Ejercicios: El lenguaje algebraico

En el mundo de los videojuegos, a veces usamos fórmulas para calcular puntuaciones. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases, llamando $x$ al número de gemas que ha conseguido un jugador:

• a) El doble del número de gemas.

• b) El triple de gemas más $50$ puntos extra.

• c) El número de gemas que tendría si perdiera $5$ gemas.

• d) La mitad de las gemas que tiene.

Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y completa la información sobre estos monomios (recuerda que si no hay número delante de la letra, el coeficiente es $1$):

Monomio	Coeficiente	Parte literal	Grado
$7a^2$
$-5x$
$x^3y$
$\frac{1}{2}b$

Queremos vallar un recinto para un festival de música que tiene forma de cuadrado. No sabemos cuánto mide el lado todavía, así que lo llamaremos $x$.

• a) Escribe una expresión algebraica para el perímetro del recinto (la suma de todos sus lados).

• b) Escribe una expresión algebraica para el área del recinto.

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones para el valor que se indica (recuerda que entre un número y una letra siempre hay una multiplicación invisible):

• a) $3x + 5$ cuando $x = 2$

• b) $10 - 2n$ cuando $n = 3$

• c) $a^2 + 1$ cuando $a = 5$

• d) $\frac{x}{2} + 7$ cuando $x = 10$

Observa la siguiente serie de figuras formadas por puntos naranjas. Si llamamos $n$ a la posición de la figura (Figura 1, Figura 2...):

• a) ¿Cuántos puntos tendrá la Figura 4?

• b) Escribe una expresión algebraica que nos diga cuántos puntos hay en la Figura $n$.

En una tienda de ropa, una sudadera cuesta $s$ euros. Si unos pantalones cuestan $12$ euros menos que la sudadera, expresa en lenguaje algebraico:

• a) El precio de los pantalones.

• b) El precio total de comprar dos sudaderas.

• c) El precio total de comprar una sudadera y unos pantalones.

Llamamos $x$ a la edad actual de Lucía. Expresa algebraicamente las edades de su familia:

• a) La edad que tendrá Lucía dentro de $8$ años.

• b) La edad que tenía Lucía hace $3$ años.

• c) Su hermano tiene el doble de la edad de Lucía. ¿Qué edad tiene el hermano?

• d) Su madre tiene el triple de la edad que Lucía tendrá dentro de $1$ año.

Si $n$ representa un número entero cualquiera, escribe la expresión algebraica para:

• a) El número siguiente a $n$.

• b) El número anterior a $n$.

• c) El triple del siguiente de $n$.

• d) La suma de un número y su anterior.

En un popular videojuego de aventuras, los jugadores obtienen diferentes puntuaciones según sus acciones. Si llamamos $x$ al número de cofres de oro encontrados e $y$ al número de misiones secundarias completadas, expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones:

• El triple de cofres de oro encontrados.

• El número de misiones secundarias más cinco misiones extra de bonificación.

• El doble de la suma de los cofres de oro y las misiones secundarias.

• La mitad de los cofres encontrados tras perder tres de ellos en una batalla.

• El total de puntos si cada cofre vale 100 puntos y cada misión vale 50 puntos.

Calcula el perímetro de la siguiente pista de pádel cuyas dimensiones vienen dadas en metros mediante expresiones algebraicas. Una vez obtenida la expresión simplificada, calcula su valor numérico para $x = 4$ metros.

Un creador de contenido de TikTok analiza sus ingresos mensuales. Si $v$ representa el número de vídeos publicados en un mes, su ganancia en euros viene definida por la expresión algebraica: $G = 0,5 \cdot v + 12$.

• ¿Qué representan los números $0,5$ y $12$ en este contexto?

• ¿Cuál será su ganancia si este mes ha conseguido publicar un total de $v = 40$ vídeos?

• Si el mes que viene decide publicar el doble de vídeos que este mes, escribe la nueva expresión para su ganancia.

Observa la siguiente serie de mesas hexagonales colocadas en línea para una celebración en el instituto. Cada hexágono representa una mesa donde se sientan los alumnos.

Si en una mesa ($n=1$) caben 6 personas, en dos mesas ($n=2$) caben 10 personas y en tres mesas ($n=3$) caben 14 personas:

• Crea una expresión algebraica que permita calcular el número de personas que pueden sentarse en función del número de mesas $n$.

• Calcula cuántas personas podrán sentarse si se unen 15 mesas.

En una tienda de deportes, una camiseta de fútbol cuesta $x$ euros y un pantalón cuesta $y$ euros. Traduce del lenguaje algebraico al lenguaje ordinario (castellano) qué significan las siguientes expresiones:

• $x + y$

• $2x + 3y$

• $x - 10$

• $0,85 \cdot x$

• $3(x + y)$

Copia y completa la siguiente tabla sobre monomios en tu cuaderno. Recuerda que si el coeficiente no aparece, se entiende que es la unidad.

Monomio	Coeficiente	Parte Literal	Grado
$-5x^2$
$ab^3c$
$\frac{3}{4}x^4y$
$-z$
$12$

Ana, Borja y Clara están comparando cuántos seguidores tienen en sus redes sociales. Borja tiene el doble de seguidores que Ana. Clara tiene 500 seguidores menos que Borja. Si llamamos $s$ al número de seguidores que tiene Ana:

• Expresa en lenguaje algebraico los seguidores que tiene Borja.

