Ejercicios: Las interacciones fundamentales y los aceleradores

La física actual reconoce cuatro interacciones fundamentales: la gravitatoria, la electromagnética, la nuclear débil y la nuclear fuerte.

1. a) Ordénalas de más intensa a menos intensa a escala del núcleo atómico.
2. b) ¿Cuál de ellas es, con enorme diferencia, la más débil?
3. c) ¿Cuáles de las cuatro pueden mantener a dos cuerpos ligados formando un sistema estable? Pon un ejemplo de cada caso.

Las cuatro interacciones fundamentales difieren mucho en su alcance, es decir, en la distancia a la que son apreciables.

1. a) ¿Qué dos interacciones tienen alcance infinito, decreciendo con la distancia pero sin anularse nunca del todo?
2. b) ¿Cuál actúa solo a distancias del orden del tamaño de un núcleo atómico, unos $10^{-15}\ \text{m}$?
3. c) ¿Cuál tiene el alcance más corto de todas, del orden de $10^{-18}\ \text{m}$?

Cada fenómeno de la naturaleza está gobernado por alguna de las cuatro interacciones fundamentales. Identifícala en cada caso:

1. a) Los protones y los neutrones permanecen unidos dentro del núcleo a pesar de la intensa repulsión eléctrica entre los protones.
2. b) Los electrones de un átomo se mantienen ligados al núcleo.
3. c) Un núcleo inestable emite un electrón en una desintegración beta.
4. d) La Tierra describe su órbita alrededor del Sol y los objetos caen al suelo.

En el modelo estándar, cada interacción se transmite mediante el intercambio de partículas mediadoras llamadas bosones.

1. a) ¿Qué bosón media la interacción electromagnética?
2. b) ¿Qué bosones median la interacción nuclear débil?
3. c) ¿Qué bosones transmiten la interacción fuerte entre los quarks?
4. d) ¿Qué partícula hipotética, aún no detectada, se postula como mediadora de la interacción gravitatoria?

La interacción gravitatoria y la electromagnética comparten su alcance infinito, pero difieren en aspectos esenciales.

1. a) ¿Cuál de las dos puede ser atractiva o repulsiva y cuál es siempre atractiva?
2. b) ¿Sobre qué propiedad de los cuerpos actúa cada una?
3. c) Si la electromagnética es muchísimo más intensa que la gravitatoria, ¿por qué notamos el peso que ejerce la Tierra sobre nosotros pero no ninguna fuerza eléctrica por su parte? Razona tu respuesta pensando en las cargas y en las masas de los cuerpos macroscópicos.

La interacción nuclear fuerte es la más intensa de las cuatro interacciones fundamentales y, sin embargo, nunca la percibimos directamente en la vida diaria.

1. a) ¿Cuál es su alcance aproximado?
2. b) Explica, a partir de ese dato, por qué sus efectos quedan confinados al interior de los núcleos atómicos.
3. c) ¿Qué les ocurriría a los núcleos con más de un protón si de pronto dejara de existir la interacción fuerte? ¿Qué elementos químicos podrían existir?

Para estudiar las partículas elementales, los físicos construyen aceleradores cada vez más grandes y potentes.

1. a) Explica, usando la equivalencia $E = m \cdot c^2$, por qué producir partículas muy masivas en el laboratorio exige energías de colisión enormes.
2. b) Explica, usando la relación de de Broglie $\lambda = \frac{h}{p}$, por qué «ver» estructuras cada vez más pequeñas requiere partículas-proyectil cada vez más rápidas.
3. c) ¿Qué ventaja energética tiene hacer chocar frontalmente dos haces que circulan en sentidos opuestos frente a lanzar un solo haz contra un blanco fijo?

El LHC (Gran Colisionador de Hadrones) del CERN, cerca de Ginebra, es un anillo de $27\ \text{km}$ de circunferencia excavado a unos $100\ \text{m}$ bajo tierra, entre Suiza y Francia. Observa el esquema del anillo:

1. a) ¿Qué partículas colisiona principalmente el LHC y de qué elemento químico se obtienen?
2. b) ¿Para qué sirven los miles de imanes superconductores que recubren el anillo?
3. c) Nombra el hito científico más conocido del LHC y el año en que se anunció.

