Ejercicios: Radiactividad y procesos nucleares

Los núcleos inestables emiten tres tipos de radiación: alfa ($\alpha$), beta ($\beta$) y gamma ($\gamma$).

1. a) Indica la naturaleza de cada una: ¿se trata de un núcleo de helio, de un electrón o de un fotón?
2. b) Ordénalas de menor a mayor masa.
3. c) Señala cuáles tienen carga eléctrica y de qué signo.

En un laboratorio hay tres materiales de protección: una hoja de papel, una placa de aluminio de unos milímetros de espesor y un muro grueso de plomo o de hormigón. Observa el esquema:

1. a) Asocia cada material con el tipo de radiación (alfa, beta o gamma) que basta para detener.
2. b) ¿Cuál de las tres radiaciones es la más penetrante? ¿Y la menos?
3. c) Explica por qué los técnicos que trabajan con fuentes gamma usan pantallas o delantales de plomo.

El uranio-238 se desintegra emitiendo una partícula alfa (un núcleo de helio-4, ${}^{4}_{2}\text{He}$) y se transforma en torio.

1. a) Escribe la ecuación completa del proceso, ${}^{238}_{92}\text{U} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{Th} + {}^{4}_{2}\text{He}$, calculando los valores de $A$ y de $Z$.
2. b) Enuncia las dos leyes de conservación que has aplicado: la del número másico y la del número atómico.

El carbono-14, usado en la datación de restos arqueológicos, se desintegra por emisión beta menos: un neutrón del núcleo se convierte en un protón y se emite un electrón (${}^{0}_{-1}\text{e}$).

1. a) Escribe la ecuación del proceso, ${}^{14}_{6}\text{C} \rightarrow {}^{A}_{Z}\text{N} + {}^{0}_{-1}\text{e}$, calculando $A$ y $Z$.
2. b) Explica por qué en una desintegración beta no cambia el número másico pero sí el número atómico.

La semivida de un isótopo radiactivo es el tiempo que tarda en reducirse a la mitad la cantidad de núcleos sin desintegrar. Una fuente de laboratorio contiene $100\ \text{g}$ de cierto isótopo. La figura muestra su curva de decaimiento.

1. a) ¿Cuántos gramos quedan sin desintegrar cuando ha pasado una semivida?
2. b) ¿Y cuando han pasado dos semividas? ¿Y tres?
3. c) Escribe, en función de $n$, la expresión general de la fracción que queda tras $n$ semividas.

Tras muchas desintegraciones alfa o beta, el núcleo hijo queda en un estado excitado y se desexcita emitiendo radiación gamma. Observa el esquema de niveles:

1. a) Explica qué es la radiación gamma: ¿en qué se parece a la luz visible y en qué se diferencia?
2. b) ¿Cambian el número másico $A$ o el número atómico $Z$ del núcleo cuando emite gamma? Justifica la respuesta.

La actividad de una muestra radiactiva es el número de desintegraciones que ocurren en ella cada segundo, y se mide en becquerel ($1\ \text{Bq} = 1$ desintegración por segundo).

1. a) En una muestra de laboratorio se cuentan $12000$ desintegraciones en un minuto: calcula su actividad en becquerel.
2. b) Explica qué le ocurre a la actividad de una muestra a medida que pasa el tiempo, relacionándolo con la disminución del número de núcleos.

Las dos vías para obtener energía de los núcleos son la fisión y la fusión.

1. a) Define con tus palabras en qué consiste cada una.
2. b) Pon un ejemplo de dónde ocurre cada una, de forma natural o tecnológica.
3. c) ¿Cuál de los dos procesos es la fuente de energía del Sol? Justifícalo.

El torio-232 (${}^{232}_{90}\text{Th}$) emite primero una partícula alfa (${}^{4}_{2}\text{He}$) y el núcleo resultante emite después una partícula beta menos (${}^{0}_{-1}\text{e}$). Observa el esquema de la cascada:

1. a) Escribe la ecuación de la primera desintegración e identifica el núclido hijo (es un isótopo del radio, de $Z = 88$).
2. b) Escribe la ecuación de la segunda desintegración e identifica el núclido final (es un isótopo del actinio, de $Z = 89$).
3. c) Comprueba que en cada paso se conservan el número másico y el número atómico.

El yodo-131, empleado en medicina nuclear, tiene una semivida de $8$ días. Un hospital recibe una muestra de $80\ \text{mg}$.

