Ejercicios: El conjunto de los números enteros

En la vida cotidiana utilizamos los números enteros para expresar situaciones opuestas. Asocia un número entero (positivo o negativo) a cada una de las siguientes situaciones:

1. a) El termómetro de la calle marca $4$ grados bajo cero.
2. b) Tienes una deuda de $15$ € con un amigo.
3. c) Un buceador se encuentra a $20$ metros de profundidad.
4. d) Un avión vuela a una altura de $8.500$ metros.
5. e) Has ganado $50$ puntos en un nivel de tu videojuego favorito.
6. f) El aparcamiento del centro comercial está en el tercer sótano.

El concepto de valor absoluto representa la distancia de un número al cero. Calcula los siguientes valores absolutos:

1. a) $|-7| =$
2. b) $|+12| =$
3. c) $|-25| =$
4. d) $|0| =$
5. e) $|-1| =$
6. f) $|+100| =$

Compara los siguientes pares de números enteros utilizando los símbolos mayor que ($>$) o menor que ($<$):

1. a) $+5$ ____ $-8$
2. b) $-3$ ____ $-1$
3. c) $0$ ____ $-5$
4. d) $-12$ ____ $-20$
5. e) $+10$ ____ $+2$
6. f) $-1$ ____ $0$

El opuesto de un número entero es aquel que tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo. Escribe el opuesto de los siguientes números:

1. a) $op(+6) =$
2. b) $op(-9) =$
3. c) $op(-15) =$
4. d) $op(+21) =$
5. e) $op(0) =$
6. f) $op(-1) =$

Ordena los siguientes números enteros de menor a mayor, utilizando el símbolo $<$ entre ellos:

$$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$

Dada la siguiente lista de números, clasifícalos indicando cuáles pertenecen al conjunto de los números naturales ($\mathbb{N}$) y cuáles son números enteros ($\mathbb{Z}$) pero no naturales:

$$ -7, \quad +5, \quad -12, \quad 0, \quad +10, \quad -1, \quad 45 $$

En una estación de esquí se han registrado las siguientes temperaturas mínimas durante cuatro días. Ordénalas de menor a mayor utilizando el símbolo $<$:

• Lunes: $-6$ $^\circ C$

• Martes: $+2$ $^\circ C$

• Miércoles: $-9$ $^\circ C$

• Jueves: $0$ $^\circ C$

Identifica las coordenadas cartesianas $(x, y)$ de los puntos $P$ y $Q$ representados en la siguiente cuadrícula. Recuerda que el primer número es el eje horizontal (abscisas) y el segundo el vertical (ordenadas).

Un sensor de temperatura en un laboratorio de criogenia marca inicialmente $12^{\circ}C$. Debido a un experimento, la temperatura desciende $18^{\circ}C$, luego sube $5^{\circ}C$ y finalmente vuelve a bajar $3^{\circ}C$.

1. a) Representa mediante números enteros cada uno de los movimientos térmicos.
2. b) ¿Cuál es la temperatura final registrada por el sensor?
3. c) ¿Se encuentra la temperatura final por encima o por debajo de los $0^{\circ}C$?

Un repartidor entra en el ascensor de un centro comercial en la planta baja ($0$). Primero sube al almacén en la planta $+5$, después baja $8$ plantas para recoger mercancía en el garaje y, finalmente, sube $2$ plantas para hacer una entrega.

1. a) ¿En qué planta se encuentra el garaje? Expresa el resultado con un número entero.
2. b) ¿En qué planta hace la entrega final?
3. c) ¿Cuántas plantas ha recorrido en total el repartidor durante todo su trayecto? (Pista: utiliza el concepto de valor absoluto).

En un juego de estrategia, un barco pirata se mueve por un mapa de coordenadas. Su posición inicial es el punto $P(-3, 2)$.

1. a) Si el barco se desplaza $5$ unidades hacia la derecha, ¿cuál es su nueva coordenada de abscisas ($x$)?
2. b) Si desde esa nueva posición baja $4$ unidades, ¿cuál es su coordenada de ordenadas ($y$)?
3. c) Representa en tu cuaderno el punto inicial y el punto final en un sistema de ejes de coordenadas.

Escribe los números enteros que cumplen simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. Su valor absoluto es mayor que $2$ y menor que $6$.

2. Es un número negativo.

3. Al sumarle su opuesto, el resultado es $0$.

Representa los números encontrados en una recta numérica.

En el laboratorio de física, se están analizando las temperaturas de congelación de varios líquidos. Los resultados son:

• Líquido P: $-8$ ºC

• Líquido Q: $-15$ ºC

• Líquido R: $-3$ ºC

• Líquido S: $-12$ ºC

Ordena los líquidos de menor a mayor temperatura utilizando el símbolo $<$ y explica cuál de ellos tiene el mayor valor absoluto.

