Ejercicios: Raíz cuadrada

En una raíz cuadrada, cada número tiene un nombre especial que indica su función. Observa la siguiente igualdad e identifica el nombre de cada uno de los elementos señalados con flechas:

$\sqrt{81} = 9$

Calcula mentalmente el valor de las siguientes raíces cuadradas exactas:

1. a) $\sqrt{16} =$
2. b) $\sqrt{4} =$
3. c) $\sqrt{100} =$
4. d) $\sqrt{49} =$
5. e) $\sqrt{1} =$
6. f) $\sqrt{121} =$

Lucía quiere decorar una tarjeta cuadrada de felicitación que tiene una superficie de $64 \text{ cm}^2$. Para comprar un cordel decorativo que rodee todo el borde, primero necesita saber cuánto mide un lado. ¿Cuál es la longitud del lado de la tarjeta?

No todas las raíces son exactas. Sin usar la calculadora, indica entre qué dos números enteros consecutivos se encuentran las siguientes raíces cuadradas:

1. a) $....... < \sqrt{20} < .......$
2. b) $....... < \sqrt{50} < .......$
3. c) $....... < \sqrt{11} < .......$

Resuelve las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía de las operaciones (recuerda calcular la raíz antes que las sumas o restas):

1. a) $15 + \sqrt{36} =$
2. b) $2 \cdot \sqrt{25} - 3 =$
3. c) $\sqrt{64} + \sqrt{9} =$
4. d) $20 - \sqrt{81} : 3 =$

Un fotógrafo quiere organizar sus fotos en una red social formando un mosaico cuadrado. Si tiene $144$ fotos en total, ¿cuántas fotos debe poner en cada fila y en cada columna para que el mosaico sea un cuadrado perfecto?

Copia en tu cuaderno y utiliza los signos $>$ (mayor que), $<$ (menor que) o $=$ (igual a) para comparar los siguientes números:

1. a) $\sqrt{36} ....... 7$
2. b) $\sqrt{81} ....... 9$
3. c) $5 ....... \sqrt{16}$
4. d) $\sqrt{100} ....... \sqrt{64}$

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y explica brevemente por qué:

1. a) La raíz cuadrada de 25 es 5 porque $5 \cdot 2 = 10$.
2. b) No existe ningún número entero que sea la raíz cuadrada de 30.
3. c) El número 0 no tiene raíz cuadrada.
4. d) $\sqrt{144}$ es igual a 12 porque $12^2 = 144$.

Calcula las siguientes raíces cuadradas exactas justificando el resultado mediante una potencia, como en el ejemplo:

Ejemplo: $\sqrt{49} = 7$ porque $7^2 = 49$

1. a) $\sqrt{121}$
2. b) $\sqrt{169}$
3. c) $\sqrt{225}$
4. d) $\sqrt{400}$

Halla la raíz cuadrada entera y el resto de los siguientes números. Indica también entre qué dos números naturales consecutivos se encuentra cada raíz.

1. a) $\sqrt{30}$
2. b) $\sqrt{55}$
3. c) $\sqrt{85}$

Aplica las propiedades de las raíces (raíz de un producto y raíz de un cociente) para resolver estas operaciones de forma simplificada:

1. a) $\sqrt{64 \cdot 100}$
2. b) $\sqrt{16 \cdot 25}$
3. c) $\sqrt{\frac{144}{9}}$
4. d) $\sqrt{4 \cdot 9 \cdot 100}$

En el patio del instituto se ha diseñado un jardín cuadrado que tiene una superficie de $144$ $m^2$. Para proteger las plantas, el conserje quiere colocar una valla de madera alrededor de todo el borde. Si cada metro de valla cuesta $12$ €, ¿cuánto costará vallar el jardín completo?

Calcula el valor de las siguientes expresiones respetando la jerarquía de las operaciones:

1. a) $3^2 + \sqrt{64} - 2 \cdot 3$
2. b) $(\sqrt{100} - 4) : 2 + 5^2$
3. c) $2 \cdot \sqrt{81} - (3^2 - \sqrt{25})$
4. d) $\sqrt{49} \cdot 2 + 10^2 : 4$

El club de fotografía del instituto quiere exponer $200$ fotos en un panel formando el cuadrado más grande posible.

1. a) ¿Cuántas fotos tendrá cada lado del cuadrado?
2. b) ¿Cuántas fotos le sobrarán?
3. c) ¿Cuántas fotos más necesitaría para completar un cuadrado que tenga una foto más en cada lado?

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando tu respuesta con un contraejemplo cuando sea necesario:

1. a) La raíz cuadrada de la suma de dos números es igual a la suma de las raíces de esos números: $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
2. b) No existe la raíz cuadrada de un número negativo.
3. c) Si un número termina en $2$, no puede ser un cuadrado perfecto.
4. d) La raíz cuadrada de un número siempre es menor que el propio número.

Marta tiene un tablero cuadrado con $100$ casillas. Su hermano pequeño le ha regalado otro tablero cuya área es la cuarta parte del primero.

1. a) ¿Cuántas casillas tiene el tablero pequeño?
2. b) ¿Cuántas casillas tiene de lado el tablero grande?
3. c) ¿Cuántas casillas tiene de lado el tablero pequeño? ¿Qué relación hay entre el lado del grande y el del pequeño?

Utiliza las propiedades de las potencias para expresar el resultado como una única potencia de base 2:

Pista: Expresa todas las bases como potencias de 2 antes de operar.

Calcula el valor de la siguiente expresión combinada, respetando estrictamente la jerarquía de las operaciones:

Estamos diseñando un nivel para un videojuego sobre una cuadrícula. Queremos construir una habitación cuadrada usando baldosas especiales. Si utilizamos todas las baldosas que tenemos, nos sobran $15$, pero si intentamos añadir una fila y una columna más para hacer el cuadrado más grande, nos faltarían $16$ baldosas.

¿Cuántas baldosas tenemos en total?

Halla el número natural $n$ que cumple la siguiente igualdad:

Razona tu respuesta utilizando el concepto de suma de sumandos iguales y las propiedades de las potencias.

Un coleccionista de cartas quiere organizar su álbum. Sabe que si coloca sus cartas formando un cuadrado, le sobran $8$ cartas. Sin embargo, si intenta formar un cuadrado con un hueco más en cada lado (una unidad más de lado), le faltarían $13$ cartas.

Calcula el número de cartas que tiene el coleccionista y el valor de la raíz cuadrada entera de dicho número.

Un virus informático se propaga de la siguiente manera: cada minuto, cada ordenador infectado contagia a otros $3$ ordenadores. Si a las 10:00 de la mañana hay un solo ordenador infectado:

1. a) Expresa como potencia de base 3 cuántos ordenadores se infectan nuevos a las 10:05.
2. b) ¿Cuántos ordenadores habrá infectados en total en ese momento (10:05)? (Recuerda sumar el infectado inicial y los de los minutos anteriores).

Halla el número natural $A$ sabiendo que su raíz cuadrada entera es $25$ y que, si le sumamos $20$ unidades a dicho número, se convierte en un cuadrado perfecto exacto.

Una empresa de mensajería utiliza cajas cúbicas para sus envíos. Tienen un contenedor grande que también es cúbico y en el que caben exactamente $216$ cajas pequeñas.

1. a) ¿Cuántas cajas pequeñas hay en la base del contenedor?
2. b) Si deciden fabricar un nuevo contenedor cuyo lado mida el triple que el anterior, ¿cuántas cajas pequeñas cabrán en total en el nuevo contenedor? Expresa el resultado como una potencia.