1. a) ¿Cuántas semividas han transcurrido al cabo de $32$ días?
2. b) Calcula la masa de yodo-131 que queda sin desintegrar a los $32$ días.
3. c) Expresa esa masa como porcentaje de la masa inicial.

El tecnecio-99m, el radiofármaco más utilizado en diagnóstico, tiene una semivida de $6\ \text{h}$. Se administra a un paciente una dosis cuya actividad inicial es de $800\ \text{MBq}$ (recuerda que el prefijo mega significa $10^{6}$).

1. a) Calcula la actividad que queda tras $6\ \text{h}$.
2. b) Calcula la actividad que queda al cabo de un día completo, $24\ \text{h}$.
3. c) Razona por qué una semivida tan corta es una ventaja para el paciente y, al mismo tiempo, un problema logístico para el hospital.

En unos restos óseos hallados cerca de las cuevas de Altamira se mide que la proporción de carbono-14 actual es la cuarta parte de la que tenían los huesos cuando el animal murió. La semivida del carbono-14 es de $5730$ años. La figura muestra la curva de decaimiento del carbono-14.

1. a) ¿Cuántas semividas han transcurrido desde la muerte del animal?
2. b) Calcula la edad de los restos.
3. c) Explica por qué el carbono-14 de un organismo deja de reponerse cuando este muere, y por qué eso permite usarlo como «reloj».

En la madera de un barco atribuido a los vikingos se mide que la concentración de carbono-14 es la octava parte de la de la madera actual. La semivida del carbono-14 es de $5730$ años.

1. a) Expresa la fracción $\frac{1}{8}$ como potencia de $\frac{1}{2}$ y deduce cuántas semividas han pasado desde que se cortó el árbol.
2. b) Calcula la edad de la madera.
3. c) Los vikingos navegaron hace unos $1000$ años: comenta si el resultado es compatible con esa época y qué conclusiones se podrían sacar sobre el barco.

Una de las reacciones de fisión posibles del uranio-235 es ${}^{235}_{92}\text{U} + {}^{1}_{0}\text{n} \rightarrow {}^{141}_{56}\text{Ba} + {}^{92}_{36}\text{Kr} + x \cdot {}^{1}_{0}\text{n}$. Observa el esquema del proceso:

1. a) Aplicando la conservación del número másico, calcula el valor de $x$.
2. b) Comprueba que también se conserva el número atómico.
3. c) Explica por qué el hecho de que se liberen varios neutrones en cada fisión hace posible una reacción en cadena.

En los reactores experimentales de fusión se emplea la reacción entre deuterio (${}^{2}_{1}\text{H}$) y tritio (${}^{3}_{1}\text{H}$): ${}^{2}_{1}\text{H} + {}^{3}_{1}\text{H} \rightarrow {}^{4}_{2}\text{He} + {}^{A}_{Z}\text{X}$. Observa el esquema:

1. a) Identifica la partícula ${}^{A}_{Z}\text{X}$ que se emite, calculando sus valores de $A$ y de $Z$.
2. b) Para que dos núcleos se fusionen deben acercarse hasta unos $10^{-15}\ \text{m}$: explica qué fuerza hay que vencer y por qué hace falta calentar el gas a más de $10^{8}\ \text{K}$.

La radiación alfa es la más ionizante de las tres y, sin embargo, la menos penetrante; la gamma es la más penetrante y la menos ionizante.

1. a) Explica qué significa que una radiación sea ionizante.
2. b) Razona por qué la radiación alfa, con su gran capacidad de ionizar, apenas atraviesa la capa externa de la piel.
3. c) El americio-241 de los detectores de humo emite alfa: explica por qué no supone peligro mientras permanece dentro de su carcasa, pero lo sería si se inhalara o se ingiriera.

Una fuente de cobalto-60 de un equipo de radioterapia tiene una semivida de $5,27$ años y una actividad inicial de $3,7 \cdot 10^{11}\ \text{Bq}$.

1. a) Expresa el $12,5\ \%$ de la actividad inicial como una potencia de $\frac{1}{2}$.
2. b) Calcula cuántas semividas deben transcurrir para que la fuente quede reducida a ese valor y el tiempo total que supone.
3. c) Calcula la actividad de la fuente en ese momento.

