Ejercicios: Variable aleatoria. Función de probabilidad, función de distribución y parámetros

Una app de azar genera números enteros del $1$ al $4$, todos con la misma probabilidad. Sea $X$ el número generado.

1. a) Escribe la función de probabilidad de $X$ en forma de tabla.
2. b) Calcula la media $\mu$.
3. c) Calcula la desviación típica $\sigma$, redondeando a las centésimas.

Una variable aleatoria discreta $X$ toma los valores $1$, $2$, $3$ y $4$ con esta función de probabilidad incompleta:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$p_i$	$0,15$	$k$	$0,35$	$0,25$

1. a) Calcula el valor de $k$.
2. b) Halla $P[X \ge 3]$.
3. c) Halla $P[X < 2]$.

Indica, razonadamente, cuáles de las siguientes tablas pueden ser la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta:

• Tabla 1: valores $1$, $2$, $3$ con probabilidades $0,3$; $0,4$; $0,2$.

• Tabla 2: valores $1$, $2$, $3$, $4$ con probabilidades $0,5$; $0,3$; $0,3$; $-0,1$.

• Tabla 3: valores $1$, $2$, $3$, $4$ con probabilidades $0,25$; $0,25$; $0,25$; $0,25$.

En cada caso, enuncia la condición (o condiciones) que se cumplen o se violan.

Se lanzan dos monedas y se cuenta el número de caras obtenidas, $X$.

1. a) Escribe el espacio muestral del experimento y deduce la función de probabilidad de $X$.
2. b) Calcula la media $\mu$ e interprétala.
3. c) Calcula $P[X \ge 1]$.

La función de distribución de una variable aleatoria discreta $X$ viene dada por:

$F(0) = 0,2 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = 0,8 \qquad F(3) = 1$

1. a) Calcula $P[X \le 2]$.
2. b) Calcula $P[X = 2]$.
3. c) Calcula $P[X > 1]$.

En una bolsa de un juego de mesa hay $20$ tarjetas de puntos: $6$ tarjetas con un $1$, $4$ tarjetas con un $2$ y $10$ tarjetas con un $3$. Se extrae una tarjeta al azar y se anota su puntuación $X$.

1. a) Escribe la función de probabilidad de $X$ en forma de tabla.
2. b) Calcula la media $\mu$ e interprétala: ¿qué puntuación media por carta cabe esperar a largo plazo?
3. c) Calcula la desviación típica $\sigma$, redondeando a las centésimas.

La figura muestra la función de distribución $F(x)$ de una variable aleatoria discreta $X$ que toma los valores $0$, $1$, $2$ y $3$.

1. a) Deduce de la gráfica la función de probabilidad de $X$ (los valores $p_i = P[X = x_i]$) y escríbela en forma de tabla.
2. b) Calcula $P[1 \le X < 3]$ a partir de la función de distribución.
3. c) Halla la media de $X$.

Una ruleta de una feria tiene $8$ sectores iguales con los premios que se ven en la figura: un sector de $10\ \text{€}$, dos de $5\ \text{€}$, tres de $2\ \text{€}$ y dos sin premio.

1. a) Escribe la función de probabilidad de la variable $X$ = "premio obtenido en una tirada".
2. b) Calcula el premio medio por tirada, $\mu$.
3. c) Jugar cuesta $3\ \text{€}$ la tirada. Define la variable $G$ = "ganancia neta del jugador" (premio menos lo pagado), calcula su esperanza y decide razonadamente si es aconsejable jugar.

El AMPA de un instituto organiza una rifa solidaria: vende $200$ papeletas a $2\ \text{€}$ cada una, con un premio de $100\ \text{€}$, cuatro premios de $25\ \text{€}$ y diez premios de $5\ \text{€}$.

1. a) Escribe la función de probabilidad de la variable $G$ = "ganancia neta al comprar una papeleta" (valor del premio menos los $2\ \text{€}$ que cuesta).
2. b) Calcula la esperanza de $G$.
3. c) Interpreta el signo del resultado: si la esperanza es negativa, ¿a dónde va a parar ese dinero? ¿Contradice eso el fin solidario de la rifa?

