Ejercicios: Monomios

En una tienda de aplicaciones, el beneficio por cada descarga de un juego se expresa con el monomio $7x^2y$. Identifica los siguientes elementos de dicha expresión:

• Coeficiente:

• Parte literal:

• Grado del monomio:

Estamos organizando un inventario de piezas de robótica. Agrupa los siguientes monomios en parejas que sean semejantes entre sí:

$5x^2$, $-3ab$, $x$, $\frac{1}{2}ab$, $-2x^2$, $8x$

Calcula el valor numérico del monomio $M(x) = -5x^2$ para los valores de la variable que se indican:

1. a) $x = 2$
2. b) $x = -1$
3. c) $x = 0$

Observa el siguiente hexágono regular cuyo lado mide $x$ metros. Escribe el monomio que representa su perímetro y calcula su valor si cada lado midiese $4,5$ cm.

Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando y restando los monomios que sean semejantes:

1. a) $4x + 2x - x$
2. b) $5a^2 - 3a^2 + 7a^2$
3. c) $3ab + ab - 2ab$

Realiza las siguientes multiplicaciones de monomios y simplifica el resultado:

1. a) $3 \cdot (5x^4)$
2. b) $(-2x^2) \cdot (4x)$
3. c) $(3a) \cdot (2b)$

Halla el monomio que expresa el área del siguiente rectángulo destinado a una zona de juegos "gaming" en un centro comercial:

Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases utilizando un solo monomio:

1. a) El doble del cubo de un número $x$.
2. b) La mitad del producto de dos números $a$ y $b$.
3. c) El triple del cuadrado de la distancia $d$.

En una aplicación de matemáticas, un bot ha clasificado mal algunos monomios. Tu tarea es corregir la siguiente tabla identificando el coeficiente, la parte literal y el grado de cada uno. Si encuentras algún error en la clasificación del bot, escríbelo correctamente:

Monomio	Coeficiente	Parte literal	Grado
$-5x^2y$	$5$	$x^2y$	$2$
$\frac{3}{4}ab^3c$	$3$	$ab^3c$	$4$
$-x^4$	$-1$	$x$	$4$
$7$	$7$	No tiene	$1$

Un creador de contenido analiza el crecimiento de sus redes sociales. El número de "Likes" en sus fotos viene dado por el monomio $8x^2y$, y el número de "Compartidos" por $3x^2y$. Durante el último mes, ha recibido un extra de visualizaciones equivalente a $\frac{1}{2}x^2y$.

Calcula la expresión algebraica simplificada que representa la interacción total sumando los tres conceptos.

Halla el monomio que representa el área de la siguiente zona sombreada, que forma parte del diseño de un nuevo parque de skate. Expresa el resultado de la forma más simplificada posible.

Calcula el valor numérico de los siguientes monomios para los valores de las variables que se indican en cada caso:

1. a) $P(x, y) = -3x^2y$ para $x = -2$, $y = 5$

1. b) $Q(a, b) = \frac{2}{3}a^3b^2$ para $a = 3$, $b = -1$

En un videojuego de estrategia, la energía de tu base aumenta según la siguiente operación de monomios. Reduce la expresión a un solo monomio:

$$(12x^5 \cdot 3x^2) : (9x^4)$$

¿Cuál es el grado del monomio resultante?

Simplifica la siguiente expresión que combina potencias y divisiones de monomios:

$$\frac{(-2a^3b)^2 \cdot 5ab^4}{10a^4b^3}$$

Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos adosados.

1. a) Escribe el monomio que representa el área de cada rectángulo por separado.
2. b) Escribe el monomio que representa el área total.
3. c) Extrae el factor común en la expresión del área total.

Completa los huecos con el monomio necesario para que las igualdades sean correctas:

1. a) $7x^3y + \dots \dots = 10x^3y$

1. b) $(-2ab^2) \cdot (\dots \dots) = 12a^3b^2$

1. c) $\frac{15x^4y^2}{\dots \dots} = 3x^2y$

Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por pequeños cuadrados. El primer término ($n=1$) tiene 4 cuadrados, el segundo ($n=2$) tiene 7, y el tercero ($n=3$) tiene 10.

1. a) Determina el monomio que representa el número de cuadrados en función de la posición $n$, sabiendo que la relación es de tipo lineal (un monomio en $n$ más un término independiente).

1. b) ¿Cuántos cuadrados tendrá la figura que ocupa la posición $n=150$?

1. c) Si una figura tiene 91 cuadrados, ¿qué posición $n$ ocupa en la secuencia?

Simplifica al máximo la siguiente expresión combinada con monomios, aplicando las propiedades de las potencias y la jerarquía de las operaciones:

$$\frac{(-3x^2y^3)^2 \cdot (2x^4y)^3}{(-6x^3y^2)^2}$$

Expresa el resultado como un único monomio.

Calcula el monomio que representa el perímetro y el monomio que representa el área sombreada de la siguiente figura compuesta (un cuadrado grande de lado $3x$ al que se le han recortado cuatro cuadrados pequeños idénticos de lado $y$ en sus esquinas):

Reduzca las expresiones al máximo.

Extrae el factor común más grande posible (máximo común divisor de los términos) en la siguiente expresión algebraica. Ten especial cuidado con los coeficientes fraccionarios:

$$\frac{4}{9}a^5b^2 - \frac{8}{27}a^3b^4 + \frac{2}{3}a^3b^2$$

En la siguiente "pirámide de productos", cada ladrillo es el resultado de multiplicar los dos monomios que tiene justo debajo. Completa los huecos vacíos hallando los monomios $A$, $B$ y $C$.

Se sabe que el valor numérico del monomio $M(x, y) = -5x^a y^b$ es $-160$ cuando $x=2$ e $y=2$. Además, se sabe que el grado relativo respecto a la variable $x$ es el doble que el grado relativo respecto a $y$.

Halla los exponentes $a$ y $b$ justificando los pasos seguidos.

Tres amigos alquilan una pista de pádel. El coste total viene dado por el monomio $C(t, l) = 6t + 2l$, donde $t$ es el tiempo en horas y $l$ es el número de palas alquiladas.

1. a) Si deciden dividir el gasto a partes iguales, escribe el monomio que representa lo que debe pagar cada uno.

1. b) Si un cuarto amigo se une al grupo, el coste total de las palas aumenta (ahora son $l+1$) y el gasto se divide entre cuatro. Escribe la nueva expresión para el pago individual.

1. c) Si el tiempo de juego es de $1,5$ horas y cada uno alquila su propia pala, ¿cuántos euros ahorra cada uno de los tres amigos originales al entrar el cuarto jugador?

Calcula el grado de este monomio "encadenado" y simplifícalo a su forma más sencilla:

$$P(x) = x \cdot (2x^2)^3 : \left( \frac{1}{4}x^4 \right) + (-5x^3) \cdot (-2x^0)$$

¿Son semejantes los términos resultantes de la suma? Justifica tu respuesta.