Ejercicios: Área

Un artesano está fabricando dados gigantes de madera para una ludoteca. Si cada dado es un cubo perfecto que tiene una arista de $a = 12 \text{ cm}$, calcula la superficie total de madera que tendrá que pintar en cada uno de los dados.

Calcula el área total de una caja de zapatos con forma de ortoedro cuyas dimensiones son $15 \text{ cm}$ de ancho, $30 \text{ cm}$ de largo y $10 \text{ cm}$ de alto. Dibuja de forma esquemática su desarrollo plano para ayudarte en el cálculo.

Para un proyecto de tecnología, necesitas forrar con papel adhesivo un bote cilíndrico de lápices. El bote tiene un radio de la base de $r = 4 \text{ cm}$ y una altura de $h = 12 \text{ cm}$. Calcula cuántos centímetros cuadrados de papel necesitarás, sabiendo que el bote está abierto por arriba (solo tiene una base). Toma $\pi \approx 3,14$.

Una carpa de jardín tiene forma de prisma triangular regular recto. La base es un triángulo equilátero de lado $l = 3 \text{ m}$ y una altura del triángulo de $1,7 \text{ m}$. Si la longitud de la carpa (altura del prisma) es de $5 \text{ m}$, calcula el área lateral de la carpa (sin incluir las dos bases triangulares).

Halla el área total de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base cuadrada mide $8 \text{ cm}$ y la apotema de sus caras laterales mide $10 \text{ cm}$.

Un balón de baloncesto tiene un radio de $r = 12 \text{ cm}$. Calcula la superficie de cuero necesaria para fabricarlo, redondeando el resultado a dos decimales. (Recuerda que el área de la esfera es $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$).

Observa el desarrollo plano de este cuerpo geométrico. Si cada uno de los triángulos equiláteros tiene un área de $15 \text{ cm}^2$ y el cuadrado central tiene un lado de $6 \text{ cm}$, ¿cuál es el área total de la figura cuando se monte? ¿Qué cuerpo geométrico se forma?

Calcula el área lateral de un cilindro cuya circunferencia de la base mide $C = 25,12 \text{ cm}$ y su altura es de $h = 10 \text{ cm}$. (Pista: Recuerda que al abrir el cilindro, el área lateral es un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia).

Para un proyecto de tecnología, tienes que fabricar una caja de madera con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $4\text{ cm}$ y la altura del prisma es de $15\text{ cm}$. Calcula la superficie total de madera que necesitarás para construir la caja (incluyendo las dos bases).

(Nota: Para hallar el área de la base, recuerda que primero debes calcular la apotema del hexágono usando el teorema de Pitágoras).

Una carpa para un evento juvenil tiene forma de pirámide cuadrangular regular. El lado de la base cuadrada mide $10\text{ m}$ y la altura de la pirámide (desde el centro de la base hasta el vértice superior) es de $12\text{ m}$. Calcula cuántos metros cuadrados de lona se han necesitado para fabricar las cuatro caras laterales de la carpa.

Un fabricante de velas artesanales quiere recubrir con un papel protector plateado la superficie lateral de una vela cilíndrica. La vela tiene un diámetro de $8\text{ cm}$ y una altura de $20\text{ cm}$. Si el papel solo debe cubrir la parte curva (sin las bases), ¿qué superficie de papel se necesita para cada vela? Utiliza $\pi \approx 3,14$.

En una heladería de diseño, han creado un barquillo con forma de cono recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y el radio de su base es de $5\text{ cm}$. Calcula el área total del barquillo (superficie lateral más el círculo de la base) para saber cuánto chocolate necesitan para bañarlo por completo.

(Pista: Primero deberás hallar la generatriz del cono).

Un moderno macetero tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. Las bases son dos cuadrados de lados $20\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$ respectivamente. Si la altura de las caras laterales (la apotema del tronco) es de $10\text{ cm}$, calcula el área total de la superficie exterior del macetero (bases superior e inferior incluidas).

