Ejercicios: Cuerpos redondos

Imagina que eres un diseñador gráfico y estás creando un logotipo en 3D. Para ello, haces girar un rectángulo de $5 \text{ cm}$ de base y $12 \text{ cm}$ de altura alrededor de uno de sus lados más largos. Dibuja el cuerpo de revolución que se obtiene e identifica cómo se llaman sus elementos principales (base y altura), indicando cuánto mide cada uno.

Para una fiesta de disfraces, quieres fabricar un gorro cónico. Has medido el radio de la base, que es de $9 \text{ cm}$, y la altura del gorro, que será de $12 \text{ cm}$. Utiliza el Teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la generatriz ($g$) que necesitarás para trazar el desarrollo en la cartulina.

Una famosa marca de patatas fritas utiliza botes cilíndricos. Si el radio de la base del bote es de $4 \text{ cm}$ y su altura es de $20 \text{ cm}$, calcula el área de la etiqueta de papel que rodea lateralmente el bote (área lateral). Toma $\pi \approx 3,14$.

Una pelota de baloncesto tiene un diámetro de $24 \text{ cm}$. ¿Cuál es la superficie total de cuero necesaria para fabricarla? Recuerda que el radio es la mitad del diámetro y utiliza la fórmula del área de la esfera $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$. (Usa $\pi \approx 3,14$).

Un bote de refresco tiene forma cilíndrica. El radio de su base mide $3 \text{ cm}$ y su altura es de $12 \text{ cm}$. Calcula el volumen de refresco que puede contener si se llena por completo. Expresa el resultado en centímetros cúbicos ($cm^3$).

Identifica cuál de las siguientes figuras planas, al girar sobre el eje indicado, daría lugar a un tronco de cono (como un vaso de café invertido). Explica brevemente por qué has elegido esa opción.

Un barquillo de helado tiene forma de cono. Si el área de la base es de $25 \text{ cm}^2$ y la altura del barquillo es de $10 \text{ cm}$, calcula su volumen. Recuerda que el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro con la misma base y altura: $V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$.

En una clase de geografía, observamos un globo terráqueo. Si sabemos que la longitud del ecuador (circunferencia máxima) es de aproximadamente $62,8 \text{ cm}$, ¿cuál es el radio de esa esfera? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Una empresa de refrescos quiere diseñar una nueva lata cilíndrica. El radio de la base debe ser de $3,5\text{ cm}$ y la altura de la lata de $12\text{ cm}$. Calcula el área total de la chapa necesaria para fabricar una lata (sin contar las pestañas de cierre) y el volumen de refresco que puede contener en mililitros ($1\text{ cm}^3 = 1\text{ ml}$).

Se está fabricando una carpa provisional para un evento con forma de cono perfecto. La altura de la carpa desde el suelo hasta el vértice superior es de $4\text{ m}$ y el diámetro de la base circular es de $6\text{ m}$. ¿Cuántos metros cuadrados de lona se han necesitado para cubrir solo la parte lateral de la carpa? (Dato: Primero deberás hallar la generatriz usando el Teorema de Pitágoras).

Una famosa marca de chocolates vende sus bombones en una caja con forma de esfera de $10\text{ cm}$ de diámetro. Si la caja está llena hasta el $75\%$ de su capacidad con chocolate líquido, ¿cuántos centímetros cúbicos de chocolate hay en su interior? Expresa el resultado redondeando a las centésimas.

Calcula el volumen de una pieza de madera que se ha formado uniendo un cilindro y una semiesfera (media esfera). El cilindro tiene una altura de $10\text{ cm}$ y el radio de su base es de $4\text{ cm}$. La semiesfera se apoya exactamente sobre la base superior del cilindro.

Un helado de cucurucho tiene forma de cono. El barquillo tiene una profundidad (altura) de $12\text{ cm}$ y el radio de la abertura es de $3\text{ cm}$. Si el helado llena el interior del cucurucho y además sobresale una bola perfecta en la parte superior que tiene el mismo radio que el cono, calcula el volumen total de helado.

