Ejercicios: Cuerpos de revolución

Imagina que pegas las siguientes figuras planas a un palillo y las haces girar rápidamente sobre él. Identifica qué cuerpo de revolución se genera en cada caso:

1. a) Un rectángulo que gira sobre uno de sus lados.
2. b) Un triángulo rectángulo que gira sobre uno de sus catetos.
3. c) Un semicírculo que gira sobre su diámetro.

En el siguiente dibujo de un cono, identifica el nombre de los elementos señalados con las letras $r$, $h$ y $g$. Explica brevemente qué representa cada uno de ellos.

Una lata de refresco cilíndrica tiene una altura de $12$ cm y el radio de su base mide $3$ cm. Dibuja de forma esquemática su desarrollo plano (las figuras que obtendrías si cortaras la lata y la extendieras sobre una mesa) e indica las medidas conocidas en el dibujo.

Para fabricar un gorro de fiesta con forma de cono, necesitamos conocer su generatriz ($g$). Si el gorro tiene una altura de $8$ cm y un radio en la base de $6$ cm, utiliza el teorema de Pitágoras para calcular cuánto debe medir la generatriz.

Calcula el volumen de una bola de bolos (que es una esfera perfecta) sabiendo que su radio mide $11$ cm. Utiliza la fórmula $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ y toma como valor de $\pi \approx 3,14$.

Un bote de pelotas de tenis tiene forma de cilindro. La base tiene un diámetro de $7$ cm y la altura del bote es de $22$ cm. Calcula el área de la superficie lateral del bote (sin contar las tapas).

Pista: Recuerda que el área lateral de un cilindro es $A_L = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$.

Identifica cuál de estos desarrollos planos no podría formar nunca un cilindro y explica por qué.

Si realizamos un corte horizontal (paralelo a la base) a un cilindro y a un cono, ¿qué figura geométrica plana obtendremos en la sección del corte? ¿Sería la misma si el corte fuera vertical pasando por el centro de las bases?

Dibuja en tu cuaderno el cuerpo de revolución que se genera al hacer girar la siguiente figura plana alrededor del eje indicado. ¿Qué nombre recibe el cuerpo obtenido? Describe sus elementos principales (bases, altura y generatriz).

Una marca de refrescos quiere diseñar una nueva lata cilíndrica. El radio de la base debe ser de $3,5\text{ cm}$ y la altura de la lata de $12\text{ cm}$. Calcula la cantidad de metal (superficie total) necesaria para fabricar una de estas latas. Redondea el resultado a dos decimales.

Para una fiesta de disfraces, Lucía está fabricando sombreros en forma de cono. Si cada sombrero tiene una generatriz de $25\text{ cm}$ y el diámetro de la base es de $14\text{ cm}$, ¿qué altura tendrá el sombrero? Utiliza el teorema de Pitágoras para hallarla.

Calcula el volumen de una bola de helado perfectamente esférica que tiene un radio de $3\text{ cm}$. Si el helado se derrite dentro de un recipiente cilíndrico de la misma base y la misma altura que la esfera, ¿qué altura alcanzará el helado líquido? (Supón que el volumen no varía al derretirse).

Un depósito de agua tiene forma de cilindro con un radio de $2\text{ metros}$ y una altura de $5\text{ metros}$. Si el depósito está lleno hasta las tres cuartas partes de su capacidad, ¿cuántos litros de agua contiene? (Recuerda que $1\text{ m}^3 = 1000\text{ litros}$).

Un cono de señalización de tráfico tiene una altura de $60\text{ cm}$ y un radio de la base de $15\text{ cm}$. Calcula su área lateral (la superficie que habría que pintar de color naranja). Para ello, primero deberás hallar la generatriz del cono usando el teorema de Pitágoras.

Se corta una naranja esférica de $10\text{ cm}$ de diámetro por un plano que pasa a una distancia de $3\text{ cm}$ del centro. Al separar los dos trozos, la sección del corte es un círculo. Calcula el radio de ese círculo de corte aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado.

