Ejercicios: Dualidad onda-corpúsculo: De Broglie y efecto fotoeléctrico

La luz produce figuras de interferencia y de difracción, como cualquier onda, pero al chocar contra un metal arranca electrones como si fuera un chorro de partículas (los fotones).

1. a) Explica con tus palabras en qué consiste la dualidad onda-corpúsculo de la luz.
2. b) Cita un fenómeno que solo se explique con el comportamiento ondulatorio y otro que solo se explique con el comportamiento corpuscular.
3. c) En $1924$, De Broglie extendió la idea a la materia: ¿qué hipótesis lanzó sobre los electrones y demás partículas?

Un láser dermatológico emite luz de frecuencia $f = 4,5\cdot10^{14}\ \text{Hz}$. La energía de un fotón es $E_{fotón} = h\cdot f$, con $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la energía de cada fotón.
2. b) Si aumentamos la intensidad del láser sin cambiar su frecuencia, ¿aumenta la energía de cada fotón? ¿Qué es lo que aumenta en realidad?

Un puntero láser emite luz verde de longitud de onda $\lambda = 550\ \text{nm}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula su frecuencia, $f = \frac{c}{\lambda}$.
2. b) Calcula la energía de cada fotón, $E_{fotón} = h\cdot f$.

En el laboratorio, una placa de zinc cargada negativamente se conecta a un electroscopio. Al iluminarla con luz ultravioleta, el electroscopio se descarga; con luz roja muy intensa, no. La figura muestra el montaje.

1. a) ¿Qué es el efecto fotoeléctrico?
2. b) ¿Qué son los fotoelectrones?
3. c) Explica, con la idea de que la luz llega en fotones, por qué la luz roja no descarga la placa por muy intensa que sea.

Las farolas de vapor de sodio emiten luz de $\lambda_{Na} = 589\ \text{nm}$ y un LED azul emite a $\lambda_{az} = 470\ \text{nm}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$. La figura compara las dos ondas.

1. a) Calcula la energía de un fotón de cada luz.
2. b) ¿Cuál de los dos fotones es más energético? ¿Cuántas veces más?

Toda partícula tiene asociada una longitud de onda de De Broglie, $\lambda = \frac{h}{m\cdot v}$, con $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. Una pelota de tenis de $58\ \text{g}$ sale de un saque a $40\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula su longitud de onda de De Broglie.
2. b) Compara el resultado con el tamaño de un átomo ($10^{-10}\ \text{m}$) y explica por qué esta onda no tiene ninguna consecuencia observable.

En un tubo de rayos catódicos, los electrones se mueven a $v = 10^{6}\ \text{m/s}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y masa del electrón $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la longitud de onda de De Broglie asociada a cada electrón, $\lambda = \frac{h}{m_e\cdot v}$.
2. b) Compara el resultado con el tamaño típico de un átomo ($10^{-10}\ \text{m}$) y comenta por qué la onda asociada al electrón sí es relevante en el mundo atómico.

En el efecto fotoeléctrico, cada metal tiene una función trabajo $W$ (también llamada trabajo de extracción) y una frecuencia umbral $f_0$ que cumplen $W = h\cdot f_0$.

1. a) Explica qué significa la función trabajo: ¿qué energía representa?
2. b) ¿Qué es la frecuencia umbral y qué ocurre cuando la luz incidente tiene $f < f_0$?
3. c) Si $f > f_0$, ¿en qué se convierte la energía del fotón que sobra tras extraer el electrón?

Un láser de fibra óptica para telecomunicaciones emite a $\lambda = 1,55\ \mu\text{m}$ con una potencia de $10\ \text{mW}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la energía de cada fotón.
2. b) Calcula cuántos fotones emite el láser cada segundo (recuerda que la potencia es la energía emitida por unidad de tiempo).

Una fotocélula de potasio tiene una función trabajo $W = 2,3\ \text{eV}$ y se ilumina con luz ultravioleta de $\lambda = 250\ \text{nm}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. La figura muestra el esquema del proceso.

1. a) Expresa la función trabajo en julios.
2. b) Calcula la energía de cada fotón de la luz ultravioleta.
3. c) Aplica $E_{fotón} = W + E_{c,máx}$ y calcula la energía cinética máxima de los fotoelectrones, en julios y en electronvoltios.

