Ejercicios: Circunferencia y círculo

En el siguiente dibujo de una circunferencia de centro $O$, identifica los elementos señalados con letras. Indica cuál corresponde al radio, cuál al diámetro y cuál a la cuerda.

Una jugadora de baloncesto está entrenando en el tiro libre. El círculo pintado en la zona tiene un diámetro de $3,6$ metros. ¿Cuál es la medida del radio de ese círculo?

Álex quiere poner una tira de luces LED alrededor del borde de su espejo circular. Si el radio del espejo es de $40$ cm, ¿cuántos centímetros de tira LED necesitará comprar como mínimo? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Una pizzería ofrece una pizza individual de $20$ cm de diámetro. Calcula la superficie (área) de la pizza para saber cuánto espacio ocupará en la caja. (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

Observa la posición de las rectas $r$, $s$ y $t$ respecto a la circunferencia de centro $C$. Clasifica cada recta como tangente, secante o exterior.

Identifica el nombre de las siguientes regiones coloreadas dentro o alrededor del círculo:

• A: Región comprendida entre dos radios.

• B: Región comprendida entre dos circunferencias concéntricas (como un donut).

• C: La mitad de un círculo.

Si una moneda de $2$ euros tiene un radio de $12,875$ mm, ¿cuál es su diámetro? Expresa el resultado en milímetros.

Dada una circunferencia con centro en el punto $C$ y un radio de $5$ cm, indica si los siguientes puntos son interiores, exteriores o están sobre la circunferencia:

• Punto $P$: está a $3$ cm de $C$.

• Punto $Q$: está a $5$ cm de $C$.

• Punto $R$: está a $7$ cm de $C$.

El logotipo de una nueva marca de ropa deportiva consiste en una circunferencia de radio $r = 5\text{ cm}$ atravesada por una línea recta. Si la recta pasa a una distancia de $3\text{ cm}$ del centro de la circunferencia, dibuja el esquema y responde:

1. a) ¿Cuál es la posición relativa de la recta respecto a la circunferencia?
2. b) Si trazamos otra recta que pase a exactamente $5\text{ cm}$ del centro, ¿cómo se llamaría esa recta?
3. c) ¿Cómo se llama el segmento de la primera recta que queda dentro de la circunferencia?

Una pizzería ofrece dos ofertas para sus pizzas artesanales:

• Oferta A: Una pizza familiar de $40\text{ cm}$ de diámetro.

• Oferta B: Dos pizzas medianas de $20\text{ cm}$ de diámetro cada una.

Si ambas ofertas cuestan lo mismo, calcula el área de superficie de pizza en cada opción (usando $\pi \approx 3,14$) y razona cuál de las dos ofertas es más ventajosa para el cliente.

Un aspersor de jardín gira describiendo un sector circular de $120^\circ$. Si el chorro de agua alcanza una distancia de $6\text{ metros}$, calcula:

1. a) La longitud del arco de césped que se moja en el borde exterior.
2. b) El área total de césped que queda regada por el aspersor.

(Utiliza $\pi \approx 3,14$ y redondea a dos decimales).

En el diseño de una ventana circular (rosetón), se ha inscrito un cuadrado de $8\text{ decímetros}$ de diagonal, como se muestra en la figura. Calcula el área de la superficie del cristal (círculo) que queda por fuera del cuadrado (las zonas sombreadas en el dibujo).

La rueda de una bicicleta de montaña tiene un radio total de $35\text{ cm}$. Si el ciclista recorre una distancia de $1,1\text{ kilómetros}$ en línea recta:

1. a) ¿Cuántos metros recorre la bicicleta en una sola vuelta de rueda?
2. b) ¿Cuántas vueltas completas habrá dado la rueda al finalizar el recorrido?

(Dato: $1\text{ km} = 1000\text{ m}$; considera $\pi \approx 3,14$).

Observa la siguiente figura que representa un "spinner" circular con un rodamiento central y un anillo exterior. El radio del círculo interior es de $2\text{ cm}$ y el radio del círculo exterior es de $5\text{ cm}$. Calcula el área de la corona circular (la zona azulada) que hay entre ambos.

En una plaza circular, se ha instalado una estructura con cables. Uno de los cables forma un ángulo inscrito de $35^\circ$ respecto a un arco de la plaza.

1. a) Calcula cuánto mide el ángulo central que abarca ese mismo arco.
2. b) Si el ángulo central fuera de $110^\circ$, ¿cuánto mediría cualquier ángulo inscrito que abarcase el mismo arco?

Una señal de tráfico de "Prohibido el paso" tiene forma de círculo con un diámetro de $60\text{ cm}$. En su interior, hay una franja rectangular blanca de $50\text{ cm}$ de largo y $10\text{ cm}$ de ancho. Calcula el área de la parte roja de la señal (la zona del círculo que no está ocupada por el rectángulo blanco).

En el diseño de un nuevo logotipo para una empresa de tecnología, se ha dibujado un cuadrado de lado $L = 10 \text{ cm}$. En cada uno de sus vértices se ha trazado un arco de circunferencia con radio igual a la mitad del lado del cuadrado ($5 \text{ cm}$), de forma que los cuatro arcos se tocan en los puntos medios de los lados. Calcula el área de la región sombreada que queda en el centro del cuadrado (la zona que no pertenece a ninguno de los cuatro sectores circulares).

Un ingeniero está diseñando una pieza mecánica que consiste en un disco metálico de radio $R = 12 \text{ cm}$. Para aligerar la pieza, debe realizar un corte recto (una cuerda) que se encuentre a una distancia exacta de $7,2 \text{ cm}$ del centro del disco. Utilizando el Teorema de Pitágoras, determina cuál será la longitud total de dicho corte (la cuerda) para poder programar la máquina de corte.

En un parque de atracciones, una noria tiene un radio de $15 \text{ metros}$. Un sensor detecta que una de las cabinas ha recorrido un arco de circunferencia cuya longitud es de $23,55 \text{ metros}$. ¿Qué ángulo, expresado en grados sexagesimales, ha girado la noria desde que la cabina estaba en el punto más bajo? Considera el valor de $\pi \approx 3,14$.

Una pulsera circular de plata tiene un diámetro exterior de $8 \text{ cm}$ e interior de $7 \text{ cm}$. Si queremos bañar en oro solo la parte superior de la pulsera (un sector de la corona circular que abarca un ángulo de $120^\circ$), ¿cuál es el área de la superficie que será bañada en oro? Redondea el resultado a dos decimales.

Observa un reloj de pared a las $10:00$ de la mañana. Las agujas (minutero y horaria) forman un ángulo central. Si trazamos una cuerda que una los extremos de ambas agujas, suponiendo que ambas miden $10 \text{ cm}$, ¿cuál es la medida de dicha cuerda? (Pista: analiza el tipo de triángulo que se forma entre el centro del reloj y los números 10 y 12).