1000 litros se llena con una manguera que aporta un caudal constante de 50 litros por minuto. Sin embargo, el depósito tiene una fuga en la base que pierde 10 litros por minuto.

1. a) Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el volumen de agua $V$ (en litros) con el tiempo $t$ (en minutos), suponiendo que al inicio hay 100 litros.
2. b) Representa la gráfica. ¿Qué tipo de función es (lineal o afín)?
3. c) ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse completamente? Indica este valor como el límite del dominio de la función en esta situación práctica.

Observa las siguientes cuatro gráficas. Una de ellas representa la altura de una pelota que rebota en el suelo, otra el llenado de un vaso cónico con agua a caudal constante, otra la velocidad de un coche que frena ante un semáforo y la última no es una función.

1. a) Identifica cada una razonando tu respuesta basándote en la forma de la curva (crecimiento, curvatura, continuidad).
2. b) Explica por qué una de las gráficas no puede ser considerada una función.

Dos hermanos, Ana y Luis, salen de casa para ir al instituto que está a 1 km.

• Luis sale a las 8:00 y camina a velocidad constante, tardando 20 minutos en llegar.

• Ana sale 5 minutos más tarde, corre durante los primeros 500 metros (tarda 4 minutos) y luego camina el resto a la misma velocidad que Luis.

1. a) Representa en una misma gráfica la distancia a casa de ambos en función del tiempo transcurrido desde las 8:00.
2. b) ¿A qué hora y a qué distancia de casa adelanta Ana a Luis? Encuentra el punto de intersección de las dos gráficas.
3. c) ¿Quién llega primero al instituto y por cuánta diferencia de tiempo?