Se quiere restaurar la cúpula de un observatorio astronómico que tiene forma de semiesfera de $6\text{ metros}$ de radio. Si el presupuesto para la pintura es de $15\text{ €}$ por cada metro cuadrado, ¿cuánto costará pintar la superficie exterior de la cúpula? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Un faro decorativo para un jardín está formado por dos cuerpos: un cilindro de $10\text{ cm}$ de radio y $30\text{ cm}$ de altura, coronado por un cono de la misma base y $15\text{ cm}$ de generatriz. Calcula el área total de la superficie exterior de este faro (sin contar la base sobre la que se apoya).

Calcula el área total de un cubo sabiendo que la diagonal de una de sus caras mide $10\text{ cm}$.

(Pista: Utiliza el teorema de Pitágoras en una de las caras para hallar la medida de la arista del cubo antes de calcular el área).

Una empresa de diseño quiere fabricar una lámpara de techo con forma de pirámide hexagonal regular. El lado del hexágono de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura de la pirámide es de $24\text{ cm}$. Para que la luz se proyecte correctamente, deben forrar las caras laterales con una lámina de cobre especial. Calcula cuántos $\text{cm}^2$ de lámina de cobre se necesitan para cubrir la superficie lateral de la lámpara. Ten en cuenta que primero deberás hallar la apotema de la base y, con ella, la apotema de la pirámide.

Un arquitecto ha diseñado una claraboya para un museo que consiste en un tronco de pirámide cuadrangular regular de cristal. La base inferior tiene un lado de $4\text{ m}$, la base superior un lado de $2\text{ m}$ y la altura del tronco es de $1,5\text{ m}$. El cristal utilizado para las caras laterales cuesta $85\text{ €/m}^2$. Calcula el presupuesto necesario para comprar el cristal de la superficie lateral, redondeando el resultado a dos decimales.

Se ha diseñado un trofeo de metacrilato que consiste en un cilindro recto de $10\text{ cm}$ de altura y $6\text{ cm}$ de diámetro, al cual se le ha extraído una semiesfera perfecta en la base superior, cuyo radio coincide exactamente con el radio del cilindro. Calcula el área total de la superficie del trofeo (superficie exterior cilíndrica, superficie de la base inferior y la superficie curva del hueco semiesférico). Usa $\pi \approx 3,14$.

Un depósito industrial tiene forma de cilindro recto coronado por un cono de la misma base. La altura de la parte cilíndrica es de $8\text{ m}$ y la altura de la parte cónica es de $3\text{ m}$. El diámetro del depósito es de $8\text{ m}$. Se desea pintar toda la superficie exterior lateral y la base superior (cono), pero no la base sobre la que se apoya. Si con cada bote de pintura se pueden cubrir $15\text{ m}^2$, ¿cuántos botes de pintura se deben comprar como mínimo?

Un cubo de madera de $12\text{ cm}$ de arista se corta mediante un plano que pasa por los puntos medios de tres aristas concurrentes en un mismo vértice, separando una pequeña pirámide triangular (un tetraedro irregular). Calcula el área total de la figura resultante que queda tras retirar la pequeña pirámide. Ayuda: El corte genera una nueva cara que es un triángulo equilátero cuyos lados son las diagonales de los cuadrados de lado $6\text{ cm}$.

Un fabricante de balones de gimnasia produce esferas de caucho de dos tamaños. El balón pequeño tiene una superficie de $5024\text{ cm}^2$. El balón grande tiene un radio que es exactamente el doble que el del balón pequeño. Calcula el área de la superficie del balón grande. ¿Qué relación numérica (razón) hay entre el área del balón grande y la del pequeño? Usa $\pi = 3,14$.

Se quiere construir un invernadero con forma de medio cilindro apoyado sobre el suelo, como se muestra en la figura. La longitud del invernadero es de $15\text{ m}$ y la anchura de la base (el diámetro del semicilindro) es de $6\text{ m}$. Si el plástico para cubrir la parte curva y las dos paredes frontales (semicírculos) cuesta $12\text{ €/m}^2$, ¿cuál será el coste total del plástico necesario? (No se cuenta el suelo).

Una pieza mecánica de acero tiene la forma de un prisma recto de base cuadrada con un agujero cilíndrico que la atraviesa de base a base por el centro. El lado del cuadrado de la base del prisma mide $10\text{ cm}$ y la altura de la pieza es de $20\text{ cm}$. El diámetro del agujero cilíndrico es de $8\text{ cm}$. Calcula el área de la superficie total de la pieza (incluyendo la superficie interior del agujero).