Ejercicios: Técnicas de conteo

En un club de deportes electrónicos (eSports), se analiza la especialización de sus 100 socios. Se sabe que 65 de ellos juegan habitualmente a League of Legends (suceso $L$), 40 juegan a Valorant (suceso $V$) y 15 juegan a ambos videojuegos.

Calcula la probabilidad de que, al elegir un socio al azar:

• Juegue a alguno de los dos videojuegos ($L \cup V$).

• No juegue a ninguno de los dos.

• Juegue solo a League of Legends.

Ilustra la situación mediante un diagrama de Venn.

Para mejorar la seguridad de una aplicación móvil, un desarrollador decide crear códigos de acceso consistentes en una letra mayúscula (considerando las 26 letras del alfabeto estándar) seguida de tres dígitos (del 0 al 9).

• ¿Cuántos códigos diferentes se pueden crear si los dígitos pueden repetirse?

• ¿Cuántos códigos diferentes habría si los tres dígitos tienen que ser distintos entre sí?

• Si se genera un código al azar con dígitos repetibles, ¿cuál es la probabilidad de que la letra sea una 'Z'?

Una urna contiene 12 bolas de cristal para un experimento de óptica: 5 son azules, 4 son rojas y 3 son amarillas. Si extraemos una bola al azar, calcula las siguientes probabilidades utilizando la regla de Laplace:

• Que la bola sea roja o amarilla.

• Que la bola no sea azul.

• Que la bola sea blanca.

En un laboratorio de robótica, se han mezclado en una caja 8 sensores de proximidad en perfecto estado y 2 sensores defectuosos. Un alumno extrae dos sensores de forma consecutiva y sin reemplazamiento (sin devolver el primero a la caja).

Calcula la probabilidad de que:

• Ambos sensores funcionen correctamente.

• El primero sea defectuoso y el segundo esté en buen estado.

Se ha realizado una encuesta a los 60 alumnos de 2º de Bachillerato de un instituto tecnológico sobre el uso de redes sociales para informarse sobre noticias científicas. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia:

	Usan X (Twitter)	Usan Instagram	Total
Alumnos	18	12	30
Alumnas	10	20	30
Total	28	32	60

Si elegimos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:

• Sea una alumna.

• Use Instagram para informarse.

• Sabiendo que es alumno, prefiera informarse a través de la red social X.

Un estudiante tiene dos exámenes el mismo día: Matemáticas e Inglés. Por su historial de notas, estima que la probabilidad de aprobar Matemáticas ($M$) es de $0,7$, la de aprobar Inglés ($I$) es de $0,8$ y la de aprobar ambos es de $0,6$.

• ¿Son los sucesos "Aprobar Matemáticas" y "Aprobar Inglés" independientes? Justifica tu respuesta matemáticamente.

• Calcula la probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes.

En el laboratorio de un hospital, dos analizadores automáticos, $A$ y $B$, procesan las muestras de sangre. El analizador $A$ procesa el $60 \%$ de las muestras y el $B$ el $40 \%$ restante. Se sabe que el $2 \%$ de las muestras del analizador $A$ deben repetirse por error de lectura, mientras que en el $B$ ese porcentaje es del $5 \%$.

Dibuja el diagrama de árbol correspondiente y calcula la probabilidad de que una muestra elegida al azar deba repetirse.

Una clase de ingeniería tiene que elegir una comisión de 3 representantes. Si en la clase hay 20 estudiantes, calcula:

• ¿De cuántas formas se puede elegir la comisión si los tres cargos (delegado, subdelegado y secretario) son distintos?

• ¿De cuántas formas se puede elegir si los tres representantes tienen el mismo rango y no importa el orden?

• Si hay 12 hombres y 8 mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que la comisión (sin cargos diferenciados) esté formada solo por mujeres? (Plantea la fracción mediante números combinatorios).

Para mejorar la seguridad de una plataforma de e-sports, se requiere que los usuarios creen una clave de acceso de 6 caracteres. Los dos primeros deben ser letras mayúsculas del abecedario español (27 letras) y los cuatro restantes deben ser dígitos del $0$ al $9$.

