Ejercicios: Concepto de función

En un videojuego de estrategia, la posición de los recursos se indica mediante coordenadas en un plano cartesiano. Observa el mapa y escribe las coordenadas de los tres cofres del tesoro que aparecen representados:

Escribe las coordenadas de cada cofre en la forma $(x, y)$.

Para alquilar un patinete eléctrico, una empresa cobra $1,50$ € por el desbloqueo inicial y $0,20$ € por cada minuto de uso. Queremos analizar la relación entre el tiempo de uso y el coste total del alquiler.

Identifica las variables de esta relación:

• Variable independiente ($x$): ________

• Variable dependiente ($y$): ________

Una de las reglas de oro para saber si una gráfica representa una función es comprobar que para cada valor de la variable independiente $x$ existe un único valor de la variable dependiente $y$. Indica cuál de las siguientes gráficas NO es una función y justifica brevemente tu respuesta.

Completa la siguiente tabla de valores sabiendo que la función asocia a cada número natural su triple menos una unidad. Es decir, la expresión algebraica es $y = 3x - 1$.

Variable independiente ($x$)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Variable dependiente ($y$)	$2$

Indica si las siguientes situaciones representan una función continua o una función discreta:

1. a) El número de personas que entran en un cine según la película que se proyecta.
2. b) La altura de un globo aerostático a medida que pasan los minutos desde su despegue.
3. c) El precio de una bolsa de naranjas según su peso en kilogramos.
4. d) El número de seguidores en Instagram de un influencer día tras día.

Observa el siguiente diagrama de correspondencia (Diagrama de Venn) que relaciona un grupo de amigos con su color favorito de camiseta. ¿Representa esta relación una función? Explica por qué.

Lucía está controlando la batería de su móvil durante la mañana. Al despertarse a las $08:00$ tenía el $100\%$. Cada hora que pasa, la batería disminuye un $8\%$.

1. a) Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona las horas transcurridas ($x$) con el porcentaje de batería restante ($y$).
2. b) ¿Qué porcentaje de batería tendrá Lucía a las $12:00$ de la mañana (tras $4$ horas de uso)?

Dada la función $f(x) = x^2 - 3$, calcula el valor de la variable dependiente para los siguientes valores de $x$:

1. a) Si $x = 0 \rightarrow y = $
2. b) Si $x = 2 \rightarrow y = $
3. c) Si $x = 5 \rightarrow y = $
4. d) Si $x = 10 \rightarrow y = $

Observa detenidamente las siguientes tres gráficas representadas en el plano cartesiano. Utiliza el criterio de la recta vertical para identificar cuál o cuáles de ellas representan una función y justifica detalladamente tu respuesta en cada caso.

En un campeonato de videojuegos, se quiere establecer una relación entre los jugadores y los personajes que eligen. Analiza las siguientes dos situaciones y determina cuál de ellas define una función:

• Situación 1: A cada jugador se le asigna el nombre del único personaje que ha utilizado durante todo el torneo.

• Situación 2: A cada personaje se le asignan los nombres de todos los jugadores que lo han elegido en alguna partida.

Dibuja un diagrama de flechas (diagrama de Venn) para la Situación 1 usando estos datos: Jugadores $\{Ana, Marc, Leo\}$ y Personajes $\{Guerrero, Maga\}$. Ana y Marc eligieron al Guerrero, y Leo eligió a la Maga.

Un patinete eléctrico tiene una batería que se descarga de forma constante. Al salir de casa, la batería está al $100\%$. Por cada kilómetro recorrido, la batería disminuye un $5\%$.

1. a) Identifica la variable independiente y la variable dependiente, indicando en qué unidad se mide cada una.
2. b) Escribe la expresión algebraica (fórmula) de la función que relaciona los kilómetros recorridos ($x$) con el porcentaje de batería restante ($y$).
3. c) ¿Es posible que el valor de $x$ sea $25$? Razona si ese valor pertenece al dominio de la función en este contexto real.

La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encuentra un dron de mensajería respecto a su base logística durante un trayecto de ida y vuelta de 10 minutos.

A partir de la gráfica, indica:

1. a) El dominio y el recorrido de la función.
2. b) ¿Durante cuánto tiempo estuvo el dron parado entregando el paquete? ¿A qué distancia de la base se encontraba en ese momento?
3. c) ¿En qué intervalo de tiempo el dron estuvo regresando a la base?

Completa la siguiente tabla de valores para la función $y = x^2 - 3$:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$

Una vez completada, responde:

1. a) ¿Existen valores de $x$ diferentes que tengan la misma imagen ($y$)? ¿Impide esto que sea una función?
2. b) Representa los puntos obtenidos en un eje de coordenadas. ¿Qué forma parece tener la gráfica?

