Ejercicios: Volumen

Para un proyecto de clase, tienes que estimar cuánta agua cabe en tu mochila escolar. Si suponemos que tu mochila tiene una capacidad de $18.500 \text{ cm}^3$, ¿cuántos litros de agua podría contener si fuera totalmente impermeable?

Recuerda que $1 \text{ dm}^3$ es equivalente a $1 \text{ litro}$.

Has comprado un nuevo smartphone y quieres calcular el volumen de su caja para saber cuánto espacio ocupará en tu estantería. La caja es un ortoedro (prisma rectangular) con las siguientes dimensiones: $16 \text{ cm}$ de largo, $9 \text{ cm}$ de ancho y $5 \text{ cm}$ de alto. Calcula su volumen en $\text{cm}^3$.

Una famosa marca de refrescos utiliza latas cilíndricas para sus bebidas. Si el radio de la base de la lata es de $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$, calcula el volumen de refresco que puede contener la lata. (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Estás de acampada con tus amigos y tenéis una tienda con forma de prisma triangular recto. La base de la tienda (el suelo) es un triángulo de $2 \text{ m}$ de base y $1,5 \text{ m}$ de altura. Si la tienda tiene una longitud (profundidad) de $3 \text{ m}$, ¿cuál es el volumen de aire que hay dentro de la tienda?

Tienes un pisapapeles de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. El área de su base cuadrada es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura de la pirámide es de $9 \text{ cm}$. Calcula el volumen de cristal necesario para fabricar este pisapapeles.

Para una fiesta de cumpleaños, se han fabricado gorros de cartulina en forma de cono. Si cada gorro tiene un radio de $8 \text{ cm}$ y una altura de $15 \text{ cm}$, ¿qué volumen de aire queda "atrapado" dentro del gorro cuando alguien lo lleva puesto? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Una pelota de ping-pong tiene un radio de $2 \text{ cm}$. Calcula el volumen de la pelota de ping-pong en $\text{cm}^3$. (Utiliza la fórmula del volumen de la esfera $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ y toma $\pi \approx 3,14$).

En el laboratorio de ciencias tienen un pequeño acuario con forma de ortoedro. Sus medidas son $40 \text{ cm}$ de largo, $20 \text{ cm}$ de ancho y $25 \text{ cm}$ de alto. Si lo llenamos de agua hasta una altura de $20 \text{ cm}$, ¿cuántos litros de agua hemos echado?

Una conocida marca de batidos ha diseñado un nuevo envase cilíndrico para su edición limitada de verano. El bote tiene un diámetro de $8\text{ cm}$ y una altura de $15\text{ cm}$. Si el fabricante indica que el batido ocupa el $90\%$ de la capacidad total del envase para dejar espacio al aire, calcula cuántos mililitros ($ml$) de producto contiene cada bote.

Has decidido construir un hormiguero de gel para un proyecto de ciencias. El recipiente tiene forma de ortoedro (prisma rectangular) con unas dimensiones de $25\text{ cm}$ de largo, $10\text{ cm}$ de ancho y $18\text{ cm}$ de alto. Si el gel se vende en botes de $0,5\text{ litros}$, ¿cuántos botes completos necesitarás comprar para llenar el hormiguero hasta una altura de $15\text{ cm}$?

Una empresa de perfumes lanza una fragancia en un frasco con forma de cono recto. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y la generatriz mide $5\text{ cm}$. Calcula el volumen de perfume que cabe en el frasco expresado en centímetros cúbicos. Ayuda: primero deberás hallar la altura del cono usando el teorema de Pitágoras.

En un museo de ciencia hay una exhibición interactiva con una esfera de cristal llena de un gas noble. Si el diámetro de la esfera es de $60\text{ cm}$, ¿cuál es el volumen de gas en su interior? Expresa el resultado en metros cúbicos ($m^3$).

Un silo de almacenamiento de grano tiene una forma compuesta: un cuerpo cilíndrico de $10\text{ m}$ de altura y una cúpula semiesférica en la parte superior. Si el radio de la base es de $4\text{ m}$, calcula la capacidad total del silo en hectolitros ($hl$).

Para un evento de videojuegos, se ha diseñado un trofeo que consiste en una pirámide cuadrangular regular de bronce. El lado de la base cuadrada mide $12\text{ cm}$ y la arista lateral (la que une el vértice con una esquina de la base) mide $10\text{ cm}$. Calcula el volumen de bronce necesario para fabricar un trofeo.