Calcula cuántas contraseñas diferentes se pueden generar si:

1. a) Se permiten repeticiones de letras y números.
2. b) No se permite repetir ninguna letra, pero sí los números.
3. c) Las letras deben ser distintas y los números deben formar una secuencia estrictamente creciente (por ejemplo: $1258$, pero no $1225$ ni $4321$).

En el estudio de rendimiento de un nuevo procesador gráfico, se definen los sucesos $A$: "el procesador supera los $100$ FPS en ultra" y $B$: "el procesador mantiene una temperatura inferior a $70^\circ$C". Se conocen las siguientes probabilidades:

$P(A) = 0,65$

$P(B) = 0,50$

$P(A^c \cup B^c) = 0,70$

Halla razonadamente:

1. a) La probabilidad de que se cumplan ambos sucesos a la vez.
2. b) La probabilidad de que se cumpla solo el suceso $A$.
3. c) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Justifica tu respuesta.

Un laboratorio de robótica tiene dos cajas de componentes. La Caja 1 contiene $8$ sensores de proximidad y $4$ actuadores. La Caja 2 contiene $5$ sensores de proximidad y $7$ actuadores. Se elige una caja al azar y se extraen sucesivamente dos componentes sin reemplazamiento.

1. a) Calcula la probabilidad de que los dos componentes extraídos sean actuadores.
2. b) Si sabemos que los dos componentes extraídos han sido sensores de proximidad, ¿cuál es la probabilidad de que provengan de la Caja 1?

Una empresa de desarrollo de software utiliza tres servidores para alojar su API: el servidor $S_1$ gestiona el $45\%$ del tráfico, el $S_2$ el $35\%$ y el $S_3$ el resto. Debido a la carga, el servidor $S_1$ falla (error 500) en el $2\%$ de las peticiones, $S_2$ en el $3\%$ y $S_3$ en el $5\%$.

1. a) Si un usuario realiza una petición, ¿cuál es la probabilidad de que el servidor devuelva un error?
2. b) Si una petición ha fallado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido gestionada por el servidor $S_3$?

Un ingeniero de telecomunicaciones estima que la probabilidad de que un paquete de datos se pierda durante una transmisión inalámbrica en condiciones de interferencia es de $0,15$. Se envía una ráfaga de $10$ paquetes de forma independiente.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que se pierdan exactamente $3$ paquetes?
2. b) Calcula la probabilidad de que se pierdan al menos $2$ paquetes.
3. c) ¿Cuál es el número esperado de paquetes perdidos y su desviación típica?

El tiempo de compilación de un proyecto complejo de ingeniería sigue una distribución normal con una media de $120$ segundos y una desviación típica de $15$ segundos.

1. a) Calcula la probabilidad de que el proyecto se compile en menos de $100$ segundos.
2. b) Calcula la probabilidad de que el tiempo de compilación esté entre $110$ y $140$ segundos.
3. c) ¿Qué tiempo de compilación es superado solo por el $5\%$ de los procesos más lentos?

En un examen de certificación técnica, las puntuaciones siguen una distribución $N(70, 12)$. La institución decide otorgar una "Mención de Excelencia" a los alumnos que obtengan una nota situada en el percentil $90$.

1. a) ¿Cuál es la nota mínima para obtener dicha mención?
2. b) Si se presentan $250$ alumnos, ¿cuántos se espera que obtengan la mención?
3. c) Si elegimos a dos alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos tengan la mención?

Una red social detecta que el $10\%$ de las cuentas creadas son "bots". Si en una hora se registran $400$ cuentas nuevas:

1. a) Explica por qué se puede aproximar el número de bots mediante una distribución normal.
2. b) Calcula, realizando la aproximación a la normal con corrección de continuidad, la probabilidad de que haya entre $35$ y $50$ bots (ambos inclusive).
3. c) Calcula la probabilidad de que el número de bots sea superior a $45$.

Una empresa de ciberseguridad genera claves de acceso mediante la permutación de los caracteres de la palabra BLOCKCHAIN. Se elige una de estas claves al azar.

1. a) Calcula la probabilidad de que la clave elegida comience y termine por vocal.
2. b) Determina la probabilidad de que todas las vocales aparezcan juntas en la clave.
3. c) Si se sabe que la clave empieza por B, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda letra sea una L?

