Ejercicios: Ecuaciones de primer grado

El lenguaje de las ecuaciones nos permite resolver misterios. Imagina que estás jugando a "Adivina mi número" con un amigo. Tu amigo te dice:

"Si a mi número secreto le sumas $12$, el resultado es $35$".

Traduce esta frase al lenguaje algebraico llamando $x$ al número secreto y escribe la ecuación correspondiente.

Una ecuación es como una balanza en perfecto equilibrio. Observa la siguiente imagen donde los círculos naranjas representan nuestra incógnita $x$ y los cuadrados grises representan unidades de $1$ kg.

Escribe la ecuación que representa el equilibrio de la balanza:

En tu videojuego favorito, has conseguido una puntuación de $x$ puntos. Después de completar una misión diaria, te han regalado $25$ puntos extra, y ahora tienes un total de $110$ puntos.

Escribe la ecuación que describe esta situación y averigua mentalmente cuántos puntos tenías al principio.

Comprobar si un número es la solución de una ecuación es fundamental. Indica si el valor $x = 4$ es la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado:

1. a) $x + 7 = 11$

1. b) $3x = 12$

1. c) $2x - 1 = 5$

Marta tiene una colección de cromos de fútbol. Su hermano pequeño le ha quitado $8$ cromos y ahora solo le quedan $22$.

Si llamamos $x$ al número inicial de cromos que tenía Marta, escribe la ecuación que representa este problema y resuélvela para saber cuántos cromos tenía al principio.

Resuelve estas ecuaciones de primer grado muy sencillas utilizando la operación inversa (si algo suma, pasa restando; si algo multiplica, pasa dividiendo):

1. a) $x + 5 = 15$

1. b) $x - 9 = 2$

1. c) $4x = 24$

1. d) $\frac{x}{3} = 5$

El perímetro de una parcela rectangular mide $60$ metros. Sabemos que el largo de la parcela mide $20$ metros. Queremos averiguar cuánto mide el ancho ($x$).

Utiliza la fórmula del perímetro del rectángulo para escribir una ecuación:

$2 \cdot 20 + 2 \cdot x = 60$

Escribe los pasos para despejar la $x$ y calcular el ancho de la parcela.

Tres amigos han ido a merendar y han pedido tres batidos iguales. Al pagar con un billete de $20$ €, les han devuelto $11$ €.

Si llamamos $x$ al precio de un solo batido, plantea una ecuación que represente el coste total de la merienda más la vuelta recibida.

(Pista: $3 \cdot (\text{precio batido}) + \text{vuelta} = \text{total pagado}$)

En una balanza digital de precisión, hemos colocado dos cajas de suministros idénticas (que llamaremos $x$) y una pesa de $25$ gramos en el platillo izquierdo. Para equilibrar la balanza, en el platillo derecho hemos puesto una pesa de $135$ gramos.

Plantea la ecuación que representa este equilibrio y calcula cuánto pesa cada caja $x$.

Un famoso streamer está sorteando tarjetas de regalo entre sus suscriptores. Ha anunciado que "el triple de las tarjetas que regaló ayer, menos las 12 que ha guardado para hoy, equivale a 48 tarjetas".

Si llamamos $x$ al número de tarjetas que regaló ayer, escribe la ecuación que describe la situación y resuélvela para hallar ese número.

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado eliminando primero los paréntesis y agrupando después los términos con incógnita:

$4(x - 3) + 2x = 3(x + 2) + 9$

Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte sea igual a $15$. Para resolverlo, busca el mínimo común múltiplo de los denominadores para limpiar la ecuación de fracciones.

$\frac{x}{2} + \frac{x}{4} = 15$

Tres amigos están coleccionando cromos de una serie de animación. Lucía tiene el doble de cromos que Marcos, y Paula tiene 10 cromos más que Marcos. Si entre los tres suman un total de $110$ cromos, ¿cuántos tiene cada uno?

Pista: Llama $x$ a los cromos de Marcos.

Resuelve la siguiente ecuación con denominadores simplificando cada paso:

$\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{6} = 2$

Recuerda multiplicar todos los términos de la ecuación por el $m.c.m.(3, 6)$ para trabajar solo con números enteros.

La suma de tres números enteros consecutivos es igual a $72$. Plantea una ecuación de primer grado para encontrar cuáles son esos tres números.

En un juego de rol, la fuerza de tu personaje se calcula mediante una "fórmula de equilibrio". Para subir de nivel, debes encontrar el valor de la incógnita $x$ que hace que ambos lados de la balanza mágica sean iguales. Resuelve la siguiente ecuación:

$2(3x - 5) - 4(x - 2) = 16 - (x + 3)$

Tres amigos deciden comprar una suscripción anual a una plataforma de streaming que cuesta un total de $165$ €. Por el uso que le dan, han acordado que:

• Sara pagará el doble que Lucas.

• Lucas pagará $15$ € más que Mateo.

Si llamamos $x$ al dinero que paga Mateo, plantea una ecuación de primer grado y calcula cuánto debe aportar cada uno para completar el pago.

Estamos diseñando una nueva pista de skate con forma triangular. El perímetro total de la pista debe ser de $54$ metros. Las condiciones del diseño son las siguientes:

• El lado más largo mide $x$ metros.

• El lado mediano mide la mitad que el lado largo más $3$ metros.

• El lado más corto mide $10$ metros menos que el lado largo.

Halla las dimensiones de los tres lados de la pista resolviendo la ecuación correspondiente.

Resuelve la siguiente ecuación con denominadores, prestando mucha atención al signo negativo que precede a la segunda fracción:

$\frac{x + 5}{2} - \frac{2x - 3}{3} = \frac{5}{6}$

Recuerda que para eliminar los denominadores debes multiplicar todos los términos por el m.c.m. de los mismos.

La edad de Marina es el triple de la que tenía hace $10$ años. Si llamamos $x$ a su edad actual, ¿podrías averiguar cuántos años tiene planteando y resolviendo una ecuación de primer grado?

El equipo de robótica de tu instituto ha construido un circuito con forma de rectángulo para una competición. El largo del circuito mide el triple que su ancho. Si aumentamos el ancho en $2$ metros y disminuimos el largo en $4$ metros, el perímetro sigue siendo de $44$ metros. Calcula las dimensiones originales del circuito.

Encuentra el valor de $x$ que resuelve la siguiente ecuación compleja con paréntesis anidados:

$3[2x - (x + 4)] = 2(3x + 1) - 5$

Asegúrate de resolver primero los paréntesis interiores y simplificar cada miembro antes de trasponer términos.

Una tienda de videojuegos ha vendido durante la mañana la tercera parte de las consolas que tenía en stock. Por la tarde, ha vendido la mitad de las que le quedaban. Si al cerrar la tienda todavía tienen $12$ consolas sin vender, ¿con cuántas consolas empezaron el día?

Plantea la ecuación llamando $x$ al número total de consolas al inicio del día.