El principio de Cavalieri afirma que dos cuerpos con la misma altura y cuyas secciones a una misma distancia de la base tienen la misma área, poseen el mismo volumen. Compara un prisma hexagonal regular de $20\text{ cm}$ de altura y $30\text{ cm}^2$ de área de la base con un cilindro de la misma altura y el mismo área de la base. Si vertemos $0,5\text{ litros}$ de agua en cada uno, ¿cuál se llenará primero? Justifica tu respuesta calculando el volumen de ambos.

Una piscina municipal con forma de prisma rectangular tiene una capacidad de $1200\text{ m}^3$. Si sabemos que el largo de la piscina es de $50\text{ metros}$ y el ancho de $12\text{ metros}$, calcula la profundidad (altura) de la piscina. Si el ayuntamiento decide llenarla solo hasta los $4/5$ de su capacidad por seguridad, ¿cuántos litros de agua habrá en la piscina?

Un diseñador ha creado un trofeo para un torneo de eSports con una forma geométrica compleja. El trofeo consiste en un prisma cuadrangular regular de madera sobre el cual se apoya una pirámide cuadrangular regular de metal. La arista de la base común mide $12\text{ cm}$. La altura del prisma es de $20\text{ cm}$, y sabemos que la arista lateral de la pirámide mide $10\text{ cm}$. Calcula el volumen total del trofeo en decímetros cúbicos ($dm^3$).

Una pieza industrial de acero tiene forma de ortoedro de dimensiones $10\text{ cm} \times 8\text{ cm} \times 6\text{ cm}$. Para aligerar su peso, se le ha practicado un orificio cilíndrico que atraviesa la pieza de arriba a abajo por su cara más grande. El radio del cilindro es de $2\text{ cm}$. Sabiendo que la densidad del acero es de $7,85\text{ g/cm}^3$, calcula la masa total de la pieza en kilogramos. (Toma $\pi \approx 3,14$).

En el laboratorio de física, los alumnos sumergen completamente una esfera de plomo en un recipiente cilíndrico lleno de agua hasta la mitad. El radio del recipiente es de $10\text{ cm}$. Al introducir la esfera, el nivel del agua sube exactamente $4,5\text{ cm}$ sin llegar a desbordarse. ¿Cuál es el radio de la esfera de plomo? Expresa el resultado en centímetros con dos decimales.

Un depósito de agua tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las aristas de las bases miden $4\text{ m}$ y $2\text{ m}$ respectivamente. La altura del depósito es de $3\text{ m}$. Si el depósito está lleno hasta las tres cuartas partes de su altura (es decir, el agua alcanza los $2,25\text{ m}$ desde la base), ¿cuántos litros de agua contiene? (Nota: Tendrás que usar la semejanza para hallar el lado de la superficie del agua).

Calcula el volumen de una pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide $13\text{ cm}$ y el lado de su base mide $10\text{ cm}$. Recuerda que en un hexágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado. Expresa el resultado en $cm^3$ aproximando a las unidades.

Un fabricante de helados quiere comparar dos recipientes. El primero tiene forma de cono de $6\text{ cm}$ de radio y $15\text{ cm}$ de altura. El segundo es un cilindro con el mismo radio y la misma altura, pero dentro contiene una semiesfera de chocolate que ocupa la parte inferior. Si el radio de la semiesfera es también de $6\text{ cm}$, ¿cuál de los dos recipientes tiene mayor volumen disponible para el helado de vainilla? Razona la respuesta realizando los cálculos.

Se desea construir una rampa de hormigón para un parque de skate. La rampa tiene forma de prisma recto cuya base es un trapecio rectángulo. Las bases del trapecio miden $3\text{ m}$ y $1\text{ m}$, y su altura (longitud de la base de la rampa en el suelo) es de $5\text{ m}$. Si el ancho de la rampa es de $4\text{ m}$, calcula cuántos metros cúbicos de hormigón se necesitan y el coste total si el precio es de $95\text{ €/m}^3$.

Una empresa de perfumes vende su fragancia estrella en un frasco que consiste en un cilindro de cristal de $4\text{ cm}$ de diámetro y $10\text{ cm}$ de altura, rematado por un tapón en forma de cono de la misma base y $3\text{ cm}$ de altura. Si el frasco se llena solo hasta el $85\%$ de su capacidad total para dejar espacio al aire, ¿cuántos mililitros ($ml$) de perfume contiene cada frasco? (Toma $\pi \approx 3,1416$).