Ejercicios: Principios de la relatividad especial

Albert Einstein publicó en 1905 la teoría especial de la relatividad a partir de dos postulados.

1. a) Enuncia con tus palabras el primer postulado, conocido como principio de relatividad.
2. b) Enuncia el segundo postulado, referido a la velocidad de la luz en el vacío.
3. c) Indica a qué tipo de sistemas de referencia se aplica la teoría especial de la relatividad.

Un faro en la costa emite una señal luminosa. La miden dos observadores: el guarda del faro, en reposo, y el patrón de un barco que se acerca al faro a $20\ \text{m/s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Según la física clásica, ¿qué valor mediría cada uno?
2. b) Según la relatividad especial, ¿qué valor mide cada uno? Justifícalo con el postulado correspondiente.

Indica cuáles de los siguientes sistemas de referencia pueden considerarse inerciales y justifica cada respuesta:

1. a) Un tren que frena al entrar en la estación.
2. b) Una sonda que se desplaza por el espacio profundo con velocidad constante.
3. c) Una centrífuga de laboratorio que gira con velocidad angular constante.
4. d) Una estación de tren en reposo respecto al suelo.

Un pasajero de un tren que circula a $30\ \text{m/s}$ lanza una pelota hacia delante a $10\ \text{m/s}$ respecto al tren.

1. a) Según la transformación de Galileo, ¿con qué velocidad ve la pelota un observador en el andén?
2. b) Escribe la regla de suma de velocidades de la física clásica que has utilizado.

Una sonda espacial que se mueve a velocidad $v$ respecto a la Tierra enciende su foco de proa. Según la física clásica, la luz de ese foco debería medirse desde la Tierra a $c + v$.

1. a) Explica por qué esta predicción contradice el segundo postulado de la relatividad especial.
2. b) ¿Qué velocidad mide realmente un observador terrestre para la luz del foco?

Los muones se crean en la alta atmósfera por la radiación cósmica y su vida media en reposo es de $2,2\ \mu\text{s}$. Si el tiempo fuera absoluto, casi ninguno llegaría a la superficie terrestre, pero los detectores en tierra los registran en gran número.

1. a) ¿Qué efecto relativista explica que tantos muones lleguen al suelo?
2. b) ¿Qué magnitud deja de ser absoluta en esa explicación?

El sistema GPS utiliza relojes atómicos instalados en satélites que orbitan a gran velocidad alrededor de la Tierra.

1. a) ¿Por qué los relojes de los satélites no pueden mantenerse sincronizados con los de tierra sin correcciones continuas?
2. b) Cita el fenómeno relativista responsable de ese desajuste.

¿Puede un cuerpo con masa alcanzar la velocidad de la luz en el vacío? Responde y justifícalo teniendo en cuenta el segundo postulado y que la energía necesaria para seguir acelerando el cuerpo crecería sin límite al acercarse su velocidad a $c$.

Una nave se aleja de la Tierra a $0,6c$, es decir, $1,8 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, y enciende un foco de proa (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). El esquema resume la situación.

1. a) ¿Qué velocidad predeciría la física clásica para la luz del foco medida desde la Tierra?
2. b) ¿Qué velocidad mide realmente un observador terrestre?
3. c) ¿Qué velocidad mediría ese mismo observador si el foco estuviera en la popa, apuntando hacia la Tierra? Justifícalo con el segundo postulado.

El experimento de Michelson y Morley (1887) pretendía medir la velocidad de la Tierra respecto al «éter», el medio en el que se suponía que se propagaba la luz, comparando la velocidad de la luz en direcciones perpendiculares. El esquema muestra el interferómetro empleado.

1. a) ¿Qué resultado obtuvieron?
2. b) ¿Por qué ese resultado es incompatible con la suma clásica de velocidades?
3. c) ¿Qué postulado de Einstein lo recoge y qué ocurrió con la hipótesis del éter?

En el Gran Colisionador de Hadrones (LHC) los protones alcanzan velocidades de $0,9999c$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la velocidad del protón en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula cuántos $\text{m/s}$ le faltan para alcanzar $c$.
3. c) El acelerador sigue suministrando energía al protón y, sin embargo, este nunca llega a $c$. Explica por qué y en qué se manifiesta esa energía extra.

En una nave en movimiento, una lámpara situada en un punto del suelo de la cabina se enciende y se apaga: dos sucesos que ocurren en el mismo lugar de la nave. La figura compara lo que ven la tripulación y un observador terrestre.

1. a) ¿Qué observador mide el intervalo de tiempo propio entre ambos sucesos: la tripulación de la nave o un observador en la Tierra? Justifícalo.
2. b) ¿Cuál de los dos observadores mide un intervalo mayor y cómo se denomina ese efecto?

Un tren muy rápido pasa frente a un andén. En el instante en que el centro del tren se alinea con un observador del andén, este ve dos destellos simultáneos emitidos desde los extremos del tren.

1. a) ¿Los verá también simultáneos una viajera sentada en el centro del tren?
2. b) Razona la respuesta teniendo en cuenta que el tren avanza hacia uno de los destellos y que la luz de ambos viaja a $c$ también para la viajera.

El avión tripulado más rápido de la historia alcanzó unos $980\ \text{m/s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el cociente entre su velocidad y la velocidad de la luz.
2. b) A la vista del resultado, explica por qué los efectos relativistas son despreciables en la vida cotidiana.
3. c) Indica a partir de qué tipo de velocidades, comparadas con $c$, empiezan a ser apreciables.