Estamos llenando un depósito de agua con forma cilíndrica mediante un grifo que vierte un caudal constante de $4$ litros por minuto. El depósito tiene una capacidad total de $20$ litros.

1. a) Indica si la función que relaciona el tiempo transcurrido con el volumen de agua es continua o discreta. Explica por qué.
2. b) ¿Cuál es el dominio de esta función teniendo en cuenta que el depósito se detiene al llenarse?
3. c) Dibuja un esbozo de la gráfica que represente esta situación.

Dada la función definida por la siguiente gráfica que representa el coste de una suscripción mensual a una plataforma de música en función de los meses contratados:

1. a) ¿Es correcto unir los puntos con una línea continua? Justifica si la variable independiente es discreta o continua.
2. b) Si el punto $(1, 10)$ pertenece a la función, ¿qué significa ese dato en el contexto del problema?
3. c) Determina la imagen de $x=3$ observando la tendencia de los puntos.

Señala cuáles de las siguientes relaciones no son funciones y explica el motivo basándote en la definición de función:

1. A cada persona de tu clase le asignamos su fecha de nacimiento.

2. A cada número natural le asignamos sus divisores.

3. A cada número real le asignamos su raíz cuadrada positiva.

4. A cada madre le asignamos el nombre de sus hijos.

5. A cada producto de una tienda le asignamos su precio en euros.

Analiza detenidamente la siguiente representación gráfica que muestra la relación entre dos magnitudes. Determina, razonando tu respuesta en base a la definición de función, si esta gráfica representa una función o una relación no funcional. Indica además cuál sería el valor de la variable dependiente $y$ cuando la variable independiente $x$ es igual a $2$.

Una empresa de mensajería con drones cobra una tarifa base de $5\ €$ por el servicio. Además, el coste por distancia se divide en tramos: los primeros $2\ km$ son gratuitos, pero a partir de ahí, cada kilómetro o fracción de kilómetro adicional cuesta $2\ €$ (es decir, si recorre $2,1\ km$ se cobra como si fueran $3\ km$).

1. a) Explica por qué esta situación representa una función discontinua.
2. b) Identifica la variable independiente y la dependiente.
3. c) Representa gráficamente el coste del servicio para distancias entre $0$ y $5\ km$.

Se define una relación entre dos conjuntos de números de la siguiente manera: "A cada número entero $x$ le corresponde su raíz cuadrada".

1. a) ¿Es esta relación una función si el conjunto inicial (dominio) son todos los números enteros $\mathbb{Z}$? Justifica tu respuesta analizando qué ocurre con los números negativos.
2. b) ¿Y si restringimos el dominio a los números $\{0, 1, 4, 9\}$? ¿Sería una función si cada número puede tener dos valores asociados (positivo y negativo)? Razona tu respuesta basándote en la unicidad de la imagen.

Un atleta entrena en una pista de $400\ m$. La siguiente gráfica muestra la distancia al punto de salida en función del tiempo.

1. a) Explica qué está ocurriendo entre el minuto $4$ y el $6$.
2. b) ¿A qué velocidad máxima ha corrido el atleta y en qué intervalo ha sucedido?
3. c) Explica qué está pasando entre $t=6$ y $t=8$.
4. d) ¿Podemos afirmar que es una función continua? ¿Por qué?

Dada la siguiente tabla de valores recogida durante un experimento de física, se sospecha que uno de los datos es erróneo y rompe la condición de función.

Tiempo (s)	$1$	$2$	$3$	$2$	$5$
Posición (m)	$10$	$20$	$35$	$25$	$60$

1. a) Identifica cuál es el dato que impide que esta tabla represente una función. Justifica tu elección.
2. b) Si eliminamos el dato erróneo, ¿la variable independiente sería discreta o continua?
3. c) Escribe una posible ecuación $y = f(x)$ que relacione la posición con el tiempo si la velocidad fuera constante a $12\ m/s$.

Considera la función que asigna a cada número natural de dos cifras la suma de sus dígitos.

Por ejemplo: $f(14) = 1 + 4 = 5$.

1. a) ¿Cuál es el dominio de esta función?
2. b) ¿Cuál es el recorrido (imagen) de la función? (Ten en cuenta el número más pequeño y el más grande posibles).
3. c) ¿Es una función creciente? Justifica la respuesta comparando, por ejemplo, $f(19)$ y $f(20)$.

Dibuja en unos ejes de coordenadas la gráfica de una función que cumpla simultáneamente las siguientes cuatro condiciones:

1. Su dominio sea el intervalo $[-4, 6]$.

2. Tenga un punto de discontinuidad (un salto) en $x = 2$.

3. Sea decreciente en el intervalo $[-4, 0]$ y creciente en el intervalo $[3, 6]$.

4. Tenga un máximo relativo en el punto $(-4, 5)$ y un mínimo absoluto en $(3, 1)$.