Compararemos las fuerzas eléctrica y gravitatoria entre dos protones separados una distancia $r$ cualquiera. Datos: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ y $m_p = 1,673\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Escribe las expresiones de la fuerza eléctrica $F_e = K\,\frac{e^2}{r^2}$ y de la fuerza gravitatoria $F_g = G\,\frac{m_p^2}{r^2}$, y comprueba que su cociente no depende de la distancia $r$.
2. b) Calcula el valor numérico del cociente $\frac{F_e}{F_g}$ y exprésalo en notación científica.
3. c) Explica qué conclusión se extrae de ese resultado sobre el papel de la gravedad en la física de partículas.

Aunque es la más débil de las cuatro, la interacción gravitatoria domina por completo el comportamiento del universo a gran escala.

1. a) Explica por qué la interacción electromagnética, muchísimo más intensa, apenas influye en el movimiento de planetas y estrellas. Piensa en la carga eléctrica neta de los cuerpos astronómicos.
2. b) ¿Por qué la masa, a diferencia de la carga, nunca se «compensa» al sumar la de muchos cuerpos?
3. c) Ordena las cuatro interacciones según su importancia en la dinámica del sistema solar y justifica brevemente el orden elegido.

En el LHC cada protón alcanza una energía de $6,5\ \text{TeV}$ ($1\ \text{TeV} = 10^{12}\ \text{eV}$). Datos: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; la energía cinética de un mosquito en vuelo es de unos $10^{-6}\ \text{J}$.

1. a) Expresa la energía de un protón del LHC en julios.
2. b) Compárala con la energía cinética del mosquito y comenta cómo es posible que una única partícula subatómica concentre una energía de ese orden.
3. c) En cada colisión frontal se suman las energías de los dos protones, $13\ \text{TeV}$ en total. Si toda esa energía se convirtiera en masa en reposo de protones nuevos ($E_0 = 938\ \text{MeV}$ cada uno), ¿cuántos protones podrían crearse como máximo? Expresa el resultado en notación científica.

La resolución con la que un haz de partículas puede explorar una estructura viene limitada por su longitud de onda de de Broglie: solo se «ven» detalles mayores que $\lambda$. Para partículas ultrarrelativistas se cumple $\lambda \approx \frac{h \cdot c}{E}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula $\lambda$ para un protón del LHC con energía $6,5\ \text{TeV}$.
2. b) El tamaño de un protón es de unos $10^{-15}\ \text{m}$: compara con tu resultado y razona si el haz puede resolver la estructura interna del protón.
3. c) Estima, con la misma fórmula, la $\lambda$ de los electrones de un microscopio electrónico acelerados con $100\ \text{kV}$ (energía de $100\ \text{keV}$) y explica por qué ese instrumento no puede servir para estudiar quarks.

Los neutrinos solo participan en la interacción nuclear débil (y en la gravitatoria, totalmente despreciable a su escala). El alcance de la interacción débil es de apenas $10^{-18}\ \text{m}$.

1. a) Explica qué consecuencia tiene un alcance tan corto para la probabilidad de que un neutrino interactúe con un átomo al atravesar la materia.
2. b) Un reactor nuclear emite del orden de $10^{20}$ antineutrinos cada segundo, pero en un detector próximo solo se registran unos pocos al día: relaciona este hecho con las propiedades de la interacción débil.
3. c) Precisamente por esa misma razón se dice que los neutrinos son «mensajeros ideales» del interior del Sol o de una supernova lejana: explica a qué se refiere esa expresión.

En un acelerador circular, una partícula cargada obligada a curvar su trayectoria emite radiación (radiación de sincrotrón) y pierde energía. Para una misma energía, esas pérdidas son enormemente mayores cuanto menor es la masa de la partícula. Datos: $m_e = 0,511\ \text{MeV}/c^2$ y $m_p = 938\ \text{MeV}/c^2$.

