Ejercicios: Álgebra de matrices usando determinantes

En una excavación arqueológica, se han registrado las coordenadas de tres puntos clave que forman un sector de búsqueda. Para calcular el área de este sector, primero necesitamos obtener el valor del determinante de la siguiente matriz de posición $A$:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

Calcula el valor de $|A|$ utilizando la regla de Sarrus.

Una empresa de mensajería utiliza un sistema de codificación basado en matrices. Para que un mensaje sea "desencriptable", la matriz utilizada $M$ debe ser inversible.

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} k & 4 \\ 1 & k \end{pmatrix}$, determina para qué valores del parámetro real $k$ la matriz no tiene inversa (es decir, es una matriz singular).

Sin realizar el desarrollo completo de la matriz, aplica las propiedades de los determinantes para justificar por qué el siguiente determinante es igual a $0$:

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 10 & 15 \\ 0 & 1 & -4 \end{vmatrix}$

(Pista: Observa la relación entre la primera y la segunda fila).

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = -2$. Utiliza las propiedades de los determinantes para calcular los siguientes valores:

1. a) $|A^t|$ (determinante de la traspuesta).
2. b) $|A^{-1}|$ (determinante de la inversa).
3. c) $|3A|$ (determinante de la matriz multiplicada por el escalar $3$).

Calcula la matriz inversa $A^{-1}$ de la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ utilizando el método de la matriz adjunta:

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$

Sigue estos pasos:

1. Halla el determinante $|A|$.

2. Calcula la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$.

3. Realiza la traspuesta y divide por el determinante.

Determina el rango de la siguiente matriz $B$ estudiando sus menores:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$

Indica razonadamente si el rango es $1$, $2$ o $3$.

Resuelve la siguiente ecuación matricial para hallar la matriz incógnita $X$:

$A \cdot X = B$

Donde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

(Recuerda: $X = A^{-1} \cdot B$. Debes calcular primero $A^{-1}$).

Calcula el valor del determinante de la siguiente matriz $4 \times 4$ desarrollando por los elementos de la segunda fila (aquella que tiene más ceros):

$|D| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 4 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}$

Sabiendo que el determinante de una matriz cuadrada $A$ de orden 3 es $|A| = -2$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular, de forma razonada, el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|A^t \cdot A|$

1. b) $|3A^{-1}|$

1. c) El determinante de la matriz resultante de multiplicar la primera fila de $A$ por $5$, intercambiar la segunda y tercera filas, y trasponer la matriz.

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$:

1. a) Determina los valores del parámetro real $k$ para los que la matriz $M$ es singular (no tiene inversa).

1. b) Para el valor $k = 0$, calcula la matriz inversa $M^{-1}$ utilizando el método de la matriz adjunta.

Resuelve la siguiente ecuación matricial $A \cdot X \cdot B = C$, donde las matrices $A$, $B$ y $C$ son:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$

Justifica previamente que las matrices $A$ y $B$ son invertibles calculando sus determinantes.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcula el determinante de $A$ en función del parámetro $m$.

1. b) Determina el rango de la matriz $A$ según los valores de $m$.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$, calcula:

1. a) El determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus.

1. b) La matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$.

1. c) Comprueba que se cumple la propiedad $A \cdot \text{Adj}(A)^t = |A| \cdot I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Se sabe que una matriz cuadrada $B$ verifica la ecuación $B^2 - 3B + 2I = O$, donde $I$ es la matriz identidad y $O$ es la matriz nula.

1. a) Demuestra que $B$ es una matriz regular (tiene inversa) y expresa $B^{-1}$ en función de $B$ e $I$.

1. b) Si $B$ es de orden 2 y su determinante es $|B| = 2$, ¿cuál es el determinante de la matriz adjunta de $B$, $|\text{Adj}(B)|$?

Resuelve el sistema de ecuaciones matriciales para hallar las matrices $X$ e $Y$:

$\begin{cases} 2X + Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ X - Y = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{cases}$

Una vez halladas, calcula el determinante de la matriz producto $X \cdot Y$.

Una empresa de componentes electrónicos fabrica tres tipos de circuitos: $C_1$, $C_2$ y $C_3$. El coste de producción de cada circuito viene determinado por el determinante de la matriz de materiales $M$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^2 & y^2 & z^2 \end{pmatrix}$

1. a) Sabiendo que $x$, $y$ y $z$ representan las cantidades de silicio, cobre y estaño respectivamente, demuestra que el determinante de esta matriz (Vandermonde) es $(y-x)(z-x)(z-y)$.

