Ejercicios: Juegos de azar y decisiones

Tres amigos juegan lanzando dos monedas: Adrián gana si salen dos caras, Blanca si salen dos cruces y Carlos si sale una cara y una cruz.

a) Escribe el espacio muestral.

b) Calcula la probabilidad de ganar de cada uno.

c) ¿Es un juego equitativo? ¿Quién tiene ventaja?

En un juego ganas si al lanzar un dado sale un $5$ o un $6$, y pierdes en cualquier otro caso.

a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

b) Si juegas $30$ veces, ¿cuántas victorias esperarías?

Una ruleta está dividida en dos mitades iguales, una roja y una azul. Dos jugadores apuestan cada uno a un color y ganan $1$ punto por acierto. ¿Es un juego equitativo? ¿Por qué?

En un juego apuestas $1$ ficha a un número del $1$ al $6$ y lanzas un dado: si sale tu número, te llevas $6$ fichas (la tuya más otras $5$); si no, pierdes la ficha.

a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

b) Si juegas $60$ veces, ¿cuántas veces esperarías ganar? ¿Cuál sería tu balance total de fichas?

c) ¿Es equitativo el juego? ¿Por qué?

Elsa y Bruno lanzan dos dados: Elsa gana si la suma es par y Bruno si es impar.

a) ¿Es un juego justo? Calcula las probabilidades de ganar de cada uno.

b) ¿Y si en lugar de sumar multiplican los resultados y Elsa sigue apostando al par? Calcula las nuevas probabilidades y explica quién tiene ventaja.

En la feria, un puesto propone este juego: apuestas $1\text{ €}$ a un número del $1$ al $6$ y se lanza un dado; si sale tu número, te devuelven $5\text{ €}$ (tu euro más cuatro más); si no, pierdes el euro.

a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

b) Si juegas $60$ veces, ¿cuál sería tu balance esperado?

c) ¿Es un juego equitativo? Si no lo es, ¿cuánto debería pagar el premio para que lo fuera?

Se lanzan tres fichas: una con las caras verde y roja, otra con verde y azul, y otra con roja y azul. El jugador $1$ gana si dos fichas cualesquiera muestran el mismo color; el jugador $2$ gana si los tres colores son distintos.

a) Con un diagrama de árbol, calcula la probabilidad de ganar de cada jugador.

b) ¿Es un juego equitativo?

c) Propón un cambio en las reglas o en los puntos que lo convierta en un juego justo.

En la caseta de feria de la figura, girar la ruleta cuesta $2\text{ €}$.

a) Calcula la probabilidad de cada resultado (sin premio, pulsera y peluche).

b) Si juegas $100$ veces, que cuestan $200\text{ €}$, ¿qué valor total de premios esperarías recibir?

c) ¿Merece la pena jugar? ¿A quién favorece el juego?

Carla y Jesús juegan con dos dados cuyas caras son los seis primeros números primos ($2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$). Jesús propone: «Si el producto es $49$, ganas tú; si es $6$, gano yo». Carla no acepta.

a) ¿Cuántos pares dan producto $49$? ¿Y producto $6$?

b) ¿Por qué crees que no acepta Carla? Calcula las probabilidades.

c) Propón un producto para cada jugador que haga el juego equitativo.

Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones sobre la lotería y el azar:

a) Como en mi ciudad casi nunca toca el premio gordo, tengo más probabilidad si compro el décimo en otra ciudad.

b) El número $00\,027$ tiene menos probabilidad de salir que el $23\,568$.

c) Si en los últimos sorteos ha salido muchas veces la terminación en $5$, ahora es menos probable que salga.

d) Si una moneda ha salido cara $6$ veces seguidas, en la siguiente tirada es más probable la cruz.

Dos amigos juegan sacando una carta de la baraja española: tú ganas si sale una figura y tu amigo, si sale una carta del palo de bastos.

a) Calcula la probabilidad de ganar de cada uno.

b) ¿Quién tiene ventaja?

c) Si queréis que el juego sea equitativo sin cambiar los sucesos, ¿cuántos puntos debería dar cada uno por victoria? Explica tu propuesta.

De una bolsa con $4$ bolas rojas y $4$ verdes se extrae una bola: si es roja, tú ganas $3$ puntos; si es verde, tu amiga gana $5$ puntos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de puntuar de cada uno?

b) Si jugáis $40$ rondas, ¿qué marcador esperarías?

c) ¿Es un juego equitativo? ¿Por qué?

En un juego se usan las tres ruletas de la figura. Cada jugador elige una ruleta, se giran las dos elegidas y gana quien obtiene el número mayor.

a) Si se enfrentan la ruleta verde y la azul, ¿quién gana y con qué probabilidad?

b) Si se enfrentan la ruleta azul y la roja, ¿quién gana y con qué probabilidad?

c) Si se enfrentan la ruleta roja y la verde, ¿quién gana y con qué probabilidad?

d) Si tu rival elige ruleta primero, ¿qué estrategia seguirías tú? ¿Existe una ruleta que sea «la mejor»? Explica el resultado.

Tres dados especiales tienen estas caras:

• Dado rojo: $4$, $4$, $4$, $4$, $4$, $1$

• Dado verde: $2$, $2$, $2$, $5$, $5$, $5$

• Dado azul: $3$, $3$, $3$, $3$, $3$, $6$

Dos jugadores eligen un dado cada uno, los lanzan y gana el número mayor.

a) Calcula la probabilidad de que el dado rojo gane al verde.

b) Calcula la probabilidad de que el dado verde gane al azul.

c) Calcula la probabilidad de que el dado azul gane al rojo.

d) Si tu rival elige dado primero, ¿qué dado elegirías tú en cada caso? ¿Te sorprende el resultado? Coméntalo.

Una ruleta tiene $6$ sectores iguales: $2$ rojos y $4$ azules. Dos jugadores apuestan: el jugador A al color rojo y el jugador B al azul.

a) ¿Cuáles son las probabilidades de ganar de cada jugador?

b) Si en cada partida el ganador se lleva los puntos que ambos apostaron, propón cuántos puntos debería apostar cada uno para que el juego fuera equitativo. Justifica tu propuesta.

c) Diseña otro reparto de sectores y de apuestas que también dé un juego equitativo.

En un videojuego, un cofre cuesta $25$ monedas de oro y contiene: un objeto común (valor $10$ monedas) con probabilidad $0,7$; un objeto raro (valor $50$ monedas) con probabilidad $0,25$; o un objeto épico (valor $300$ monedas) con probabilidad $0,05$.

a) Si compras $100$ cofres, ¿cuántos objetos de cada tipo esperarías obtener?

b) ¿Cuál sería el valor total esperado de esos objetos? ¿Y el gasto total?

c) ¿Compensa comprar cofres a largo plazo? Razona la respuesta.