Ejercicios: El conjunto de los números racionales

En una pizzería, han dividido una pizza familiar en $8$ porciones idénticas. Si Marcos se ha comido $3$ porciones, expresa mediante una fracción la parte de pizza que ha consumido e identifica claramente cuál es el numerador y cuál es el denominador. ¿Cómo se lee dicha fracción?

Observa la siguiente figura geométrica y escribe en tu cuaderno la fracción que representa la zona sombreada en color naranja.

Clasifica las siguientes fracciones en propias, impropias o iguales a la unidad:

1. a) $\dfrac{4}{7}$

1. b) $\dfrac{9}{9}$

1. c) $\dfrac{11}{3}$

1. d) $\dfrac{2}{5}$

Estamos preparando una fiesta y compramos paquetes de refrescos. Cada paquete tiene $6$ latas. Si para la fiesta necesitamos utilizar $\dfrac{12}{6}$ de paquetes, ¿cuántos paquetes enteros de refrescos tenemos que comprar? ¿Es esta fracción un número natural?

Representa gráficamente en tu cuaderno, utilizando cuadrados o rectángulos, las siguientes fracciones:

1. a) $\dfrac{3}{4}$

1. b) $\dfrac{5}{2}$ (Pista: necesitarás dibujar más de una figura entera).

Indica qué fracción de hora representan los siguientes intervalos de tiempo (recuerda que una hora tiene $60$ minutos):

1. a) $15$ minutos.

1. b) $30$ minutos.

1. c) $10$ minutos.

1. d) $60$ minutos.

Dibuja una recta numérica en tu cuaderno y sitúa en ella los siguientes números racionales:

$A = \dfrac{1}{2}$

$B = \dfrac{3}{4}$

$C = \dfrac{5}{4}$

Escribe los siguientes números naturales en forma de fracción (puedes usar el denominador que prefieras, siempre que el resultado sea correcto):

1. a) $3$

1. b) $1$

1. c) $5$

1. d) $10$

En matemáticas, los números se organizan en "familias" o conjuntos. Observa el siguiente diagrama de Venn que representa los conjuntos de los números Naturales ($\mathbb{N}$), Enteros ($\mathbb{Z}$) y Racionales ($\mathbb{Q}$).

Ubica cada uno de los siguientes números en su lugar correspondiente dentro del diagrama:

$-5$, $\frac{12}{4}$, $\frac{3}{7}$, $0$, $-\frac{10}{2}$, $1,25$, $-\frac{1}{4}$, $8$

Tres amigos están completando el "Pase de Batalla" de su videojuego favorito. Cada uno ha progresado una fracción diferente del total:

• Marcos: ha completado $\frac{12}{18}$ del total.

• Sara: ha completado $\frac{20}{30}$ del total.

• Álex: ha completado $\frac{2}{3}$ del total.

Razona si los tres amigos van por el mismo nivel del juego buscando la fracción irreducible de cada uno.

Representa en la siguiente recta numérica los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ que corresponden a estos números racionales:

$A = \frac{3}{2}$

$B = -1,25$

$C = -\frac{1}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

En un estudio sobre el uso del móvil, se ha analizado qué fracción del almacenamiento total ocupan diferentes aplicaciones en el teléfono de Lucía:

• Redes Sociales: $\frac{3}{10}$ del total.

• Juegos: $\frac{2}{5}$ del total.

• Fotos y Vídeos: $\frac{1}{4}$ del total.

1. a) Reduce las fracciones a común denominador.
2. b) Ordena las categorías de mayor a menor ocupación.
3. c) ¿Queda espacio libre en el teléfono? Explica tu respuesta.

Un influencer tiene $120.000$ seguidores. El lunes, $\frac{2}{5}$ de sus seguidores dieron "like" a su foto. El martes, lo hicieron las $\frac{3}{4}$ partes de los que le dieron "like" el lunes.

1. a) ¿Cuántas personas dieron "like" el lunes?
2. b) ¿Cuántas personas dieron "like" el martes?
3. c) ¿Qué fracción del total de seguidores representa a las personas que dieron "like" el martes?

Para una fiesta de cumpleaños se han comprado varias pizzas del mismo tamaño. Al finalizar la fiesta, han sobrado los siguientes trozos:

• $\frac{3}{4}$ de una pizza de jamón.

• $\frac{5}{4}$ de pizzas de pepperoni.

• $\frac{1}{2}$ de una pizza vegetal.

1. a) Expresa la fracción de pizza de pepperoni como un número mixto.
2. b) Si juntamos todas las sobras, ¿tenemos más o menos de 3 pizzas completas? Razona la respuesta realizando la suma.