El detector de luz de un telescopio usa una célula de cesio, cuya función trabajo es $W = 2,1\ \text{eV}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula la frecuencia umbral del cesio, $f_0 = \frac{W}{h}$.
2. b) Calcula la longitud de onda umbral, $\lambda_0 = \frac{c}{f_0}$.
3. c) ¿Arrancará electrones una luz roja de $\lambda = 650\ \text{nm}$? Calcúlalo comparando energías y razona la respuesta.

Sobre una placa de calcio, de función trabajo $W = 2,9\ \text{eV}$, incide luz de $\lambda = 350\ \text{nm}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula la energía del fotón en julios y exprésala en electronvoltios.
2. b) Decide si se produce emisión de fotoelectrones.
3. c) En caso afirmativo, calcula la energía cinética máxima de los electrones emitidos.

En un experimento de microscopía electrónica, un electrón lleva una energía cinética de $100\ \text{eV}$. Datos: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ y $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Expresa su energía cinética en julios.
2. b) Calcula su velocidad a partir de $E_c = \frac{1}{2}\cdot m_e\cdot v^2$.
3. c) Calcula su longitud de onda de De Broglie.

En un acelerador, un electrón y un protón se mueven con la misma velocidad, $v = 10^{5}\ \text{m/s}$. Datos: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ y $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la longitud de onda de De Broglie del electrón.
2. b) Calcula la del protón.
3. c) Calcula el cociente $\frac{\lambda_e}{\lambda_p}$ y explica, a partir de la fórmula de De Broglie, por qué a igual velocidad la partícula más masiva tiene menor longitud de onda asociada.

El panel solar de un satélite recibe $200\ \text{W}$ de potencia luminosa del Sol. Como simplificación, supón que toda la luz tiene $\lambda = 550\ \text{nm}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la energía de cada fotón.
2. b) Calcula cuántos fotones llegan al panel cada segundo.
3. c) Si con la misma potencia la luz fuera más roja (mayor $\lambda$), ¿llegarían más o menos fotones por segundo? Razona la respuesta con la fórmula $E_{fotón} = \frac{h\cdot c}{\lambda}$.

Para cierto experimento de difracción se necesita que los electrones tengan una longitud de onda de De Broglie de $1\ \text{nm}$. Datos: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Despeja la velocidad de $\lambda = \frac{h}{m_e\cdot v}$ y calcula a qué velocidad deben moverse.
2. b) Calcula la energía cinética que llevan, en julios y en electronvoltios.

Un metal de función trabajo $W = 2,25\ \text{eV}$ se ilumina con luz de $\lambda = 300\ \text{nm}$. Los fotoelectrones se frenan con una diferencia de potencial hasta que ni el más rápido llega al colector (potencial de frenado $V_f$, con $E_{c,máx} = e\cdot V_f$). Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. La figura muestra el montaje con el potencial de frenado.

1. a) Calcula la energía del fotón y la energía cinética máxima de los fotoelectrones, en electronvoltios.
2. b) Calcula el potencial de frenado.
3. c) Repite el cálculo con luz de $\lambda = 250\ \text{nm}$: ¿cómo cambian la energía cinética máxima y el potencial de frenado?
4. d) Explica por qué duplicar la intensidad de la luz, sin cambiar su longitud de onda, no cambia el potencial de frenado, aunque sí aumenta el número de fotoelectrones.

Un grupo de laboratorio mide el efecto fotoeléctrico en un metal y obtiene dos datos: con luz de frecuencia $f_1 = 6,0\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ no hay emisión en absoluto (es la frecuencia umbral) y con $f_2 = 1,0\cdot10^{15}\ \text{Hz}$ los fotoelectrones salen con $E_{c,máx} = 2,65\cdot10^{-19}\ \text{J}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$. La figura muestra los dos datos del experimento.

1. a) Calcula la función trabajo del metal a partir de $W = h\cdot f_1$ y exprésala en electronvoltios.
2. b) Representa mentalmente $E_{c,máx}$ frente a $f$: usando $E_{c,máx} = h\cdot f - W$, calcula la pendiente de la recta con los dos puntos y comprueba que coincide con el valor de $h$.
3. c) Predice, sin volver a medir, la energía cinética máxima para luz de $f = 1,2\cdot10^{15}\ \text{Hz}$.
4. d) Explica qué magnitud representa el punto de corte de la recta con el eje vertical y por qué es negativo.

