Ejercicios: Expresión algebraica de una función

Asocia cada una de las siguientes frases con su expresión algebraica correspondiente, donde $x$ representa un número cualquiera e $y$ el resultado de la función:

• a) El resultado es el triple de un número.

• b) El resultado es el doble de un número más cinco unidades.

• c) El resultado es la mitad de un número.

• d) El resultado es un número restado de diez.

• $y = \frac{x}{2}$

• $y = 10 - x$

• $y = 3x$

• $y = 2x + 5$

En un videojuego de móviles, cada "cofre de diamantes" cuesta $1,50$ €. Si queremos comprar $x$ cofres, la función que nos da el precio total a pagar es $y = 1,5x$.

Calcula cuánto dinero nos gastaríamos si decidimos comprar:

• a) $2$ cofres.

• b) $5$ cofres.

• c) $10$ cofres.

Halla el valor de la variable dependiente $y$ para los valores de la variable independiente $x$ indicados en la siguiente función:

$y = 4x - 3$

• a) Para $x = 0$

• b) Para $x = 1$

• c) Para $x = 2$

• d) Para $x = 5$

Queremos rodear con una cuerda elástica varios carteles cuadrados para una feria escolar. La relación entre la longitud del lado del cuadrado ($x$) y el perímetro total de cuerda necesario ($y$) viene dada por una función.

• a) Escribe la expresión algebraica de esta función.

• b) Si el lado del cuadrado mide $12$ cm, ¿cuánta cuerda necesitaremos?

Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla de valores para la función cuya expresión algebraica es $y = -2x + 1$:

Un técnico de reparación de ordenadores cobra $20$ € por el desplazamiento a domicilio y $15$ € por cada hora de trabajo.

• a) Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el coste total de la factura ($y$) con el número de horas trabajadas ($x$).

• b) ¿Cuánto costará una reparación que ha durado $3$ horas?

Observa la siguiente tabla de valores que relaciona el número de entradas para un concierto y el precio total. Encuentra la expresión algebraica que representa esta función:

Dada la función $f(x) = x^2 + 1$:

• a) Calcula la imagen de $x = 3$. Es decir, calcula $f(3)$.

• b) Calcula la imagen de $x = -2$. Es decir, calcula $f(-2)$.

• c) Calcula la imagen de $x = 0$. Es decir, calcula $f(0)$.

Una plataforma de música en streaming ofrece un plan mensual que cuesta $12€$ como cuota fija y, además, cobra $0,50€$ por cada canción que el usuario decida descargar para escuchar sin conexión.

a) Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el número de canciones descargadas, $x$, con el coste total mensual, $y$.

b) Indica qué tipo de función es (lineal, afín o de proporcionalidad inversa).

c) Si un mes un usuario paga un total de $24,50€$, ¿cuántas canciones se ha descargado?

Halla la expresión algebraica de la función afín cuya gráfica pasa por los puntos $A(1, 4)$ y $B(3, 10)$. Explica paso a paso cómo calculas la pendiente ($m$) y la ordenada en el origen ($n$).

En un laboratorio de física, se está observando cómo varía la temperatura de un líquido a medida que se calienta. Al inicio del experimento, el líquido está a $15^\circ C$ y su temperatura aumenta a un ritmo constante de $3^\circ C$ por cada minuto que pasa.

a) Determina la expresión algebraica que permite calcular la temperatura $T$ en función del tiempo $t$ (en minutos).

b) ¿Qué temperatura alcanzará el líquido tras un cuarto de hora de calentamiento?

c) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que el líquido alcance los $60^\circ C$?

Observa la siguiente tabla de valores que relaciona dos magnitudes, $x$ e $y$:

a) Comprueba si se trata de una función de proporcionalidad inversa.

b) Escribe su expresión algebraica.

c) Calcula el valor de la imagen para $x = 10$.

Un jardinero cobra una cantidad fija de $20€$ por desplazamiento y $15€$ por cada hora de trabajo. Su competidor no cobra desplazamiento, pero su tarifa es de $22€$ por hora.

a) Escribe la expresión algebraica del coste del servicio de cada jardinero ($y_1$ e $y_2$) en función de las horas trabajadas ($x$).

b) Si necesitamos un trabajo que durará exactamente $4$ horas, ¿cuál de los dos jardineros nos resulta más económico?

c) ¿Existe algún número de horas de trabajo para el cual ambos cobren lo mismo?

Dada la función cuya expresión algebraica es $f(x) = \frac{2x - 6}{3}$:

a) Calcula los valores de $f(0)$, $f(3)$ y $f(-3)$.

b) Determina el punto de corte de la función con el eje de abscisas (eje $X$).

c) Representa los puntos obtenidos en un sistema de coordenadas y únelos para dibujar la función.

Se desea construir un marco rectangular para un póster utilizando un listón de madera de $120 cm$ de longitud total. Si llamamos $x$ a la longitud de la base del rectángulo:

a) Escribe la expresión algebraica que relaciona la altura del rectángulo ($y$) con su base ($x$). Ayuda: recuerda que el perímetro es la suma de todos los lados.

b) Escribe la expresión algebraica que permite calcular el área ($A$) del rectángulo en función de su base ($x$).

c) Si la base mide $25 cm$, ¿cuál será el área del marco?

