Ejercicios: El conjunto de los números enteros

En una partida de un videojuego de supervivencia, las acciones de tu personaje afectan a sus puntos de experiencia. Expresa con un número entero las siguientes situaciones:

1. a) Encuentras un cofre y ganas $450$ puntos.
2. b) Te derrota un enemigo y pierdes $125$ puntos.
3. c) Caes en una trampa y tu puntuación baja $50$ puntos.
4. d) Completas una misión secundaria y recibes $80$ puntos.

Calcula el valor absoluto y el opuesto de los siguientes números enteros:

1. a) $-14$
2. b) $+21$
3. c) $-5$
4. d) $+9$

Observa la siguiente recta numérica e indica qué números enteros corresponden a los puntos marcados con las letras $A$, $B$, $C$ y $D$.

Compara los siguientes pares de números utilizando los signos $<$ (menor que) o $>$ (mayor que):

1. a) $-8 \quad \dots \quad -2$
2. b) $+5 \quad \dots \quad -10$
3. c) $0 \quad \dots \quad -3$
4. d) $-1 \quad \dots \quad +1$

Un grupo de amigos está midiendo la temperatura en diferentes ciudades de Europa en un día de invierno:

• Berlín: $-4 \text{ °C}$

• Madrid: $+9 \text{ °C}$

• Oslo: $-12 \text{ °C}$

• Roma: $+15 \text{ °C}$

• Zúrich: $-1 \text{ °C}$

Ordena las ciudades de la más fría a la más calurosa.

Dibuja una recta numérica en tu cuaderno y representa en ella los siguientes números enteros:

$$-5, \quad +3, \quad -2, \quad 0, \quad +1, \quad -4$$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. a) El número $-7$ es un número natural ($\mathbb{N}$).
2. b) Todos los números naturales son también números enteros ($\mathbb{Z}$).
3. c) El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.
4. d) El opuesto de un número negativo es siempre negativo.

Estás en un centro comercial muy grande que tiene plantas por encima y por debajo del nivel de la calle (planta $0$).

1. a) Si estás en la planta $-3$ y subes $5$ pisos, ¿en qué planta te encuentras?
2. b) Si estás en la planta $2$ y bajas $3$ pisos, ¿a qué planta llegas?

Asocia un número entero a cada una de las siguientes situaciones extraídas de la vida cotidiana de un adolescente:

1. a) El saldo de tu tarjeta de transporte después de haber gastado $5$ € en viajes y tener una recarga previa de $2$ €.
2. b) La posición de un submarino de exploración en un videojuego que se encuentra a $150$ metros bajo el nivel del mar.
3. c) La temperatura de una estación de esquí que marca $4$ grados bajo cero.
4. d) El año en el que se estima que se inventó el ábaco, aproximadamente $500$ años antes de Cristo.
5. e) Subir en el ascensor de un centro comercial desde la planta de los cines (planta $3$) hasta el parking situado dos plantas más abajo.

Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado varios puntos con letras. Identifica el número entero que corresponde a cada letra y, posteriormente, calcula el valor absoluto de cada uno de ellos.

Escribe todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las dos condiciones que se indican a continuación:

1. Su valor absoluto es menor o igual que $4$: $|x| \le 4$.

2. Son mayores que el opuesto de $2$: $x > Op(+2)$.

En una ciudad de alta montaña, el servicio meteorológico registra las siguientes temperaturas a lo largo de un día de invierno:

• A las 06:00 h: $-8$ ºC.

• A las 12:00 h: La temperatura ha subido $10$ ºC respecto a las 06:00 h.

• A las 20:00 h: La temperatura ha bajado $5$ ºC respecto a las 12:00 h.

• A las 00:00 h: La temperatura es el opuesto de la registrada a las 12:00 h.

Representa estas cuatro temperaturas en una recta numérica y ordénalas de menor a mayor utilizando el signo $<$.

Considera dos números enteros $a$ y $b$. Se sabe que $a$ es un número negativo y $b$ es un número positivo. Indica si las siguientes afirmaciones son siempre verdaderas, a veces verdaderas o siempre falsas, justificando tu respuesta con un ejemplo:

1. a) $|a|$ es siempre mayor que $b$.
2. b) El opuesto de $b$ es siempre menor que $a$.
3. c) El valor absoluto de $a$ es siempre un número positivo.
4. d) $b$ es siempre mayor que $a$.