Disponemos de un trozo de cartulina con forma de sector circular como el de la imagen. Al unir los bordes rectos, formamos la superficie lateral de un cono. Calcula el área total de dicho cono sabiendo que el radio del sector (que será la generatriz) es de $10\text{ cm}$ y que la longitud del arco es de $18,84\text{ cm}$.

Una empresa de perfumes está diseñando un nuevo frasco de cristal. El frasco tiene una base cilíndrica de $3 \text{ cm}$ de radio y $6 \text{ cm}$ de altura. Sobre esta base, se apoya un tronco de cono cuya base superior tiene $1 \text{ cm}$ de radio y su generatriz mide $5 \text{ cm}$. Sabiendo que el tapón es una semiesfera perfecta que encaja exactamente en la abertura superior de $1 \text{ cm}$ de radio, calcula la superficie total exterior del frasco (sin contar la base de apoyo).

Un rodillo industrial de acero tiene forma de cilindro hueco. El diámetro exterior del rodillo es de $20 \text{ cm}$, el diámetro interior es de $16 \text{ cm}$ y su longitud total es de $50 \text{ cm}$. Si la densidad del acero es de $7,85 \text{ g/cm}^3$, calcula la masa total del rodillo en kilogramos. (Recuerda que para hallar el volumen del cilindro hueco debes restar el volumen del cilindro interior al exterior).

Para una exhibición de arte, se ha construido una pieza de metal formada por un cono que encaja perfectamente dentro de un cilindro de la misma altura ($12 \text{ cm}$) y mismo radio de la base ($5 \text{ cm}$). El cono está invertido, de modo que su vértice toca el centro de la base inferior del cilindro. Calcula el volumen de agua que se necesitaría para llenar el espacio vacío que queda entre las paredes del cilindro y el cono.

Un helado de cucurucho tiene forma de cono de $15 \text{ cm}$ de altura y $3 \text{ cm}$ de radio en la abertura superior. Se coloca una bola de helado que es una esfera perfecta de $3,5 \text{ cm}$ de radio. Debido al tamaño, parte de la bola queda fuera del cucurucho y parte queda dentro. Si la bola se apoya justo en el borde circular del cono, ¿qué distancia hay desde el punto más bajo de la bola de helado hasta el vértice inferior del cucurucho? (Utiliza el teorema de Pitágoras).

Una boya marítima está formada por la unión de dos conos idénticos por sus bases. La longitud total de la boya de punta a punta es de $2 \text{ metros}$ y el diámetro de la sección circular central donde se unen es de $120 \text{ cm}$. Calcula el volumen total de la boya en litros y su superficie exterior total.

Se corta una esfera de radio $13 \text{ cm}$ mediante un plano horizontal que pasa a una distancia de $5 \text{ cm}$ del centro. Este corte genera un círculo (sección). Calcula el área de ese círculo de corte y el área del casquete esférico superior resultante, sabiendo que la superficie de un casquete esférico se calcula como $S = 2 \cdot \pi \cdot R \cdot h$, donde $h$ es la altura del casquete.

Un depósito de agua tiene forma de tronco de cono invertido. El radio de la base superior (abierta) es de $4 \text{ metros}$ y el de la base inferior (fondo) es de $2 \text{ metros}$. La altura total del depósito es de $6 \text{ metros}$. Si el depósito se llena hasta la mitad de su altura ($3 \text{ metros}$), utiliza la semejanza de triángulos para hallar el radio de la superficie del agua en ese momento y calcula el volumen de agua acumulado.

Calcula el volumen del cuerpo generado al girar $360^\circ$ el siguiente polígono irregular alrededor del eje vertical indicado. El polígono está formado por un rectángulo de $2 \times 4 \text{ cm}$ y un triángulo rectángulo de base $3 \text{ cm}$ unido a su lateral.