Ejercicios: Frecuencia relativa y probabilidad experimental

Se ha lanzado un dado $50$ veces y el $6$ ha salido $8$ veces.

a) Calcula la frecuencia relativa del suceso «salir $6$».

b) Compárala con la probabilidad teórica $\frac{1}{6}$. ¿Te parece razonable el resultado?

Se ha girado $40$ veces la aguja de una ruleta con $4$ colores y se han obtenido estos resultados: rojo $12$ veces, azul $10$, verde $8$ y amarillo $10$.

a) Haz una tabla con las frecuencias absolutas y relativas de cada color.

b) ¿Qué color ha salido con mayor frecuencia relativa?

Al lanzar una moneda $200$ veces se han obtenido $98$ caras.

a) Calcula la frecuencia relativa del suceso «cara».

b) ¿Sospecharías que la moneda está trucada? ¿Por qué?

En una clase de $30$ alumnos, $12$ vienen al instituto en bicicleta o patinete.

a) ¿Cuál es la frecuencia relativa de ese suceso en la clase?

b) Si el instituto tiene $600$ alumnos, ¿cuántos esperarías que vinieran en bici o patinete? ¿Es el valor exacto o solo una estimación? ¿Por qué?

Se lanza un dado cada vez más veces y se anota la frecuencia relativa del suceso «salir $4$»: con $10$ lanzamientos sale $0,2$; con $50$, $0,18$; con $100$, $0,16$; con $500$, $0,164$; con $1\,000$, $0,167$.

a) ¿Hacia qué valor parece estabilizarse la frecuencia relativa?

b) ¿Qué relación tiene ese valor con la regla de Laplace?

c) ¿Cuántos «cuatros» esperarías en $6\,000$ lanzamientos?

Una fábrica de zapatillas revisa $400$ pares cada día y anota los que tienen algún defecto: lunes $8$, martes $5$, miércoles $10$, jueves $6$ y viernes $11$.

a) Calcula la frecuencia relativa de pares defectuosos de cada día.

b) Calcula la frecuencia relativa de pares defectuosos de toda la semana.

c) Si elegimos al azar un par fabricado esa semana, ¿qué probabilidad estimarías de que sea defectuoso?

La gráfica muestra la frecuencia relativa de «cara» al lanzar una moneda un número creciente de veces.

a) Lee en la gráfica la frecuencia relativa tras $80$ lanzamientos.

b) ¿Hacia qué valor parece estabilizarse la frecuencia relativa?

c) ¿Crees que la moneda está trucada? Justifica tu respuesta.

Una taba (hueso de cordero que se usaba como dado) se ha lanzado $600$ veces y ha caído con la cara lisa hacia arriba $264$ veces.

a) ¿Qué probabilidad experimental le asignarías a ese resultado?

b) Explica por qué en este experimento no se puede aplicar la regla de Laplace.

c) ¿Cuántas veces esperarías que cayera así en los próximos $150$ lanzamientos?

Un profesor pide hacer girar $360$ veces una ruleta con tres sectores: rojo ($180º$), azul ($90º$) y verde ($90º$). Tres alumnos entregan estos resultados:

	rojo	azul	verde
Aina	$178$	$96$	$86$
Biel	$120$	$121$	$119$
Carla	$180$	$90$	$90$

a) Calcula la frecuencia relativa de cada color en las tres tablas.

b) ¿Cuáles serían las frecuencias esperadas según las probabilidades teóricas?

c) Dos de los alumnos han hecho trampa. ¿Quiénes son y por qué?

Se lanza $100$ veces la tapa de un bote y cae con la parte superior hacia arriba $64$ veces.

a) Estima la probabilidad de que caiga boca arriba.

b) ¿Y de que caiga boca abajo?

c) Si se lanza $500$ veces más, ¿cuántas veces cabe esperar que caiga boca arriba?

d) ¿Por qué no podemos usar la regla de Laplace con la tapa?

La gráfica muestra la frecuencia relativa de «cara» en $500$ lanzamientos de una moneda.

a) ¿Hacia qué valor se estabiliza la frecuencia relativa?

b) ¿Está trucada la moneda? ¿Por qué?

c) ¿Cuántas caras esperarías si se lanzara $1\,000$ veces más?

Una jugadora de baloncesto tiene un porcentaje histórico del $80\%$ en tiros libres. En el último partido ha encestado solo $3$ de $5$. Su entrenadora comenta: «Hoy ha bajado su probabilidad de acierto».

a) ¿Estás de acuerdo con la entrenadora? Razona la respuesta distinguiendo entre probabilidad y frecuencia en pocas repeticiones.

b) ¿Qué esperarías si lanzara $100$ tiros libres en los próximos entrenamientos?

Sospechamos que un dado está trucado y lo lanzamos $600$ veces. El $6$ sale $168$ veces.

a) Calcula la frecuencia relativa del suceso «salir $6$».

b) ¿Qué frecuencia relativa esperarías si el dado fuera correcto?

c) ¿Concluirías que el dado está trucado? ¿Por qué?

d) Si seguimos lanzándolo $300$ veces más, ¿cuántos «seises» esperarías, según tu conclusión?

Un supermercado tiene una máquina de devolución de envases que, por término medio, no debería rechazar más del $2\%$ de los envases válidos. En una semana se registran estos datos:

Día	Envases	Rechazados
Lunes	$350$	$9$
Martes	$410$	$8$
Miércoles	$380$	$12$
Jueves	$420$	$7$
Viernes	$390$	$14$

a) Calcula la frecuencia relativa de rechazo de cada día, redondeando a las milésimas.

b) Calcula la frecuencia relativa de rechazo de toda la semana.

c) El encargado debe decidir si llama al servicio técnico. ¿Qué le aconsejas? Razona la decisión con los datos.

Tras lanzar una moneda $4$ veces y obtener $3$ caras, Omar afirma: «La probabilidad de sacar cara con esta moneda es $0,75$».

a) Explica el error de su afirmación.

b) ¿Qué debería hacer Omar para estimar la probabilidad con fiabilidad?

c) Si la moneda es correcta, ¿hacia qué valor se acercará la frecuencia relativa de caras al aumentar el número de lanzamientos?

Dos equipos de clase estiman experimentalmente la probabilidad de obtener suma $7$ al lanzar dos dados. El equipo A lanza $30$ veces y obtiene ese suceso $6$ veces; el equipo B lanza $300$ veces y lo obtiene $50$ veces.

a) Calcula las frecuencias relativas de ambos equipos.

b) Calcula la probabilidad teórica de «suma $7$» aplicando la regla de Laplace.

c) ¿Qué estimación es más fiable? ¿Por qué?