La luz se propaga en el agua a $2,25 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, menor que en el vacío ($c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) ¿Contradice este dato el segundo postulado de la relatividad? Justifica la respuesta precisando a qué se refiere exactamente el postulado.
2. b) En las piscinas de los reactores nucleares hay partículas que se mueven en el agua más rápido que $2,25 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ (aunque siempre por debajo de $c$) y emiten un resplandor azulado llamado radiación de Cherenkov. ¿Contradice esto la relatividad? Razona la diferencia con el apartado anterior.

En la física clásica el tiempo, la longitud y la masa son magnitudes absolutas: su valor no depende del observador que las mida.

1. a) De esas tres magnitudes, indica cuáles pasan a ser relativas en la teoría especial de la relatividad.
2. b) ¿Qué magnitud se mantiene invariante para todos los observadores inerciales según el segundo postulado?
3. c) Si ya no existe un tiempo universal, ¿qué ocurre con la idea de que dos sucesos lejanos ocurran «a la vez» para todo el mundo?

Los muones atmosféricos se producen a unos $10\ \text{km}$ de altura, viajan a $v = 0,998c$ y su vida media en reposo es de $2,2\ \mu\text{s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la distancia media que recorrería un muón si el tiempo fuera absoluto, es decir, usando su vida media en reposo.
2. b) Compara esa distancia con los $10\ \text{km}$ que desciende y concluye si, según la física clásica, debería detectarse en la superficie.
3. c) Nombra el efecto relativista que explica que sí se detecten y explica el razonamiento.

La paradoja de los gemelos: uno se queda en la Tierra y el otro viaja en una nave muy rápida durante unos años y regresa. El diagrama espacio-tiempo resume el viaje.

1. a) Enuncia la aparente paradoja: si el movimiento es relativo, ¿por qué parece que cada gemelo debería ver envejecer más despacio al otro?
2. b) Explica por qué la situación no es realmente simétrica: ¿qué le ocurre al gemelo viajero en los puntos de aceleración y de giro que no le ocurre al que se queda?
3. c) Concluye cuál de los dos envejece menos al reencuentro.

La composición relativista de velocidades es $u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' \cdot v}{c^2}}$, donde $u'$ es la velocidad de un objeto respecto a un móvil y $v$ la velocidad del móvil respecto a tierra. Una nave se aleja de la Tierra a $v = 0,8c$ y lanza hacia delante una sonda a $u' = 0,5c$ respecto a la nave.

1. a) Calcula la velocidad de la sonda medida desde la Tierra con la fórmula clásica de Galileo.
2. b) Calcúlala con la fórmula relativista (puedes trabajar directamente en unidades de $c$).
3. c) Comprueba que el resultado relativista es menor que $c$ y demuestra, sustituyendo $u' = c$ en la fórmula, que si la sonda se moviera a la velocidad de la luz respecto a la nave, también se mediría a $c$ desde la Tierra.

Si los relojes de los satélites GPS no se corrigieran, acumularían un desfase de unos $38\ \mu\text{s}$ al día. El posicionamiento se basa en medir el tiempo que tarda en llegar la señal de cada satélite, que viaja a $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el error en distancia que introduce un desfase de $38\ \mu\text{s}$ en la medida del tiempo de llegada.
2. b) A la vista del resultado, ¿cuánto tardaría el sistema en volverse inútil para la navegación si no se corrigiera? Justifícalo.
3. c) Explica por qué el funcionamiento del GPS se considera una comprobación cotidiana de la relatividad.

El factor de Lorentz $\gamma$ mide la intensidad de los efectos relativistas: vale $1,005$ a $0,1c$; $1,15$ a $0,5c$; $2,29$ a $0,9c$ y $7,09$ a $0,99c$. La gráfica representa $\gamma$ frente a la velocidad.

1. a) ¿A qué velocidad de las citadas supera la corrección relativista por primera vez el $5\ \%$?
2. b) Explica, a partir de estos valores, por qué la mecánica de Newton funciona tan bien en la ingeniería civil y aeronáutica.
3. c) Predice, sin usar la calculadora, si el valor de $\gamma$ a $0,999c$ será algo mayor que $7$ o mucho mayor, razonando a partir de la tendencia de los datos y de lo que debe ocurrir cuando $v$ se acerca a $c$.

Los aviones supersónicos superan la velocidad del sonido en el aire, pero ningún objeto con masa puede alcanzar ni superar la velocidad de la luz en el vacío.

1. a) ¿En qué se diferencia físicamente la barrera del sonido de la barrera de la luz? Piensa en qué medio se propaga cada señal y en qué postulado se apoya una de ellas.
2. b) Justifica, en términos de energía, por qué alcanzar $c$ es imposible para un cuerpo con masa y no se trata solo de una dificultad técnica como lo fue la barrera del sonido.

Experimento mental de Einstein: dos rayos caen en los extremos de un vagón justo cuando su centro pasa por un observador del andén, que ve los dos impactos al mismo tiempo. Una viajera está de pie en el centro del vagón. El esquema representa la situación.

1. a) Describe qué ve la viajera y explica por qué, usando que para ella la luz de ambos impactos también viaja a $c$ mientras ella avanza hacia uno de ellos.
2. b) ¿Cómo se denomina este fenómeno por el que dos sucesos simultáneos para un observador no lo son para otro?
3. c) Extrae una conclusión sobre la existencia de un «ahora» universal válido para toda la galaxia.

Un protón ($m = 1,67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$) se mueve a $0,99c$; a esa velocidad el factor de Lorentz vale $\gamma = 7,09$. La energía cinética clásica es $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ y la relativista es $E_c = (\gamma - 1) \cdot m \cdot c^2$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la energía cinética que predice la física clásica.
2. b) Calcula la que predice la relatividad especial.
3. c) Calcula el cociente entre ambas predicciones y concluye por qué la fórmula clásica de la energía cinética no es válida cerca de $c$.