Una variable aleatoria discreta $X$ toma los valores $1$, $2$, $3$ y $4$ con probabilidades proporcionales al propio valor: $P[X = x] = k \cdot x$.

1. a) Calcula el valor de la constante $k$.
2. b) Halla la media $\mu$.
3. c) Comprueba que la varianza vale exactamente $1$ y deduce la desviación típica.

El tiempo de espera $X$ (en minutos) del autobús escolar en una parada se distribuye uniformemente entre $0$ y $10$ minutos, es decir, su función de densidad es constante: $f(x) = k$ para $x \in [0, 10]$ y $f(x) = 0$ fuera.

1. a) Calcula el valor de $k$ sabiendo que el área bajo la función de densidad debe ser $1$.
2. b) Halla la probabilidad de esperar entre $2$ y $5$ minutos.
3. c) Halla la probabilidad de esperar más de $8$ minutos y explica por qué $P[X = 8] = 0$ aunque esperar exactamente $8$ minutos no sea imposible.

El tiempo (en minutos) que tarda en arrancar un servidor tras un reinicio es una variable aleatoria continua $X$ con función de densidad $f(x) = k \cdot x$ para $x \in [0, 4]$ y $f(x) = 0$ en el resto, representada en la figura.

1. a) Calcula el valor de $k$ sabiendo que el área total bajo la función de densidad debe ser $1$.
2. b) Halla la probabilidad de que el servidor tarde menos de $2$ minutos en arrancar.
3. c) Calcula la mediana de $X$ (el valor $m$ tal que $P[X \le m] = \frac{1}{2}$) y la media $\mu$. ¿Cuál de las dos es mayor? ¿A qué crees que se debe?

Lucía estudia la variable $X$ = "número de averías semanales de una fotocopiadora", con esta distribución de probabilidad:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_i$	$0,1$	$0,3$	$0,4$	$0,2$

Ha calculado la media, $\mu = 1,7$, y después ha escrito:

«$\sigma^2 = \sum p_i \cdot x_i^2 - \mu = 3,7 - 1,7 = 2 \implies \sigma = \sqrt{2} \approx 1,41$»

1. a) Revisa su cálculo de $\sum p_i \cdot x_i^2$ y comprueba que es correcto.
2. b) Localiza el error en la fórmula que ha aplicado para la varianza y corrígelo.
3. c) Calcula la desviación típica correcta.

En una caseta de feria se juega con dos dados cúbicos: se ganan $12\ \text{€}$ si salen dobles (los dos dados iguales), $6\ \text{€}$ si la suma es $7$, y nada en cualquier otro caso.

1. a) Calcula la probabilidad de cada premio y la de no ganar nada. (Ten en cuenta que sacar dobles y sumar $7$ son sucesos incompatibles; ¿por qué?)
2. b) Halla la esperanza del premio por partida y deduce cuál debería ser el precio de la apuesta para que el juego fuera equitativo.
3. c) Si la caseta cobra $4\ \text{€}$ por partida, ¿a quién favorece el juego? ¿Cuánto espera ganar o perder un jugador que juega $100$ partidas?

Una variable aleatoria discreta $X$ toma los valores $0$, $1$, $2$ y $4$, y su función de distribución cumple:

$F(0) = 0,1 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = a \qquad F(4) = 1$

1. a) Sabiendo que la media de la distribución es $\mu = 2,2$, plantea la ecuación que permite hallar $a$ y calcula su valor.
2. b) Escribe la función de probabilidad completa de $X$.
3. c) Calcula la varianza y la desviación típica de $X$, redondeando a las centésimas.

Sea $X$ una variable aleatoria discreta con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, y sea $Y = a \cdot X + b$ una nueva variable obtenida aplicando a $X$ una transformación lineal.

1. a) Demuestra, a partir de la definición de media, que $\mu_Y = a \cdot \mu + b$.
2. b) Demuestra que $\sigma_Y = |a| \cdot \sigma$. ¿Por qué la constante $b$ no afecta a la dispersión?
3. c) Aplicación: en un examen, las notas tienen media $6,2$ y desviación típica $1,4$. El profesor decide transformar cada nota $X$ en $Y = 0,9 \cdot X + 1$. Calcula la nueva media y la nueva desviación típica.