Ejercicios: Función derivada

Un patinador se desplaza por una pista siguiendo una trayectoria cuya posición (en metros) viene dada por la función $s(t) = t^2 + 3t$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Calcula, utilizando la definición de derivada como un límite, la velocidad instantánea del patinador en el instante $t = 2$ segundos.

Calcula la función derivada de las siguientes funciones elementales utilizando las reglas de derivación:

1. a) $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7x - 1$

1. b) $g(x) = \frac{1}{x^3} + \sqrt{x}$

1. c) $h(x) = 3e^x - 2\cos(x)$

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 4x + 1$ en el punto de abscisa $x = 3$.

Dada la función $f(x) = x \cdot \ln(x)$, calcula su derivada $f'(x)$ aplicando la regla del producto y determina el valor de la pendiente de la curva en el punto donde $x = e$.

Se está diseñando una rampa de acceso para un skatepark. El perfil lateral de la primera sección sigue la función $f(x) = \frac{x^2+4}{x+1}$. Calcula la función derivada $f'(x)$ para conocer cómo varía la inclinación de la rampa en cualquier punto de ese tramo.

Aplica la regla de la cadena para hallar la derivada de las siguientes funciones compuestas:

1. a) $f(x) = (3x^2 - 5)^4$

1. b) $g(x) = \sin(5x + 2)$

1. c) $h(x) = e^{x^2}$

Estudia la derivabilidad de la siguiente función en el punto $x = 2$, comprobando primero si es continua en dicho punto:

Calcula la derivada de segundo orden (derivada segunda) de la función $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$. ¿Para qué valor de $x$ se anula esta derivada segunda? (Este punto es importante para el estudio de la curvatura que verás más adelante).

Calcula la función derivada de la siguiente función compuesta, simplificando el resultado tanto como sea posible:

$f(x) = \ln\left(\frac{1 + \sin(x)}{1 - \sin(x)}\right)$

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea derivable en todo su dominio, prestando especial atención al punto de unión $x = 0$:

$f(x) = \begin{cases} e^{ax} & \text{si } x \leq 0 \\ x^2 + bx + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Dada la función $f(x) = \ln(2x - 3)$, halla la expresión general para su derivada enésima $f^{(n)}(x)$ y utilízala para calcular el valor de la cuarta derivada en el punto $x = 2$.

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ en el punto donde la función corta al eje de ordenadas ($OY$).

Un dron de vigilancia sigue una trayectoria cuya altura en metros viene dada por la función $h(t) = \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 11t + 5$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($0 \leq t \leq 10$).

• a) Calcula la función velocidad $v(t)$ y la función aceleración $a(t)$.

• b) ¿En qué instantes de tiempo el dron se encuentra momentáneamente parado (velocidad igual a cero)?

Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para hallar la derivada de la siguiente función potencial-exponencial:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\cos(x)}$

Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$ en los puntos $x = 1$ y $x = 3$. Indica si en dichos puntos existen derivadas laterales y si la función es continua.

Dada la ecuación de la curva definida de forma implícita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (conocida como el Folium de Descartes), calcula el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto $( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} )$.

Se considera la función definida a trozos $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mediante la siguiente expresión:

Determina los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función sea derivable en todo su dominio. Una vez hallados, discute si la función derivada $f'(x)$ es, a su vez, continua en $x = 2$.

Haciendo uso exclusivo de la definición de derivada como un límite (cociente incremental), calcula la función derivada de $f(x) = \sqrt{2x^2 + 1}$. Posteriormente, utiliza el resultado obtenido para hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 2$.

Dada la curva definida por la ecuación implícita $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (conocida como el Folio de Descartes), se pide:

1. a) Obtener la expresión de la derivada $y'$ en función de $x$ e $y$ mediante derivación implícita.
2. b) Hallar los puntos de la curva en los que la recta tangente es horizontal.
3. c) Determinar la ecuación de la recta normal a la curva en el punto $( \frac{3}{2}, \frac{3}{2} )$.

Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para calcular la función derivada de:

Indica razonadamente el dominio de definición de la función $f(x)$ y el de su función derivada $f'(x)$. ¿Existe algún punto en el intervalo $(0, \pi/2)$ donde la pendiente de la recta tangente sea nula?

Sea la función $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$.

1. a) Descompón la función en fracciones simples.
2. b) Utilizando la descomposición anterior, halla una fórmula general para la derivada $n$-ésima, $f^{(n)}(x)$, para cualquier $n \in \mathbb{N}$.
3. c) Demuestra la validez de tu fórmula mediante el método de inducción matemática para los primeros tres órdenes de derivación.

Un dron de vigilancia sigue una trayectoria de vuelo sobre un eje rectilíneo. Su posición (en decámetros) respecto al centro de control viene dada por la función $s(t) = t^2 \cdot e^{-t/4}$, donde $t$ es el tiempo en minutos desde el despegue ($t \ge 0$).

1. a) Determina la función velocidad $v(t)$ y la función aceleración $a(t)$ del dron.
2. b) ¿En qué instante el dron cambia de sentido en su movimiento?
3. c) Calcula el momento exacto en el que la aceleración es nula. ¿Qué interpretación física tiene este punto respecto a la velocidad del dron?

Se considera la función $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Determina los coeficientes $a, b, c$ y $d$ sabiendo que se cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

1. La gráfica de $f(x)$ pasa por el origen de coordenadas.

2. La función tiene un punto de inflexión en $x = 1$.

3. La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 0$ es paralela a la recta $y = -2x + 5$.

4. El valor de la derivada segunda en $x = 0$ es $f''(0) = 6$.

La siguiente gráfica corresponde a la función derivada, $f'(x)$, de una función $f(x)$ que es continua en todo su dominio $\mathbb{R}$.

A partir de la gráfica de $f'(x)$, razona las siguientes cuestiones sobre la función original $f(x)$:

1. a) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$.
2. b) Determina las abscisas de los extremos relativos de $f(x)$ y clasifícalos en máximos o mínimos.
3. c) ¿En qué valor de $x$ presenta $f(x)$ un punto de inflexión? Justifica tu respuesta basándote en la relación entre $f''(x)$ y la pendiente de $f'(x)$.