1. b) Si para un circuito concreto las cantidades son $x=1$, $y=2$ y $z=4$, ¿es la matriz $M$ invertible? Justifica tu respuesta usando el resultado del apartado anterior.

Se considera la matriz de orden 4 dependiente del parámetro real $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+k & 1 \\ k & k & k & k^2 \end{pmatrix}$$

Utilizando exclusivamente las propiedades de los determinantes, realiza las siguientes tareas:

1. a) Halla el valor del determinante de $M$ en función de $k$, presentando el resultado de forma factorizada.

1. b) Determina los valores de $k$ para los cuales la matriz $M$ no tiene inversa.

1. c) Para el caso $k = 2$, calcula el valor del determinante de la matriz adjunta de $M$, es decir, $|Adj(M)|$, sin calcular explícitamente los elementos de dicha matriz adjunta.

Una empresa de logística utiliza un algoritmo de encriptación basado en el álgebra matricial para proteger sus rutas. La clave de seguridad es una matriz $X$ que satisface la siguiente ecuación:

$$A \cdot X \cdot A^t = B - 2I$$

donde $I$ es la matriz identidad de orden 2 y las matrices $A$ y $B$ son:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 4 & 14 \end{pmatrix}$$

1. a) Justifica, utilizando determinantes, que la matriz $A$ es invertible.

1. b) Despeja la matriz $X$ en la ecuación anterior.

1. c) Calcula explícitamente la matriz $X$.

Dada la matriz cuadrada de orden $n$:

$$D_n = \begin{pmatrix} x & a & a & \dots & a \\ a & x & a & \dots & a \\ a & a & x & \dots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & a & \dots & x \end{pmatrix}$$

1. a) Para el caso $n = 3$, demuestra que el determinante de la matriz es $|D_3| = (x+2a)(x-a)^2$.

1. b) Generaliza el resultado anterior para una matriz de orden $n$ y deduce la expresión de $|D_n|$ en función de $x, a$ y $n$.

1. c) Si $x = 5$ y $a = 2$, ¿para qué valores de $n$ la matriz $D_n$ sería singular?

Estudia el rango de la matriz $A$ según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & 2 \\ 2 & b & 2 & 4 \\ 1 & 1 & a & 2 \end{pmatrix}$$

Para realizar el estudio, utiliza el método de los menores orlados y razona detalladamente bajo qué condiciones el rango es 1, 2 o 3.

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 tales que $|A| = 2$ y $|B| = -1$. Calcula, justificando cada paso con las propiedades de los determinantes, el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|(A^t \cdot B)^{-1}|$

1. b) $|3 \cdot A^2 \cdot Adj(B)|$

1. c) Si sabemos que una matriz $C$ verifica que $C^2 = C$ (matriz idempotente), demuestra que su determinante solo puede ser 0 o 1.

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m & 3 \\ 4 & 1 & -m \end{pmatrix}$.

1. a) Determina los valores del parámetro $m$ para los que la matriz $A$ posee inversa.

1. b) Para $m = 2$, resuelve la ecuación matricial $X \cdot A - 2 \cdot Adj(A) = |A| \cdot I$, donde $Adj(A)$ es la matriz adjunta de $A$ e $I$ es la matriz identidad.

Sugerencia: Utiliza la relación fundamental entre una matriz y su adjunta: $A \cdot (Adj(A))^t = |A| \cdot I$.

En un sistema de control de tráfico aéreo, la posición de tres drones en un instante dado viene definida por las columnas de una matriz $P$. Se sabe que para que no haya colisión, el determinante de la matriz de sus posiciones relativas no debe anularse. Dada la matriz:

$$P(k) = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$$

1. a) Calcula los valores de $k$ para los que los drones estarían en una configuración "crítica" (determinante nulo).

1. b) Para $k = 0$, comprueba si la matriz es invertible y, en caso afirmativo, halla su inversa $P^{-1}$ mediante el método de la matriz adjunta.

1. c) Demuestra que para cualquier valor de $k \neq 1$ y $k \neq -2$, se cumple que $P(k)$ es regular.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones matriciales para las matrices incógnitas $X$ e $Y$:

$$\begin{cases} 2X + Y = A \\ X - Y = B \end{cases}$$

donde las matrices de coeficientes son:

$$A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 11 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Una vez halladas $X$ e $Y$:

1. a) Calcula $|X \cdot Y|$ y $|X + Y|$.
2. b) Determina si la matriz producto $X \cdot Y$ es invertible utilizando su determinante.