1. a) Calcula cuántas veces más masivo es el protón que el electrón y razona por qué el LHC acelera protones y no electrones para alcanzar las mayores energías.
2. b) ¿Qué ventaja tendría, sin embargo, un colisionador de electrones? Piensa en la estructura interna de cada partícula.
3. c) Los aceleradores lineales reducen mucho el problema de la radiación de sincrotrón: explica por qué, pensando en la trayectoria de las partículas.

En el LHC los haces se cruzan unos $4\cdot10^{7}$ veces por segundo, pero solo una fracción minúscula de las colisiones contiene procesos realmente interesantes. El bosón de Higgs, por ejemplo, se produce aproximadamente en una de cada $10^{10}$ colisiones.

1. a) Estima cuántos bosones de Higgs se producen por segundo y cuánto tiempo se tarda, en promedio, en producir uno.
2. b) Razona por qué hicieron falta meses de toma de datos para acumular una muestra suficiente de Higgs y anunciar el descubrimiento.
3. c) Los detectores no pueden guardar todos los eventos y deben filtrarlos en tiempo real, descartando la casi totalidad: explica qué problema práctico (volumen de datos) obliga a ello.

La imagen del intercambio de bosones explica cualitativamente el alcance de cada interacción: cuanto más masivo es el bosón mediador, más corto es el alcance, pues la partícula virtual solo puede «existir» un tiempo brevísimo según el principio de incertidumbre.

1. a) El fotón no tiene masa: ¿qué alcance predice esta idea para la interacción electromagnética?
2. b) Los bosones $\text{W}$ y $\text{Z}$ tienen masas enormes, de $80\ \text{GeV}/c^2$ y $91\ \text{GeV}/c^2$: ¿qué implica eso sobre el alcance de la interacción débil?
3. c) Los gluones no tienen masa y, sin embargo, la interacción fuerte tiene alcance corto ($10^{-15}\ \text{m}$): explica a qué fenómeno, estudiado en el tema, se debe este caso especial.

En los años 1920, los experimentos de desintegración beta mostraron un resultado desconcertante: los electrones emitidos no salían todos con la misma energía, como exigiría un proceso a dos cuerpos, sino con un espectro continuo de energías. Observa la gráfica:

1. a) Explica qué principios de conservación (energía y momento lineal) parecían violarse si en la desintegración solo se emitiera el electrón.
2. b) ¿Qué hipótesis formuló Wolfgang Pauli en 1930 para salvar esos principios y qué propiedades (carga, masa, interacción con la materia) debía tener la partícula propuesta?
3. c) Esa partícula, el neutrino, no se detectó experimentalmente hasta 1956: relaciona esa tardanza de 26 años con el alcance de la interacción débil y con las propiedades que Pauli le atribuyó.

En los años 1960, Glashow, Weinberg y Salam demostraron que las interacciones electromagnética y débil son dos manifestaciones de una única interacción, la electrodébil, lo que les valió el premio Nobel.

1. a) Explica qué significa «unificar» dos interacciones y en qué régimen de energías (muy altas o cotidianas) se manifestarían como una sola.
2. b) Si los bosones $\text{W}$ y $\text{Z}$ tienen masa y el fotón no la tiene, explica por qué a las energías de la vida cotidiana las dos interacciones parecen completamente distintas en alcance e intensidad.
3. c) La interacción gravitatoria todavía no se ha podido unificar con las demás: comenta qué dificultad fundamental la separa de las otras tres (piensa en la existencia o no de una teoría cuántica de la gravedad y en la detección del gravitón).

Para mantener los protones del LHC en su órbita circular se emplean imanes dipolares superconductores. El radio magnético efectivo del anillo es $r = 2,8\ \text{km}$. Para una partícula cargada ultrarrelativista se cumple $p \approx \frac{E}{c}$ y el radio de la trayectoria en un campo magnético perpendicular es $r = \frac{p}{q \cdot B}$. Datos: $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula el momento lineal de un protón de $7\ \text{TeV}$ en $\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
2. b) Despeja el campo magnético de la expresión del radio y calcula el valor necesario para curvar esos protones en el anillo.
3. c) El campo máximo alcanzable con un electroimán convencional con núcleo de hierro es de unos $2\ \text{T}$: compara con tu resultado y justifica por qué el LHC necesita imanes superconductores refrigerados con helio líquido a $1,9\ \text{K}$.

