Ejercicios: Integración de funciones trigonométricas

Para empezar a practicar con el cálculo de antiderivadas, halla la primitiva general de la siguiente función que incluye un ajuste lineal en el argumento del coseno:

$f(x) = \cos(4x - 1)$

Calcula la integral indefinida de la siguiente función, observando que se trata de una función compuesta donde aparece la derivada del argumento:

$\int x \cdot \sin(x^2 + 3) \, dx$

En muchas ocasiones, las identidades trigonométricas nos permiten transformar una expresión difícil en una inmediata. Utiliza la relación $\tan^2(x) + 1 = \sec^2(x)$ para calcular la siguiente primitiva:

$\int \tan^2(x) \, dx$

Determina la familia de funciones primitivas de la expresión dada. Ten en cuenta que la derivada del seno es el coseno:

$f(x) = \sin^4(x) \cdot \cos(x)$

Halla la primitiva de la función $f(x) = \sec^2(3x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(0, 2)$. Recuerda que debes calcular la constante de integración $C$.

Un oscilador armónico simple se mueve de tal forma que su velocidad en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por $v(t) = 3 \cdot \cos(t)$. Si en el instante inicial $t=0$ el objeto se encuentra en la posición $s=0$, obtén la expresión de su posición $s(t)$ calculando la primitiva correspondiente.

Calcula la siguiente integral indefinida utilizando el logaritmo neperiano como resultado, reconociendo que el numerador es (casi) la derivada del denominador:

$\int \frac{\sin(x)}{5 + \cos(x)} \, dx$

Obtén el conjunto de todas las primitivas de la siguiente función compuesta, que combina una raíz cuadrada con una función trigonométrica:

$f(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{\sin(x)}}$

Calcula la primitiva de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para simplificar la expresión antes de integrar:

Halla la integral indefinida de la función $f(x) = \tan^3(x) \cdot \sec^2(x)$. Recuerda observar si la expresión se ajusta a una integral de tipo potencial donde una función está elevada a un exponente y multiplicada por su derivada.

Un estudio de arquitectura está diseñando el perfil de una rampa para un parque de deportes extremos. La pendiente de la rampa en cada punto $x$ viene dada por la función $g(x) = \sin^2(x)$. Si la rampa comienza en el punto $(0, 0)$, determina la función $G(x)$ que describe la altura de la rampa en cualquier punto.

Pista: Utiliza la fórmula del ángulo doble para reducir el grado de la función.

Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{\sin^3(x)}{\cos^2(x)}$.

Sugerencia: Al ser una función impar en $\sin(x)$, realiza el cambio de variable $t = \cos(x)$.

Determina la integral indefinida de la función $f(x) = \frac{1}{\sin^2(x) \cdot \cos^2(x)}$.

Ayuda: Puedes intentar sustituir el número $1$ del numerador por la identidad fundamental $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ para separar la integral en dos sumandos más sencillos.

Halla la primitiva de la función $h(x) = x^2 \cdot \cos(x)$ utilizando el método de integración por partes. Deberás aplicar el método dos veces para reducir el grado del polinomio hasta obtener una integral inmediata.

En un experimento de física, se analiza la oscilación amortiguada de un muelle cuya velocidad de vibración en función del tiempo $t$ se comporta según la función $v(t) = e^{-t} \cdot \sin(2t)$. Determina la función de posición $s(t)$ sabiendo que esta integral es de tipo cíclica.

Calcula la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^3(x)}$ que cumple la condición de pasar por el origen de coordenadas, es decir, $F(0) = 0$.

Pista: Identifica si es una integral de tipo logarítmico o potencial antes de aplicar las condiciones iniciales.

En el diseño de circuitos de corriente alterna, la potencia instantánea suele venir dada por el producto de funciones exponenciales y trigonométricas. Calcula la familia de funciones primitivas de la siguiente expresión, que representa la tasa de variación de energía en un componente específico:

Consejo: Utiliza primero una identidad trigonométrica para reducir el exponente del coseno antes de aplicar el método de integración por partes.

Calcula la integral indefinida de la siguiente función racional trigonométrica. Este tipo de integrales aparecen frecuentemente en el cálculo de campos gravitatorios en astrofísica:

Nota: Considera un cambio de variable que relacione las funciones trigonométricas presentes y recuerda la identidad fundamental de la trigonometría.

Determina la primitiva de la función $f(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(\pi, 1)$ y su derivada es:

Sugerencia: Intenta expresar el numerador utilizando la identidad fundamental $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ de forma iterativa o busca un cambio de variable basado en la tangente.

El "cambio de variable universal" es una herramienta potente para resolver integrales de funciones racionales de seno y coseno. Utiliza el cambio $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$ para hallar la siguiente primitiva:

Halla la primitiva de la función $f(x)$ que se describe a continuación, empleando transformaciones de productos en sumas:

Una vez obtenida la familia de primitivas, determina aquella cuya gráfica tiene un máximo relativo en el punto de abscisa $x = \frac{\pi}{2}$ con un valor de ordenada $y = 2$.

En el estudio de las oscilaciones de un puente colgante, la aceleración de un punto de la estructura viene dada por la función $a(t)$. Encuentra la función posición $s(t)$ sabiendo que la velocidad inicial es $v(0) = 0$, la posición inicial es $s(0) = 1$ y la aceleración es:

Ayuda: Deberás integrar dos veces. La primera integral te dará la velocidad y la segunda la posición. Ten cuidado con los dominios de las funciones resultantes.

Calcula la integral indefinida de la función $f(x)$, que combina potencias de funciones trigonométricas inversas y funciones directas:

Pista: Descompón la integral en suma de dos integrales más sencillas y analiza si alguna de ellas puede resolverse como una integral de tipo "función por su derivada".

Halla la familia de primitivas de la siguiente función utilizando un cambio de variable adecuado para funciones trigonométricas pares en seno y coseno:

Sugerencia: Divide numerador y denominador por $\cos^2(x)$ para expresar la función en términos de $\tan(x)$ y su derivada $\sec^2(x)$.