Un arqueólogo encuentra una moneda en un yacimiento. Al investigar, descubre que fue acuñada en el año $45$ a.C. Si el arqueólogo vive en el año $2024$ d.C., responde:

1. a) ¿Qué número entero asignarías a cada fecha?
2. b) ¿Cuál es el opuesto del año de acuñación de la moneda?
3. c) Representa de forma aproximada ambos años en una línea del tiempo.

Dos buceadores, Elena y Carlos, se encuentran en el mar. Elena está a una profundidad de $18$ metros bajo el nivel del mar. Carlos está a $12$ metros de Elena, pero él está en una posición más profunda.

1. a) ¿A qué profundidad se encuentra Carlos? Exprésalo con un número entero.
2. b) Si Elena sube $5$ metros, ¿cuál será su nueva posición?
3. c) ¿Cuál es la distancia absoluta entre la nueva posición de Elena y la posición de Carlos?

En un juego de tablero, tu ficha se encuentra en la casilla que representa el número entero $-4$. Lanzas un dado especial y obtienes los siguientes movimientos consecutivos:

1. Avanzas $6$ posiciones.

2. Retrocedes el doble de lo que indica el valor absoluto de $-3$.

3. Te mueves al opuesto de la casilla en la que te encuentras en ese momento.

¿En qué casilla terminas el juego? Indica todos los pasos intermedios.

Observa la siguiente recta numérica donde se han marcado dos puntos, $A$ y $B$. Sabiendo que la distancia entre el punto $A$ y el punto $B$ es de $15$ unidades y que el punto $A$ corresponde al número entero $-6$:

1. a) Determina qué número entero representa el punto $B$ si se encuentra a la derecha de $A$.
2. b) Calcula el valor de $|A| + |B|$.
3. c) Si situamos un nuevo punto $C$ justo en la mitad del segmento que une $A$ y $B$, ¿qué número entero representaría $C$?

Ordena de menor a mayor los siguientes elementos matemáticos, calculando previamente su valor numérico:

$$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad -(-10), \quad 0, \quad -| -1 |$$

Un arqueólogo está estudiando una dinastía antigua. Sabe que el primer rey de la dinastía nació en el año $42$ a.C. y murió a los $65$ años de edad. Su hijo, el heredero, nació cuando el padre tenía $28$ años y reinó durante $35$ años tras la muerte de su padre.

1. a) Utiliza números enteros para representar los años de nacimiento y muerte de ambos personajes.
2. b) ¿En qué año terminó el reinado del hijo? Expresa el resultado en formato cronológico (a.C. o d.C.).

En el siguiente plano cartesiano, un robot parte del punto $P(-2, 3)$. Realiza tres movimientos consecutivos:

1. Se desplaza $5$ unidades hacia la derecha.

2. Se desplaza $7$ unidades hacia abajo.

3. Se desplaza $4$ unidades hacia la izquierda.

¿En qué cuadrante termina el robot? Hazlo en tu libreta. Indica las coordenadas finales del punto y calcula el valor absoluto de la suma de su nueva abscisa ($x$) y su nueva ordenada ($y$).

Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, poniendo un ejemplo o un contraejemplo en cada caso:

1. a) Si $a$ y $b$ son dos números enteros negativos y $|a| < |b|$, entonces $a > b$.
2. b) El valor absoluto de un número entero siempre es mayor que el propio número.
3. c) La distancia entre cualquier número entero y su opuesto es siempre un número par.
4. d) Si al opuesto de un número le sumamos su valor absoluto, el resultado es siempre cero.

Estamos diseñando un videojuego donde un personaje debe saltar sobre plataformas numeradas con enteros. El personaje empieza en la plataforma $0$.

• El primer salto es de $+5$ unidades.

• El segundo salto es el doble de largo que el primero, pero en sentido opuesto.

• El tercer salto lo lleva a una plataforma cuyo número es el opuesto del número de la plataforma en la que se encontraba tras el segundo salto.

• El cuarto salto es de $-12$ unidades.

¿En qué plataforma se encuentra al final? Dibuja la trayectoria en la recta numérica indicando cada paso.

En un plano cartesiano, un cuadrado tiene dos de sus vértices opuestos en los puntos $A(-2, 3)$ y $C(4, -3)$.

1. Dibuja los ejes y sitúa los puntos $A$ y $C$.

2. Determina las coordenadas de los otros dos vértices, $B$ y $D$, sabiendo que el cuadrado no está girado (sus lados son paralelos a los ejes).

3. ¿Cuáles son las coordenadas del punto central donde se cruzan las diagonales del cuadrado?

Imagina dos números enteros, $a$ y $b$. Sabemos que:

1. La distancia entre $a$ y $0$ es de $7$ unidades.

2. La distancia entre $a$ y $b$ es de $3$ unidades.

3. $b$ es menor que $a$.

Determina todos los valores posibles para $a$ y para $b$. Para cada caso, escribe el valor absoluto de la suma $|a + b|$.