Identifica cuáles de las siguientes fracciones darán lugar a un número decimal exacto y cuáles a un decimal periódico (puro o mixto) sin realizar la división, fijándote solo en la descomposición de sus denominadores:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{5}{12}$
3. c) $\frac{11}{25}$
4. d) $\frac{2}{9}$

(Pista: Recuerda la regla de los factores 2 y 5 en el denominador).

En una competición de saltos, los jueces anotan las distancias de cuatro atletas. Algunos resultados se dan en forma de fracción y otros en decimal:

• Atleta 1: $6,4$ metros.

• Atleta 2: $\frac{13}{2}$ metros.

• Atleta 3: $6,35$ metros.

• Atleta 4: $\frac{32}{5}$ metros.

1. a) Pasa todas las medidas a forma decimal.
2. b) ¿Qué dos atletas han saltado exactamente la misma distancia?
3. c) Ordena a los atletas desde el que saltó menos hasta el que saltó más.

En una excavación arqueológica en el yacimiento de Atapuerca, se han clasificado diferentes hallazgos mediante etiquetas numéricas. Debes ayudar a los investigadores a organizar estas piezas en sus correspondientes cajas (Conjuntos numéricos).

Dada la siguiente lista de etiquetas:

$A = \frac{-24}{6}$, $B = \frac{15}{3}$, $C = \frac{7}{4}$, $D = \frac{0}{5}$, $E = \frac{-11}{2}$ y $F = \sqrt{144}$

Indica razonadamente cuáles de estos números pertenecen a cada uno de los siguientes conjuntos, teniendo en cuenta que un número puede pertenecer a varios:

1. Números Naturales ($\mathbb{N}$)

2. Números Enteros ($\mathbb{Z}$)

3. Números Racionales ($\mathbb{Q}$)

En el diseño de un nuevo chip de memoria, un ingeniero necesita ubicar tres sensores en una línea lógica. El sensor A está en la posición $\frac{2}{5}$ y el sensor B en la posición $\frac{3}{5}$.

El ingeniero necesita colocar un tercer sensor C exactamente en el punto medio entre A y B. Además, debe colocar un sensor D que esté en el punto medio entre A y C.

Calcula las fracciones que representan las posiciones de C y D y represéntalas en una recta numérica dividida adecuadamente.

Observa la siguiente figura geométrica. Si el cuadrado grande representa la unidad ($1$), determina qué fracción representa la parte sombreada en naranja. Para resolverlo, identifica primero qué fracción del total representa cada una de las piezas que componen la figura.

Tres amigos, Lucía, Marcos y Sergio, están descargando un videojuego. Al cabo de una hora, Lucía ha descargado $\frac{13}{20}$ del total, Marcos el $\frac{19}{30}$ y Sergio ha completado los $\frac{5}{8}$.

1. Ordena a los amigos de mayor a menor cantidad descargada utilizando el método del mínimo común múltiplo para comparar las fracciones.

2. Si el videojuego ocupa $120$ GB, ¿cuántos GB le faltan por descargar a cada uno? Expresa los resultados con fracciones y números enteros.

Encuentra los valores de las incógnitas $x$, $y$ y $z$ para que todas las fracciones de la siguiente cadena sean equivalentes entre sí:

$$\frac{x}{6} = \frac{10}{12} = \frac{15}{y} = \frac{z}{30}$$

Una vez hallados los valores, explica qué número natural se ha utilizado como factor de amplificación o simplificación en cada paso respecto a la fracción irreducible del conjunto.

Un sastre tiene una pieza de tela de $15$ metros. Corta un primer trozo que mide $3$ metros y $\frac{3}{4}$ de metro. Después, corta un segundo trozo que mide la mitad de lo que medía el primero.

1. Expresa la longitud de cada corte como una fracción impropia y como un número mixto.

2. ¿Qué fracción de la tela original queda todavía en el rollo?

Decimos que el conjunto de los números racionales es denso porque siempre podemos encontrar una fracción entre otras dos, por muy cerca que estén.

Busca tres fracciones comprendidas entre $\frac{4}{7}$ y $\frac{5}{7}$ que tengan como denominador $28$. Ordena las cinco fracciones resultantes de menor a mayor.

En un concurso de robótica, los prototipos deben recorrer una pista de $10$ metros. El robot "Zeta" se ha detenido cuando le faltaba por recorrer $\frac{1}{5}$ del total de la pista. El robot "Sigma" se ha detenido cuando había recorrido $\frac{7}{9}$ del total.

1. Representa en una misma recta numérica las posiciones de ambos robots. Divide la unidad de la recta de forma que puedas situar ambos puntos con exactitud.

2. ¿Qué robot ha quedado más cerca de la meta? Justifica tu respuesta comparando las fracciones mediante el producto cruzado.