Entre dos protones, la fuerza eléctrica es unas $1,2\cdot10^{36}$ veces mayor que la fuerza gravitatoria.

1. a) Razona si es legítimo despreciar por completo la gravedad al analizar una colisión entre partículas en un acelerador.
2. b) En el interior de una estrella, sin embargo, la gravedad comprime la materia hasta vencer la repulsión eléctrica entre los núcleos y encender la fusión: explica cómo es posible que la interacción más débil imponga su ley a escala estelar. Piensa en qué ocurre al sumar la masa de $10^{57}$ partículas frente a la compensación de sus cargas.
3. c) En el interior de un agujero negro la gravedad domina incluso sobre la interacción fuerte: comenta por qué se afirma que en esos extremos la física actual carece de una teoría completa.

El bosón de Higgs tiene una vida media de apenas $10^{-22}\ \text{s}$: se desintegra mucho antes de poder alcanzar cualquier detector. Dato: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la distancia máxima que recorrería en ese tiempo aunque viajara prácticamente a la velocidad de la luz, y concluye por qué es imposible observarlo directamente.
2. b) ¿Cómo se «detecta» entonces una partícula así? Explica el papel de los productos de su desintegración (por ejemplo, dos fotones o cuatro leptones) y de las leyes de conservación de la energía y del momento para reconstruir su masa.
3. c) La señal del Higgs era un pequeño exceso estadístico sobre un fondo enorme de eventos parecidos: razona por qué el anuncio de 2012 exigió acumular millones de colisiones y aplicar un criterio estadístico tan exigente como el de «cinco sigmas».

Los rayos cósmicos alcanzan energías muy superiores a las de cualquier acelerador: en 1991 el observatorio Fly's Eye (Utah) detectó una partícula, bautizada como «Oh-My-God», con una energía de unos $3\cdot10^{20}\ \text{eV}$. Datos: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; en el LHC cada protón lleva $6,5\ \text{TeV}$.

1. a) Expresa la energía de esa partícula en julios y comenta por qué el resultado es sorprendente para tratarse de una única partícula subatómica.
2. b) ¿Cuántas veces más energética era que un protón del LHC? Exprésalo en notación científica.
3. c) Si los rayos cósmicos son tan energéticos y llegan gratis del espacio, razona con al menos dos argumentos por qué se siguen construyendo aceleradores como el LHC (piensa en la frecuencia de llegada, en el control del punto y de las condiciones de colisión y en la posibilidad de repetir el experimento).

En un choque de un haz contra un blanco fijo, gran parte de la energía se invierte en conservar el momento lineal del sistema y no queda disponible para crear partículas nuevas. Datos: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Observa ambos montajes:

1. a) Explica, usando la conservación del momento lineal, por qué en una colisión frontal de dos haces iguales (momento lineal total nulo) toda la energía queda disponible para crear masa según $E = m \cdot c^2$.
2. b) El LHC colisiona protones de $6,5\ \text{TeV}$ contra protones de $6,5\ \text{TeV}$: ¿cuál es la energía de centro de masas de cada colisión? Exprésala en $\text{TeV}$ y en julios.
3. c) Razona qué inconvenientes prácticos tiene el modo colisionador frente al blanco fijo (piensa en la probabilidad de que dos haces diminutos choquen y en la precisión tecnológica requerida).

Redacción de síntesis: «Cuatro interacciones para un universo».

1. a) Resume en un esquema las cuatro interacciones fundamentales indicando, para cada una: bosón mediador, alcance, intensidad relativa y un fenómeno cotidiano o astronómico que gobierne.
2. b) Explica por qué los fenómenos a escala humana (la química, la luz, la electricidad, los materiales) están gobernados esencialmente por la interacción electromagnética, a pesar de que existan otras tres.
3. c) Concluye discutiendo el papel de los grandes aceleradores en la comprobación experimental de estas ideas y por qué la física de frontera (el Higgs, la antimateria, la unificación) tiene valor aunque no ofrezca aplicaciones inmediatas.