Ejercicios: Polinomios

En el mundo de los videojuegos, el sistema de puntuación de un nuevo título de plataformas funciona de la siguiente manera: por cada moneda de oro recogida recibes una cantidad de puntos desconocida $x$, pero por cada enemigo derrotado recibes el triple de puntos que por una moneda. Al finalizar el nivel, siempre te dan un bono fijo de $50$ puntos de experiencia.

Escribe la expresión algebraica que representa la puntuación total de un jugador que ha conseguido $12$ monedas y ha derrotado a $4$ enemigos.

Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno para identificar los elementos fundamentales de estos monomios:

Para poder sumar o restar monomios, estos deben ser semejantes. Selecciona de la siguiente lista cuáles son semejantes al monomio $5x^2y$:

• $5xy^2$

• $-x^2y$

• $2x^2$

• $\frac{1}{2}x^2y$

• $5x^2y^2$

Un repartidor de pizzas cobra un sueldo fijo de $15$ euros por cada tarde de trabajo, más un extra de $3$ euros por cada pedido entregado a domicilio. La expresión que calcula su ganancia es $G = 15 + 3x$, donde $x$ es el número de pedidos.

Calcula el valor numérico de su ganancia (lo que cobrará en total) si una tarde consigue repartir $8$ pedidos.

Analiza el siguiente polinomio y responde a las preguntas:

$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 8$

1. a) ¿Cuál es el grado del polinomio?
2. b) ¿Cómo se llama el término que no tiene variable (el $-8$)?
3. c) ¿Cuántos términos tiene? Según el número de términos, ¿es un monomio, binomio o trinomio?
4. d) ¿Cuál es el coeficiente del término de mayor grado?

Halla la expresión algebraica simplificada que representa el perímetro del siguiente marco rectangular para fotografías:

Dados los siguientes polinomios, realiza la suma $A(x) + B(x)$ y reduce los términos semejantes:

$A(x) = 4x^2 - 5x + 3$

$B(x) = x^2 + 2x - 7$

Las identidades notables nos permiten calcular rápidamente algunas potencias. Utiliza la fórmula del cuadrado de una suma $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ para desarrollar la siguiente expresión:

$(x + 2)^2$

En una tienda de tecnología, el precio de un smartphone de gama media es $x$ euros. Un smartphone de gama alta cuesta el doble que el de gama media más 150 €, y una tablet cuesta 80 € menos que el smartphone de gama media.

1. a) Escribe la expresión algebraica que representa el coste total de comprar dos smartphones de gama media, uno de gama alta y tres tablets.
2. b) Reduce la expresión obtenida para que sea un polinomio en su forma más sencilla.
3. c) Si el precio del smartphone básico es $x = 200$ €, ¿cuánto dinero costará el pedido total?

Dado el siguiente polinomio:

$P(x) = -5x^4 + \frac{2}{3}x^2 - x + 9$

Indica razonadamente los siguientes elementos:

1. a) El grado del polinomio.
2. b) El coeficiente del término de grado 2.
3. c) El término independiente.
4. d) El valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.

Se lanza un pequeño cohete de agua desde una plataforma. La altura $h$ (en metros) a la que se encuentra el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio:

$h(t) = -5t^2 + 25t + 2$

1. a) ¿A qué altura se encuentra la plataforma de lanzamiento? (Pista: calcula $h(0)$).
2. b) ¿A qué altura estará el cohete a los 2 segundos de ser lanzado?
3. c) ¿Estará el cohete más alto a los 3 segundos o a los 4 segundos? Justifica tu respuesta calculando los valores numéricos correspondientes.

Realiza las siguientes operaciones con polinomios y reduce el resultado final:

1. a) $(4x^3 - 5x^2 + x - 7) + (x^3 + 2x^2 - 10)$
2. b) $(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 4x - 5)$
3. c) $2 \cdot (x^3 - 3x + 1) + 4 \cdot (x^2 - 2)$

Calcula el área de la zona sombreada de la siguiente figura. Expresa el resultado como un polinomio reducido en función de $x$.

Multiplica los siguientes polinomios utilizando la propiedad distributiva y simplifica los términos semejantes:

1. a) $P(x) = (2x - 3) \cdot (x^2 + 4x - 5)$
2. b) $Q(x) = (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2x + 4)$

Aplica las fórmulas de las identidades notables para desarrollar las siguientes expresiones:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x^2 - 5)^2$
3. c) $(x + 7) \cdot (x - 7)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6) \cdot (\frac{1}{2}x - 6)$

Extraer factor común es el paso inverso a la propiedad distributiva. Utiliza esta técnica para simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

1. a) $12x^5 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $5a^2b - 15ab^2 + 10ab$
3. c) $\frac{1}{3}x^4 - \frac{2}{3}x^2$

Un diseñador de videojuegos está creando un patrón de baldosas para el suelo de una mazmorra. En el nivel 1 usa una baldosa central, y en cada nivel siguiente rodea el patrón anterior con una nueva capa de baldosas de distinto color. El número total de baldosas en el nivel $n$ sigue una secuencia lógica.

Observa la figura que representa los tres primeros niveles y:

1. Encuentra el polinomio $P(n)$ que expresa el número total de baldosas necesarias para construir hasta el nivel $n$.

2. Calcula cuántas baldosas tendrá un suelo de nivel $n = 12$.

Una empresa de mensajería cobra por enviar paquetes según la siguiente tarifa: un coste fijo de gestión $G$ euros, más un precio por cada kilogramo de peso $x$, y un suplemento de "distancia premium" que equivale al cuadrado del peso del paquete dividido entre 4.

1. Escribe el polinomio $C(x)$ que representa el coste total del envío de un paquete de $x$ kilogramos.

2. Si los gastos de gestión son $G = 5$ € y queremos enviar un paquete de $8$ kg, ¿cuál será el coste total?

3. Si la empresa decide duplicar el coste por kilogramo y mantener el resto de parámetros, escribe el nuevo polinomio $C_2(x)$.

Calcula el área de la zona sombreada en la siguiente figura, expresando el resultado como un polinomio reducido en función de $x$. La figura exterior es un cuadrado de lado $3x + 2$ y el hueco interior es un rectángulo de base $x + 4$ y altura $x - 1$.

Opera y simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica utilizando las igualdades notables y la extracción de factor común:

Indica si el resultado final es un número constante o depende del valor de $x$.

Dado el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 5x - 6$, determina el valor del coeficiente $k$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para $x = 2$ es igual a cero ($x = 2$ es una raíz del polinomio). Una vez hallado $k$, calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = -1$.

Un parque tiene forma de rectángulo. Originalmente, su base mide $x$ metros y su altura mide $5$ metros menos que la base. El ayuntamiento decide ampliar el parque aumentando la base en $3$ metros y la altura en $2$ metros.

1. Escribe el polinomio $A_1(x)$ del área del parque original.

2. Escribe el polinomio $A_2(x)$ del área del parque ampliado.

3. Halla el polinomio que representa el incremento de área $I(x) = A_2(x) - A_1(x)$ y simplifícalo.

Realiza la siguiente operación combinada con polinomios y reduce los términos semejantes:

Pista: Fíjate bien si puedes aplicar algún producto notable antes de multiplicar.

Extrae factor común y utiliza las igualdades notables para descomponer en factores los siguientes polinomios (factorización):

1. $Q(x) = 3x^3 - 12x$

2. $R(x) = x^4 - 10x^3 + 25x^2$

3. $S(x) = 2x^2 + 20x + 50$