• Expresa en lenguaje algebraico los seguidores que tiene Clara.

• Escribe una expresión que represente la suma de los seguidores de los tres amigos.

• Si Ana tiene $s = 1200$ seguidores, ¿cuántos seguidores tienen entre los tres?

Marta le propone un truco de magia a su hermano utilizando el lenguaje algebraico. Sigue los pasos y luego explica algebraicamente por qué siempre se obtiene el mismo resultado:

1. Piensa un número cualquiera ($n$).

2. Súmale 5.

3. Multiplica el resultado por 2.

4. Réstale 10 al valor obtenido.

5. Divide el resultado entre 2.

6. ¿Qué número obtienes respecto al número inicial? Escribe la expresión simplificada del proceso.

En una empresa de diseño de jardines, se utilizan losetas hexagonales para rodear parterres de flores. Si colocamos los parterres en línea, cada parterre adicional comparte algunas losetas con el anterior para ahorrar material. Observa la siguiente secuencia de diseño:

Si llamamos $n$ al número de parterres que queremos poner en fila:

1. a) Encuentra una expresión algebraica que permita calcular el número de losetas necesarias para $n$ parterres.
2. b) Utiliza dicha expresión para calcular cuántas losetas se necesitarían para una hilera de $25$ parterres.

Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases complejas, utilizando una sola variable $x$ para el número desconocido:

1. a) El triple de la diferencia entre el cuadrado de un número y su mitad.
2. b) La suma de tres números naturales consecutivos, sabiendo que el primero de ellos es $x-2$.
3. c) El precio final de una sudadera que costaba $x$ euros, si primero se le aplica un aumento del $10\%$ por costes de envío y luego un descuento de $5$ euros por un cupón.
4. d) La diferencia entre el cubo del siguiente de un número y el doble de su anterior.

Un grupo de amigos quiere regalar una consola de videojuegos a un compañero. La consola cuesta $C$ euros. Deciden que dos de los amigos, que son hermanos, pagarán solo la mitad de lo que pague el resto cada uno.

1. a) Si $x$ es la cantidad de dinero que aporta cada uno de los amigos que no son hermanos, y hay un total de $6$ amigos (incluyendo a los dos hermanos), expresa algebraicamente el coste total $C$ de la consola.
2. b) Si el coste de la consola es de $300$ euros, calcula cuánto dinero debe aportar cada uno de los hermanos.

En el diseño de una piscina moderna, se quiere rodear una zona rectangular de agua de largo $l$ y ancho $a$ con un borde de madera de $2$ metros de ancho por todo su contorno.

1. a) Escribe la expresión algebraica que representa el área total ocupada por la madera (el borde).
2. b) Simplifica la expresión obtenida en el apartado anterior.
3. c) ¿Cuál sería el valor numérico de esa área si la piscina mide $10$ metros de largo y $5$ metros de ancho?

Considera la expresión algebraica $P(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$.

1. a) Calcula el valor numérico de $P(x)$ para $x = 0, x = 2$ y $x = 10$.
2. b) Observando los resultados, ¿podrías proponer una expresión mucho más sencilla que sea equivalente a $P(x)$ para cualquier valor de $x$ (excepto para $x = -2$)?
3. c) ¿Por qué crees que no se puede calcular el valor numérico de esa expresión para $x = -2$? Razona tu respuesta basándote en lo que sabes de las fracciones.

En una competición de triatlón, un atleta corre a una velocidad constante de $v$ km/h.

1. a) Expresa algebraicamente la distancia que recorre en un tiempo de $t$ horas y $15$ minutos. (Recuerda expresar el tiempo en una única unidad).
2. b) Si el atleta decide aumentar su velocidad en $2$ km/h durante la segunda mitad del tiempo, escribe la expresión de la distancia total recorrida en ese mismo tiempo $t$.
3. c) Calcula la distancia total si $v = 12$ km/h y $t = 2$ horas.

Un mago pide a un espectador que realice las siguientes instrucciones:

1. Piensa un número natural cualquiera $n$.

2. Multiplícalo por $6$.

3. Suma $12$ al resultado anterior.

4. Divide todo entre $3$.

5. Resta el doble del número que pensaste al principio.

1. a) Traduce a lenguaje algebraico cada paso del truco y escribe la expresión final simplificada.
2. b) ¿Cuál es el resultado final del truco? ¿Depende del número que haya pensado el espectador? Justifica tu respuesta usando el lenguaje algebraico.

En un almacén de logística, las cajas se apilan formando estructuras piramidales de base cuadrada. En el nivel más alto (nivel 1) hay $1$ caja. En el nivel 2 (debajo del primero) hay $4$ cajas formando un cuadrado de $2 \times 2$. En el nivel 3 hay $9$ cajas formando un cuadrado de $3 \times 3$.

1. a) Escribe la expresión algebraica que representa el número de cajas que hay en el nivel $n$.
2. b) Escribe una expresión algebraica que represente el número total de cajas si la pirámide tiene solo $3$ niveles.
3. c) Si una pirámide tiene $n$ niveles, se sabe que el número total de cajas viene dado por la fórmula $T = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Calcula cuántas cajas habrá en total en una estructura de $10$ niveles.