Una placa de zinc, de función trabajo $W = 4,3\ \text{eV}$, se ilumina por turnos con luz roja de $650\ \text{nm}$ y con luz ultravioleta de $250\ \text{nm}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula la energía de cada tipo de fotón y decide, justificándolo, qué luz produce emisión.
2. b) Para la luz que sí emite, calcula la energía cinética máxima de los fotoelectrones y el potencial de frenado correspondiente.
3. c) Si multiplicamos por mil la intensidad de la luz roja, ¿conseguiremos arrancar electrones del zinc? Explica la respuesta con el modelo del fotón: ¿en qué se diferencian mil fotones rojos de uno ultravioleta?
4. d) Si aumentamos la intensidad de la luz ultravioleta, ¿qué cambia y qué no cambia en la emisión?

Una célula de cesio, de función trabajo $W = 2,1\ \text{eV}$, se ilumina con luz de $\lambda = 400\ \text{nm}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calcula la energía cinética máxima de los fotoelectrones, en julios.
2. b) Calcula la velocidad de esos electrones más rápidos.
3. c) Calcula la longitud de onda de De Broglie asociada a esos electrones.
4. d) Los planos atómicos de un cristal están separados unos $10^{-10}\ \text{m}$: razona si ese cristal podría actuar como red de difracción para estos electrones y qué evidencia aportaría ese experimento.

En un microscopio electrónico de transmisión, los electrones se aceleran con una diferencia de potencial $V = 10\ \text{kV}$, de modo que ganan una energía cinética $E_c = e\cdot V$ (desprecia las correcciones relativistas). Datos: $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ y $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la energía cinética que adquiere cada electrón, en julios.
2. b) Calcula su velocidad.
3. c) Calcula su longitud de onda de De Broglie.
4. d) El poder de resolución de un microscopio mejora cuanto menor es la longitud de onda empleada: compara la longitud de onda obtenida con la de la luz visible ($\lambda \approx 500\ \text{nm}$) y explica por qué el microscopio electrónico puede ver virus y el óptico no.

Una célula fotovoltaica recibe $5\ \text{mW}$ de luz de $\lambda = 600\ \text{nm}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ y $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calcula cuántos fotones llegan a la célula cada segundo.
2. b) Suponiendo que cada fotón libera un electrón que llega al circuito externo, calcula la corriente máxima teórica (la corriente es la carga que pasa por segundo).
3. c) En la práctica la corriente es menor: da dos razones que expliquen la diferencia.
4. d) Si la célula recibiera la misma potencia pero de luz de $\lambda = 400\ \text{nm}$, ¿la corriente máxima teórica sería mayor, menor o igual? Razona la respuesta contando fotones.

Una pelota de tenis de $58\ \text{g}$ sale de un saque a $40\ \text{m/s}$; en un acelerador, un electrón se mueve a $10^{6}\ \text{m/s}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la longitud de onda de De Broglie de la pelota y la del electrón.
2. b) Para observar difracción, la abertura debe ser comparable a la longitud de onda: indica qué tamaño de rendija haría falta en cada caso.
3. c) Los planos de un cristal están separados unos $10^{-10}\ \text{m}$: razona cuál de los dos objetos puede difractarse en un cristal.
4. d) Concluye por qué los objetos macroscópicos no muestran nunca efectos ondulatorios, apoyándote en los números anteriores.

En un experimento de doble rendija con electrones, estos se mueven a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, las rendijas están separadas $d = 0,5\ \mu\text{m}$ y la pantalla está a $L = 1\ \text{m}$. La separación entre máximos consecutivos de la figura es $\Delta y = \frac{\lambda\cdot L}{d}$. Datos: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ y $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. La figura muestra el montaje de la doble rendija.

1. a) Calcula la longitud de onda de De Broglie de los electrones.
2. b) Calcula la separación entre máximos en la pantalla y exprésala en milímetros.
3. c) Si los electrones se envían de uno en uno, con el tiempo se forma igualmente la figura de interferencias: explica qué significa este resultado sobre la dualidad onda-corpúsculo y sobre el carácter probabilístico de la física cuántica.
4. d) Predice qué le ocurre a la separación entre máximos si los electrones se aceleran al doble de velocidad.