Ejercicios: Operaciones con polinomios

En un videojuego de estrategia, tu inventario se divide en dos cofres. El contenido del primer cofre viene dado por el polinomio $P(x) = 5x^2 + 3x - 4$ y el del segundo por $Q(x) = 2x^2 - 5x + 8$, donde $x$ representa el nivel de rareza de los objetos. Calcula el polinomio total que representa la suma de los dos cofres: $P(x) + Q(x)$.

Para organizar un evento de "e-sports", una empresa utiliza la expresión $G(x) = 10x^2 - 4x + 100$ para calcular sus gastos y $I(x) = 15x^2 + 2x$ para calcular sus ingresos (donde $x$ es el número de patrocinadores). Halla el polinomio que representa el beneficio neto, sabiendo que el beneficio es la diferencia entre ingresos y gastos: $I(x) - G(x)$.

Calcula el valor numérico del polinomio $A(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ para los siguientes casos:

• a) Para $x = 0$

• b) Para $x = 1$

Observa el siguiente esquema de una pista de skate rectangular. Escribe el polinomio reducido que representa el perímetro de la pista en función de $x$.

Realiza la siguiente operación multiplicando el monomio por el polinomio (aplicando la propiedad distributiva):

$3x^2 \cdot (2x^3 - 4x + 5)$

Identifica los elementos principales del siguiente polinomio:

$P(x) = -7x^4 + 2x^3 - x + 12$

• a) ¿Cuál es su grado?

• b) ¿Cuál es el coeficiente principal?

• c) ¿Cuál es el término independiente?

• d) ¿Cuántos términos tiene?

Un joven diseñador está creando un logo para su marca de ropa. El logo central es un rectángulo como el de la figura. Halla el polinomio que representa el área total de la figura.

Extrae el factor común en las siguientes expresiones algebraicas sencillas:

• a) $4x^2 + 8x$

• b) $5a^3 - 10a^2 + 15a$

En una tienda de videojuegos, el inventario de tres categorías distintas viene expresado por los siguientes polinomios, donde $x$ representa el número de lanzamientos nuevos de este mes:

• Acción: $A(x) = 3x^2 + 5x - 8$

• Aventura: $B(x) = -x^2 + 2x + 10$

• Estrategia: $C(x) = 2x^2 - 4x + 1$

Calcula las siguientes expresiones simplificando el resultado:

1. a) El total de videojuegos en la tienda: $A(x) + B(x) + C(x)$
2. b) La diferencia entre los juegos de Acción y los de Aventura: $A(x) - B(x)$
3. c) ¿Cuántos juegos de Estrategia quedarían si se venden la mitad de un lote de tamaño $4x^2 - 2x$? Calcula: $C(x) - (2x^2 - x)$

Calcula el área de la zona sombreada en la siguiente figura. La figura representa una placa metálica rectangular a la que se le ha extraído un rectángulo interior para dejar espacio a un componente electrónico. Expresa el resultado como un polinomio en función de $x$.

Datos adicionales:

• Base exterior: $5x + 3$

• Altura exterior: $3x$

• Base interior: $x + 2$

• Altura interior: $x$

Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios y reduce los términos semejantes:

1. a) $3x \cdot (2x^2 - 5x + 4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (x^3 - 3x^2 + 7)$
3. c) $(x + 3) \cdot (x^2 - 2x + 5)$
4. d) $(2x - 1) \cdot (3x^2 + x - 2)$

Dada la siguiente expresión combinada con polinomios, opera y simplifica hasta obtener un único polinomio ordenado de mayor a menor grado:

$P(x) = 2x \cdot (x^2 - 3x + 1) - (x - 4) \cdot (2x + 5)$

Un arquitecto diseña una plaza cuadrada de lado $L = 2x + 5$ metros. En el centro, decide colocar una fuente también cuadrada de lado $l = x - 3$ metros.

1. a) Desarrolla la expresión del área de la plaza utilizando las identidades notables: $(2x + 5)^2$
2. b) Desarrolla la expresión del área de la fuente utilizando las identidades notables: $(x - 3)^2$
3. c) Calcula el polinomio que representa la superficie de la plaza que queda libre para caminar (Área plaza - Área fuente).

Aplica las identidades notables para desarrollar las siguientes expresiones directamente, sin realizar la multiplicación paso a paso:

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(5x - 2y)^2$
3. c) $(2x^2 + 1) \cdot (2x^2 - 1)$
4. d) $(\frac{1}{2}x + 6)^2$

Extraer el factor común es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Analiza las siguientes expresiones algebraicas y extrae todos los factores comunes posibles (números y letras):

1. a) $12x^4 - 8x^3 + 4x^2$
2. b) $15a^3b^2 - 10a^2b$
3. c) $9x^2y - 3xy^2 + 6xy$
4. d) $7x^5 - 14x^2$

En un laboratorio, el crecimiento de una población de bacterias $A$ sigue el polinomio $A(t) = 2t^2 + 10t + 50$, donde $t$ es el tiempo en horas. Otra población $B$ crece según el polinomio $B(t) = t^2 - 5t$.

Si los científicos necesitan conocer el comportamiento de un cultivo mixto definido por la operación $C(t) = 3 \cdot A(t) - 2 \cdot B(t)$, ¿cuál es el polinomio simplificado que representa a dicha población $C$?

Calcula la siguiente expresión reduciendo al máximo el polinomio resultante. Presta especial atención a la jerarquía de las operaciones y al uso de los paréntesis con signos negativos delante:

$(2x^2 - 5) \cdot (x + 3) - (x - 4)^2 + 3x \cdot (x^2 - 2x + 1)$

En el centro de un jardín cuadrado de lado $2x + 5$ metros, se ha instalado una piscina rectangular cuyas dimensiones son $x + 2$ metros de largo y $x - 1$ metros de ancho. Halla el polinomio que representa el área de la zona de césped (la parte del jardín que no ocupa la piscina).

Determina el polinomio desconocido $Q(x)$ en la siguiente igualdad:

$(-3x^3 + 5x^2 - 7) + Q(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1$

A continuación, calcula el valor numérico de $Q(x)$ para $x = -2$.

Una empresa de paquetería diseña cajas con forma de ortoedro. Las dimensiones de la caja son las siguientes: el largo mide $x + 5$ cm, el ancho es $x - 2$ cm y la altura es el doble del ancho.

1. a) Expresa mediante un polinomio el volumen de la caja en función de $x$.
2. b) Desarrolla y simplifica dicho polinomio.

Halla el valor del coeficiente $k$ en el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ sabiendo que al calcular su valor numérico para $x = 2$ obtenemos como resultado $10$.

Aplica las identidades notables para desarrollar y simplificar la siguiente expresión:

$3 \cdot (2x + \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot (3x - 1) \cdot (3x + 1)$

Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo primero el factor común en el numerador y el denominador:

$\frac{12x^4 - 18x^3 + 6x^2}{6x^3 - 6x^2}$

Pista: Recuerda que un polinomio se puede dividir por un monomio dividiendo cada uno de sus términos.

Un fabricante de carcasas para móviles ha determinado que el coste de producir $x$ unidades viene dado por el polinomio $C(x) = 0,5x^2 + 10x + 200$, mientras que los ingresos obtenidos por la venta de esas mismas unidades se expresan como $I(x) = -0,2x^2 + 50x$.

1. a) Halla el polinomio $B(x)$ que representa el beneficio (Ingresos menos Costes).
2. b) Calcula el beneficio si se venden $40$ carcasas.