Un dron de juguete se mueve por un pasillo recto que hemos marcado como una recta numérica. El punto de despegue es el $0$. El dron realiza los siguientes movimientos correlativos:

1. Avanza $+6$ metros.

2. Retrocede $10$ metros.

3. Se desplaza hasta el punto opuesto de su posición actual.

4. Finalmente, avanza hasta un punto cuyo valor absoluto es $2$ y que está a la izquierda del origen.

¿En qué punto de la recta se encuentra el dron al final de su trayecto? Dibújalo en un esquema.

Ordena los siguientes números de menor a mayor colocando en primer lugar los valores negativos y utilizando los signos de desigualdad correspondientes:

$$|-7|, \quad +3, \quad Op(-5), \quad -4, \quad 0, \quad Op(+8), \quad -1, \quad |+2|$$

Completa la siguiente tabla en tu cuaderno, rellenando los huecos vacíos para que cada fila sea coherente con la definición de número entero, su opuesto y su valor absoluto:

Número ($z$)	Opuesto ($Op(z)$)	Valor Absoluto ($|z|$)
$-12$
	$+7$
		$5$ (Si $z$ es positivo)
		$9$ (Si $z$ es negativo)
$Op(-3)$

Determina todos los números enteros $x$ que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones:

• Su valor absoluto es mayor que $5$ y menor o igual que $9$.

• El número $x$ no pertenece al conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$.

• $x$ es un número par.

Representa gráficamente en la recta numérica el conjunto de soluciones obtenidas.

Un submarino de investigación se encuentra a una profundidad de $-450$ metros respecto al nivel del mar. Lanza una sonda vertical que asciende $125$ metros para tomar una muestra, y posteriormente desciende el triple de lo que había ascendido.

1. a) Expresa mediante números enteros cada uno de los movimientos y la posición final de la sonda.
2. b) Calcula la distancia absoluta entre la posición inicial del submarino y la posición final de la sonda.

En una cuadrícula de coordenadas, tres de los vértices de un rectángulo son los puntos $A(-4, 3)$, $B(2, 3)$ y $C(2, -1)$.

1. a) Determina las coordenadas del cuarto vértice $D$ para completar el rectángulo.
2. b) Calcula el perímetro del rectángulo sabiendo que cada unidad de la cuadrícula equivale a $1$ metro.
3. c) ¿Cuál es el punto simétrico del vértice $A$ respecto al eje de abscisas (eje horizontal)? Indica sus coordenadas como un número entero.

Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, proporcionando un contraejemplo en caso de que sean falsas:

1. a) Si un número entero $a$ es menor que $b$, entonces el valor absoluto de $a$ siempre es menor que el valor absoluto de $b$ ($|a| < |b|$).
2. b) El opuesto del valor absoluto de cualquier número entero (distinto de cero) es siempre un número negativo.
3. c) No existe ningún número entero cuyo valor absoluto sea igual a su opuesto.

Dados los números enteros $a = -12$ y $b = +5$:

1. a) Calcula la distancia entre ellos en la recta numérica.
2. b) Encuentra un número entero $c$ que esté exactamente a la misma distancia de $a$ que de $b$. ¿Es $c$ un número entero? Justifica tu respuesta.
3. c) Si $d$ es un número tal que $|d| = |a| + |b|$, ¿qué valores puede tomar $d$?

Escribe el nombre de un personaje histórico que cumpla las siguientes condiciones:

• Nació en el año $x$, donde $x$ es el opuesto de $356$.

• Murió en el año $y$, donde $y$ es un número entero tal que $|y| = 323$ y $y < 0$.

• Calcula cuántos años vivió este personaje sabiendo que no existe el año cero en el calendario gregoriano (pasa del 1 a.C. al 1 d.C.).

Se define una secuencia de números enteros de la siguiente manera:

1. El primer término es $a_1 = -5$.

2. El segundo término es el opuesto del valor absoluto de $a_1$, aumentado en $2$ unidades.

3. El tercer término es el valor absoluto del segundo término, disminuido en $10$ unidades.

Calcula el cuarto término si este es el opuesto de la suma de los tres términos anteriores.

Imagina que un termómetro inteligente registra la temperatura máxima y mínima de una ciudad. Un día, la temperatura mínima fue de $-8$ $^\circ C$. La temperatura máxima fue un número entero $T$ que cumple:

• $|T| < 15$

• La diferencia entre la máxima y la mínima (amplitud térmica) es de $12$ grados.

• $T$ es un número mayor que su opuesto.

¿Cuál fue la temperatura máxima registrada? Indica todas las posibilidades si las hubiera.