Un servidor de almacenamiento de datos recibe peticiones de tres tipos de clientes: Bronce ($50\%$), Plata ($30\%$) y Oro ($20\%$). Debido a la saturación, el servidor puede rechazar peticiones. Se sabe que la probabilidad de que una petición sea rechazada es del $10\%$ para clientes Bronce, del $5\%$ para clientes Plata y del $1\%$ para clientes Oro.

1. a) Si se selecciona una petición al azar y resulta ser rechazada, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de un cliente de tipo Bronce?
2. b) Tras una actualización del sistema, la probabilidad total de rechazo ha bajado al $4\%$. Si las probabilidades de los clientes Plata y Oro se mantienen iguales, ¿cuál es la nueva probabilidad de rechazo para los clientes Bronce?

Se dispone de una urna $A$ con 4 bolas blancas y 6 bolas negras, y una urna $B$ con 7 bolas blancas y 3 negras. Se lanza un dado equilibrado: si sale un número menor o igual que 2, se extrae una bola de la urna $A$ y se introduce en la $B$, para luego extraer una bola de $B$. Si sale un número mayor que 2, se extrae una bola de la urna $B$ y se introduce en la $A$, para luego extraer una bola de $A$.

Calcula la probabilidad de que la bola extraída en segundo lugar sea blanca.

Un sistema de puntería láser para cirugía ocular tiene un error de desviación $X$, medido en micras, que sigue una función de densidad dada por:

$$f(x) = \begin{cases} k(4x - x^3) & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$$

1. a) Determina el valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad legítima.
2. b) Calcula la probabilidad de que la desviación sea superior a 1 micra.
3. c) Obtén la esperanza matemática de la desviación. ¿Qué significado tiene este valor en el contexto de la cirugía?

Un sistema de comunicación satelital transmite paquetes de datos. Cada paquete tiene una probabilidad $p = 0,002$ de corromperse durante la transmisión de forma independiente. Para asegurar la recepción, se envía un bloque de $2500$ paquetes.

1. a) Justifica por qué se puede aproximar el número de paquetes corrompidos mediante una distribución normal.
2. b) Calcula la probabilidad de que se corrompan entre 4 y 8 paquetes (ambos inclusive).
3. c) Si el sistema de corrección de errores solo puede reparar hasta 10 paquetes por bloque, ¿cuál es la probabilidad de que el bloque sea irreparable?

El tiempo de respuesta de un sensor industrial sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se sabe que el $15,87\%$ de las respuestas tardan más de $82$ milisegundos, y que solo el $2,28\%$ de las respuestas son más rápidas que $58$ milisegundos.

1. a) Calcula los parámetros $\mu$ y $\sigma$ del tiempo de respuesta.
2. b) Si el fabricante garantiza que el sensor responde en menos de $85$ ms, ¿qué porcentaje de los sensores no cumplirán la garantía?

En un examen de ingeniería con 100 alumnos, las notas siguen una distribución normal de media $6,2$ y desviación típica $1,5$. El profesor decide que el $10\%$ de los alumnos con mejores notas obtendrán la calificación de "Sobresaliente", mientras que aquellos cuya nota esté por debajo de una desviación típica de la media suspenderán.

1. a) ¿Cuál es la nota mínima para obtener un "Sobresaliente"?
2. b) ¿Cuántos alumnos se espera que suspendan el examen?
3. c) Si elegimos a tres alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos tenga una nota superior a 7?

Un dispositivo electrónico consta de dos componentes críticos, $C_1$ y $C_2$, conectados en paralelo (el dispositivo funciona si al menos uno de los dos funciona). La probabilidad de que $C_1$ falle en un año es $0,15$, y la de que $C_2$ falle es $0,20$. Sin embargo, los fallos no son independientes: si $C_1$ falla, la probabilidad de que $C_2$ también falle aumenta a $0,60$.

1. a) Calcula la probabilidad de que el dispositivo falle antes de un año.
2. b) ¿Son los sucesos "Falla $C_1$" y "Falla $C_2$" dependientes? Justifica tu respuesta con cálculos.
3. c) Si el dispositivo ha fallado, ¿cuál es la probabilidad de que el componente $C_1$ haya fallado?