Ejercicios: Mínimo común múltiplo

Para empezar a practicar, vamos a utilizar el método de escribir la lista de múltiplos. Escribe los $10$ primeros múltiplos de los números $4$ y $5$ (sin contar el cero). Después, identifica cuál es el mínimo común múltiplo ($m.c.m.$) de ambos.

Calcula de forma rápida el $m.c.m. (3, 9)$. Fíjate bien en la relación que hay entre los dos números antes de empezar a calcular. ¿Es uno múltiplo del otro? Razona si en este caso necesitas hacer muchas operaciones.

En la estantería de una tienda de cómics, quieren apilar tomos de "Manga" que miden $12$ mm de grosor y tomos de "Novela Gráfica" que miden $18$ mm de grosor. ¿Cuál es la altura mínima a la que deben llegar ambas pilas para que midan exactamente lo mismo?

Tres campanas de una iglesia suenan con diferentes intervalos: la primera suena cada $6$ minutos, la segunda cada $9$ minutos y la tercera cada $12$ minutos. Si han sonado las tres juntas a las $10:00$ de la mañana, ¿a qué hora volverán a coincidir de nuevo?

Dos atletas entrenan en una pista circular. Lucía tarda $60$ segundos en dar una vuelta completa y Adrián tarda $75$ segundos. Si salen juntos de la línea de meta, ¿cuántos segundos tardarán en volver a cruzar la meta al mismo tiempo? ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese momento?

Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números utilizando la descomposición en factores primos:

1. a) $m.c.m. (10, 15)$
2. b) $m.c.m. (8, 12)$
3. c) $m.c.m. (20, 30)$

Marta está organizando una fiesta y quiere comprar perritos calientes. Las salchichas vienen en paquetes de $6$ unidades y los panecillos en bolsas de $8$ unidades. ¿Cuál es el número mínimo de perritos que puede preparar para que no le sobre ni una salchicha ni un panecillo? ¿Cuántos paquetes de cada producto tendrá que comprar?

Para desbloquear un nivel especial en un videojuego matemático, necesitas encontrar el código de acceso. El código es el mínimo común múltiplo de los siguientes tres números: $36$, $48$ y $60$.

Realiza la descomposición en factores primos de cada número y calcula el código final.

Dos luces de un escenario de conciertos parpadean a ritmos diferentes. La luz naranja se enciende cada $12$ segundos y la luz blanca cada $15$ segundos. Si ambas luces se acaban de encender al mismo tiempo al empezar una canción:

1. a) ¿Cuántos segundos tardarán en volver a coincidir encendidas por primera vez?
2. b) ¿Cuántas veces habrán coincidido durante los primeros $3$ minutos de la canción?

Una tienda de deportes recibe un cargamento de balones de fútbol en cajas de $15$ unidades y balones de baloncesto en cajas de $20$ unidades. Si la tienda quiere tener el mismo número de balones de cada tipo para una promoción:

1. a) ¿Cuál es el número mínimo de balones de cada clase que debe tener?
2. b) ¿Cuántas cajas de balones de fútbol y cuántas de baloncesto necesita comprar para alcanzar esa cantidad?

Queremos cubrir el suelo de un estudio de grabación que tiene forma de cuadrado perfecto con paneles insonorizantes rectangulares de $18$ cm de ancho por $24$ cm de largo.

¿Cuál debe ser la medida mínima del lado de la habitación para que podamos colocar los paneles sin tener que cortar ninguno? ¿Cuántos paneles necesitaremos en total para cubrir todo el suelo?

Tres autobuses escolares parten de la misma estación central a las $08:00$ de la mañana. El autobús de la Ruta A pasa por la estación cada $45$ minutos, el de la Ruta B cada $60$ minutos y el de la Ruta C cada $90$ minutos.

¿A qué hora volverán a coincidir los tres autobuses en la estación por primera vez?

Encuentra un número comprendido entre $300$ y $400$ que sea, simultáneamente, múltiplo de $12$, $15$ y $18$. Explica los pasos que has seguido para hallarlo utilizando el concepto de mínimo común múltiplo.

Un coleccionista de figuras de acción tiene menos de $1.000$ piezas. Sabe que si las organiza en cajas de $18$, no sobra ninguna. Si las organiza en cajas de $20$, tampoco sobra ninguna, y si las agrupa de $24$ en $24$, el recuento también es exacto.

1. a) ¿Cuál es la cantidad mínima de figuras que puede tener?
2. b) Si sabe que el número total de figuras está comprendido entre $700$ y $800$, ¿cuántas figuras tiene exactamente?

Queremos construir un cubo sólido utilizando ladrillos de juguete que miden $15$ cm de largo, $10$ cm de ancho y $6$ cm de alto.

1. a) ¿Cuál debe ser la medida de la arista del cubo más pequeño que podemos formar sin cortar ningún ladrillo?
2. b) ¿Cuántos ladrillos de juguete necesitaremos en total para construir dicho cubo?

Tres músicos de una banda de jazz están ensayando un patrón rítmico. El batería golpea el platillo cada $8$ tiempos, el bajista toca una nota grave cada $12$ tiempos y el pianista hace un acorde cada $15$ tiempos.

1. a) Si empiezan el compás a la vez, ¿en qué número de tiempo volverán a sonar los tres instrumentos al mismo tiempo?
2. b) Si el pianista decidiera tocar cada $18$ tiempos en lugar de $15$, ¿tardarían más o menos en coincidir? Justifica la respuesta con cálculos.

El faro de una isla emite una luz blanca cada $12$ segundos, y un faro cercano emite una luz roja cada $16$ segundos. Un tercer faro emite una luz verde cada $20$ segundos. A las $22:00$ horas se han visto las tres luces coincidir.

1. a) ¿Cada cuántos minutos y segundos coinciden las tres luces?
2. b) ¿Cuántas veces coincidirán las tres luces en total desde las $22:00$ hasta las $23:00$ horas? (Ten en cuenta que la primera coincidencia es a las $22:00$).

Encuentra todos los números naturales menores que $150$ que sean múltiplos comunes de $4, 6$ y $9$ a la vez. Para ello:

1. a) Calcula primero el $m.c.m.(4, 6, 9)$.
2. b) Escribe la serie de múltiplos de ese valor hasta llegar al límite indicado.
3. c) ¿Cuál es el mayor múltiplo de estos tres números que es menor que $500$?