La actividad del carbono-14 en los organismos vivos es de unas $15$ desintegraciones por minuto y por gramo de carbono. En un tejido humano prehistórico se mide una actividad de apenas $1$ desintegración por minuto y gramo; tómala como $\frac{1}{16}$ de la inicial. La semivida del carbono-14 es de $5730$ años.

1. a) Calcula la edad del tejido.
2. b) Estima la actividad que mediríamos en una muestra de unos $60000$ años (unas $10$ semividas) y explica por qué el método del carbono-14 deja de ser fiable para edades tan grandes.

En la serie radiactiva del uranio, el núcleo de radio-226 (${}^{226}_{88}\text{Ra}$) acaba transformándose en plomo-206 (${}^{206}_{82}\text{Pb}$) emitiendo únicamente partículas alfa y beta menos. Observa el esquema:

1. a) Cada emisión alfa reduce $A$ en $4$ unidades y cada beta menos no lo modifica: calcula cuántas partículas alfa se emiten en total para pasar de $A = 226$ a $A = 206$.
2. b) Teniendo en cuenta que cada alfa reduce $Z$ en $2$ unidades y cada beta menos lo aumenta en $1$, calcula cuántas emisiones beta menos hacen falta para terminar en $Z = 82$.
3. c) Comprueba que el balance final de las dos leyes de conservación es coherente.

En el laboratorio se estudia una fuente radiactiva de isótopo desconocido: se comprueba que en $24$ días su actividad se ha reducido a la cuarta parte de la inicial.

1. a) Expresa la fracción que queda como potencia de $\frac{1}{2}$ y deduce cuántas semividas han transcurrido.
2. b) Calcula la semivida del isótopo.
3. c) Predice qué fracción de la actividad inicial quedará tras otros $24$ días más, y compruébalo con el cálculo.

En cada fisión de un núcleo de uranio-235 se liberan unos $200\ \text{MeV}$. Datos: $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ y masa molar del uranio-235: $235\ \text{g/mol}$.

1. a) Expresa la energía liberada en una sola fisión en julios.
2. b) Calcula cuántos núcleos hay en $1\ \text{kg}$ de uranio-235.
3. c) Calcula la energía total liberada al fisionarse por completo ese kilogramo y compárala con la gasolina, que libera unos $4,6 \cdot 10^{7}\ \text{J/kg}$: ¿cuántos kilogramos de gasolina harían falta para igualarla?

En el Sol, el balance neto de la cadena protón-protón es la unión de cuatro protones para formar un núcleo de helio-4, con un defecto de masa de $\Delta m = 0,0287\ \text{u}$ por cada helio formado. Datos: $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$, $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$ y potencia radiada por el Sol: $P = 3,8 \cdot 10^{26}\ \text{W}$.

1. a) Calcula la energía liberada al formarse cada núcleo de helio, primero en $\text{MeV}$ y después en julios.
2. b) Calcula cuántos núcleos de helio se forman cada segundo en el interior del Sol para sostener esa potencia.
3. c) Razona, sabiendo que la masa del Sol es de unos $2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$, por qué puede llevar brillando así miles de millones de años.

Un aficionado a la paleontología propone datar con carbono-14 un fémur de dinosaurio de $66$ millones de años de antigüedad. La semivida del carbono-14 es de $5730$ años y la del potasio-40, de $1,25 \cdot 10^{9}$ años.

1. a) Calcula a cuántas semividas del carbono-14 corresponden esos $66$ millones de años.
2. b) Estima qué fracción de carbono-14 quedaría en el hueso y explica por qué el método resulta inútil en este caso.
3. c) Razona qué condición debe cumplir la semivida de un isótopo para que sirva para datar una muestra de una edad dada, y justifica por qué para rocas de millones de años se usan isótopos de semivida larga como el potasio-40.

En la desintegración alfa del radio-226 en radón-222 se libera energía porque la masa del radio es mayor que la suma de las masas de los productos. Datos: $m(\text{Ra}) = 226,0254\ \text{u}$, $m(\text{Rn}) = 222,0176\ \text{u}$, $m_{\alpha} = 4,0026\ \text{u}$ y $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Calcula el defecto de masa del proceso, en unidades u.
2. b) Calcula la energía liberada en cada desintegración, en $\text{MeV}$.
3. c) Explica en qué se invierte esa energía y razona por qué prácticamente toda aparece como energía cinética de la partícula alfa.