Observa el desarrollo plano de un cilindro. Se sabe que el área de una de sus bases circulares es de $28,26\text{ cm}^2$ y que la altura del rectángulo lateral es de $10\text{ cm}$. Calcula:

1. a) El radio de la base.
2. b) El área lateral del cilindro.
3. c) El área total.

(Usa $\pi \approx 3,14$).

Un depósito de agua tiene forma de cilindro con una altura de $5\text{ m}$. Si queremos que el depósito tenga una capacidad de $100.000\text{ litros}$, ¿qué radio debe tener la base del depósito? (Recuerda que $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ litros}$). Redondea el radio a dos cifras decimales.

Se corta una esfera de madera de $13\text{ cm}$ de radio por un plano horizontal. Si la distancia desde el centro de la esfera hasta el corte es de $5\text{ cm}$, ¿cuál es el radio del círculo que se forma en la sección del corte? (Aplica el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma).

Una empresa de diseño de interiores fabrica tulipas para lámparas con forma de tronco de cono. El radio de la base superior es de $12\text{ cm}$, el de la base inferior es de $20\text{ cm}$ y la altura de la tulipa es de $15\text{ cm}$. Si el material especial de tela cuesta $18,50\text{ €/m}^2$, calcula el coste del material necesario para fabricar 25 tulipas iguales (ten en cuenta que la tulipa no tiene bases, es solo la superficie lateral).

Un rodillo de apisonadora de acero tiene forma de cilindro con un diámetro de $1,2\text{ metros}$ y una longitud de $2,5\text{ metros}$. El acero tiene una densidad de $7850\text{ kg/m}^3$. Si el rodillo es hueco y el espesor del acero es de $10\text{ cm}$ en todo su contorno (excepto en las caras laterales que se consideran despreciables), calcula la masa total del rodillo en toneladas.

Se desea construir un depósito para cereales que consta de un cuerpo cilíndrico de $4\text{ m}$ de altura y $3\text{ m}$ de radio, rematado en su parte inferior por un cono del mismo radio y una generatriz de $5\text{ m}$ para facilitar la descarga. Calcula el volumen total de almacenamiento del depósito y la superficie total de chapa necesaria para fabricarlo (incluyendo la tapa superior plana del cilindro).

Una esfera de cristal de $15\text{ cm}$ de radio se introduce en un recipiente cilíndrico de $32\text{ cm}$ de diámetro que contiene agua. Si la esfera se sumerge completamente hasta el fondo, ¿cuántos centímetros subirá el nivel del agua en el recipiente? Expresa el resultado redondeando a las centésimas.

Calcula el área de la superficie de un "cono de helado" compuesto por un cono recto de $12\text{ cm}$ de altura y $5\text{ cm}$ de radio de la base, coronado por una semiesfera perfecta que encaja exactamente en la base del cono. Si queremos envolver el helado (cono y semiesfera) con un papel protector, ¿qué superficie mínima de papel necesitaremos?

Se ha cortado una esfera de madera de $20\text{ cm}$ de radio por un plano situado a $12\text{ cm}$ del centro. Al separar los dos fragmentos, se obtienen dos casquetes esféricos. Calcula el área total (superficie curva más la base circular plana del corte) del casquete esférico más pequeño.

(Pista: utiliza el teorema de Pitágoras para hallar el radio del círculo de la sección).

Un envase de perfume tiene forma de cilindro de $10\text{ cm}$ de altura. En su interior, el cristal tiene una forma cónica invertida que llega exactamente hasta el fondo y cuya base coincide con la tapa del cilindro. Si el radio del envase es de $3\text{ cm}$, calcula qué porcentaje del volumen total del cilindro está ocupado por el perfume cuando el envase está lleno. ¿Depende este porcentaje del radio y la altura elegidos? Razona tu respuesta.

Se genera un cuerpo de revolución haciendo girar un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$ alrededor de su hipotenusa.

1. a) Describe el cuerpo resultante (puedes dibujarlo).
2. b) Calcula el área total de la superficie del cuerpo generado.

(Ayuda: El cuerpo está formado por dos conos unidos por su base. Necesitarás calcular la altura del triángulo relativa a la hipotenusa).