Identifica cuál de las siguientes expresiones corresponde a cada una de las gráficas descritas a continuación:

1. $y = 3x$

2. $y = -2x + 4$

3. $y = 5$

4. $y = \frac{4}{x}$

a) Una recta horizontal que pasa por el punto $(0, 5)$.

b) Una función de proporcionalidad directa que pasa por el punto $(2, 6)$.

c) Una función afín decreciente que corta al eje $Y$ en el punto $(0, 4)$.

d) Una hipérbola que pasa por el punto $(1, 4)$.

Una plataforma de streaming de videojuegos ofrece dos planes mensuales para los creadores de contenido. El Plan Pro tiene una cuota fija de $15\ €$ al mes y el creador recibe $0,20\ €$ por cada nuevo suscriptor. El Plan Partner no tiene cuota fija, pero la plataforma cobra $5\ €$ por gastos de gestión y el creador recibe $0,35\ €$ por cada nuevo suscriptor.

1. a) Escribe la expresión algebraica de la función que representa los ingresos netos mensuales para cada plan, siendo $x$ el número de suscriptores e $y$ el dinero total recibido.
2. b) Si un streamer estima que conseguirá entre $60$ y $70$ suscriptores este mes, ¿qué expresión algebraica le resulta más beneficiosa? Justifica tu respuesta analizando los valores.

Se quiere diseñar un cartel rectangular cuya área total sea siempre de $36\ m^2$.

1. a) Escribe la expresión algebraica de la función que permite calcular la altura ($y$) del cartel en función de la longitud de su base ($x$).
2. b) Si por normativa el cartel no puede tener una base menor de $2\ metros$ ni mayor de $12\ metros$, ¿cuál es el dominio de esta función en este contexto real?
3. c) ¿Qué tipo de función es? Explica qué ocurre con la altura a medida que la base se hace extremadamente grande.

Un dron de vigilancia despega desde la azotea de un edificio que está a cierta altura sobre el nivel del mar. Tras $4\ segundos$ de vuelo vertical constante, el dron se encuentra a $52\ metros$ de altura. A los $10\ segundos$ de vuelo, alcanza los $88\ metros$.

1. a) Determina la expresión algebraica de la función que relaciona el tiempo de vuelo ($x$, en segundos) con la altura del dron ($y$, en metros).
2. b) ¿A qué altura se encuentra la azotea del edificio?
3. c) Si el dron tiene un techo de vuelo máximo de $150\ metros$, utiliza la expresión algebraica para calcular cuántos segundos puede estar ascendiendo antes de alcanzar ese límite.

Una empresa de mensajería cobra por el envío de paquetes una cantidad fija por la recogida más un coste por cada kilómetro de distancia. Sabemos que un envío a una ciudad situada a $120\ km$ cuesta $15,40\ €$, y un envío a otra ciudad a $200\ km$ cuesta $21,80\ €$.

1. a) Halla la pendiente de la función e indica qué significa en este contexto.
2. b) Encuentra la expresión algebraica de la función $y = f(x)$.
3. c) ¿Cuánto cobraría la empresa por un paquete que se entrega en el mismo punto de recogida ($0\ km$)? ¿Cómo se llama ese valor en la función?

En un laboratorio de física, se está estudiando cómo varía la presión de un gas al cambiar el volumen del recipiente que lo contiene, manteniendo la temperatura constante (Ley de Boyle). Se ha observado que cuando el volumen es de $2\ litros$, la presión es de $6\ atmósferas$.

1. a) Sabiendo que la relación es de proporcionalidad inversa, escribe la expresión algebraica que relaciona la presión ($y$) con el volumen ($x$).
2. b) Calcula mediante la expresión algebraica qué volumen debería tener el recipiente para que la presión se redujera a $1,5\ atmósferas$.
3. c) Representa gráficamente la función para valores de volumen entre $1$ y $12\ litros$.

Dos depósitos de agua idénticos de $500\ litros$ se encuentran en situaciones distintas. El depósito A está lleno y se vacía a un ritmo constante de $8\ litros$ por minuto. El depósito B contiene $120\ litros$ y se está llenando a un ritmo de $12\ litros$ por minuto.

1. a) Escribe la expresión algebraica de la función volumen-tiempo para cada depósito ($y_A$ e $y_B$).
2. b) Utilizando las expresiones anteriores, calcula el instante exacto en el que ambos depósitos tendrán la misma cantidad de agua.
3. c) ¿Qué volumen de agua habrá en los depósitos en ese instante?

Halla la expresión algebraica de una función afín cuya gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos $P(1, 5)$ y $Q(3, 1)$, y que además corta al eje de ordenadas ($Y$) en el mismo punto que la función $g(x) = 4x - 7$.

1. a) Calcula primero la pendiente de la recta que pasa por $P$ y $Q$.
2. b) Identifica la ordenada en el origen de $g(x)$.
3. c) Escribe la expresión final de la función solicitada.

Un grupo de estudiantes de 2º ESO quiere alquilar un autobús para una excursión fin de curso que cuesta $840\ €$.

1. a) Escribe la expresión algebraica que relaciona el precio que debe pagar cada alumno ($y$) en función del número de alumnos que se apunten finalmente ($x$).
2. b) Inicialmente se apuntan $30$ alumnos, pero una semana antes se borran $5$. Utiliza la expresión algebraica para calcular cuánto aumenta el precio para los alumnos que sí van a la excursión.
3. c) Si los alumnos deciden que no pueden pagar más de $35\ €$ cada uno, ¿cuál es el número mínimo de personas que deben asistir para que el viaje se realice? Explica cómo lo has obtenido a partir de la expresión algebraica.