Ejercicios: Tratamiento vectorial: cargas libres en campos

Una carga de prueba $q = 2\,\mu\text{C}$, colocada en un punto de un dispositivo del laboratorio, experimenta una fuerza eléctrica de $0,06\ \text{N}$. La situación se representa en la figura.

1. a) Calcula la intensidad del campo eléctrico en ese punto, $E = \frac{F}{q}$, e indica su unidad en el Sistema Internacional.
2. b) Siendo la carga positiva, ¿qué relación guardan la dirección y el sentido de $\vec{E}$ con los de la fuerza $\vec{F}$?

Para medir el campo eléctrico en un punto se utiliza una carga de prueba.

1. a) Explica qué es una carga de prueba y por qué conviene que su valor sea pequeño, de modo que no perturbe a las cargas que crean el campo.
2. b) Escribe la expresión del campo que crea una carga puntual $Q$ a una distancia $r$ y razona, a partir de ella, por qué el campo no depende de la carga de prueba que se use para medirlo.

Una pequeña esfera cargada con $Q = 5\,\mu\text{C}$ crea un campo eléctrico a su alrededor (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observa el esquema:

1. a) Calcula el módulo del campo a $0,3\ \text{m}$ de la esfera.
2. b) Indica la dirección y el sentido del campo en ese punto, razonándolo a partir del signo de la carga.

A partir de la definición $E = \frac{F}{q}$, indica cuáles de estas expresiones son unidades válidas para la intensidad del campo eléctrico y razona cada respuesta:

1. a) $\text{N/C}$
2. b) $\text{N}\cdot\text{C}$
3. c) $\text{V/m}$ (ten en cuenta que $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$)
4. d) $\text{J/C}$

Entre las placas de un condensador hay un campo eléctrico uniforme $\vec{E} = 3\cdot10^{4}\,\vec{j}\ \text{N/C}$. En su interior se coloca una partícula con carga $q = -4\,\mu\text{C}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el vector fuerza eléctrica sobre la partícula, $\vec{F} = q \cdot \vec{E}$, expresándolo con el vector unitario correspondiente.
2. b) Razona por qué, al ser la carga negativa, la fuerza tiene sentido contrario al campo.

Una sonda espacial acumula, por el bombardeo de partículas solares, una carga neta de $2\ \text{nC}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Supón la sonda aproximadamente puntual.

1. a) Calcula el módulo del campo eléctrico que crea a $10\ \text{cm}$ de su superficie (expresa la distancia en metros).
2. b) Calcula también el campo a $1\ \text{m}$ y comprueba en qué factor se ha reducido al multiplicar la distancia por diez.

Dibuja en tu cuaderno las líneas del campo eléctrico creado por una carga puntual positiva y, aparte, las de una carga puntual negativa.

1. a) ¿Qué indica el sentido de las flechas de las líneas? Relaciónalo con la fuerza que sufriría una carga de prueba positiva.
2. b) ¿Dónde es más intenso el campo, según tu dibujo? Relaciónalo con la expresión $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$.

El campo creado por una carga puntual vale $E$ a una distancia $r$.

1. a) Razona, usando la expresión $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$, qué valor tendrá el campo a una distancia $2 \cdot r$ y a una distancia $\frac{r}{3}$.
2. b) Si a $0,5\ \text{m}$ de cierta carga el campo vale $7200\ \text{N/C}$, calcula su valor a $1\ \text{m}$ sin necesidad de usar la constante $K$.

Un sensor mide un campo eléctrico de $4500\ \text{N/C}$ a $2\ \text{m}$ de una esfera metálica cargada del laboratorio; el campo apunta hacia la esfera (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La situación se representa en la figura.

1. a) Despeja la carga de la expresión $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ y calcula su valor absoluto.
2. b) Razona, a partir del sentido del campo medido, cuál es el signo de la carga de la esfera.

En un tubo de rayos catódicos, un electrón atraviesa una región con campo eléctrico uniforme $E = 1000\ \text{N/C}$ (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$).

1. a) Calcula la fuerza eléctrica sobre el electrón.
2. b) Calcula su aceleración aplicando la segunda ley de Newton, $a = \frac{F}{m_e}$.

Una carga puntual $Q = 4\ \text{nC}$ está en el origen de coordenadas (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observa el esquema:

1. a) Calcula el módulo del campo eléctrico en el punto $P(3, 4)$, con las coordenadas en metros.
2. b) El vector unitario radial en ese punto es $\vec{u}_r = \frac{3}{5}\,\vec{i} + \frac{4}{5}\,\vec{j}$. Escribe el vector $\vec{E}$ en función de $\vec{i}$ y $\vec{j}$.

Dos cargas puntuales $q_1 = 3\,\mu\text{C}$ y $q_2 = -2\,\mu\text{C}$ están sobre el eje $x$, en $x_1 = 0$ y $x_2 = 1\ \text{m}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La figura muestra la disposición de las cargas.

1. a) Calcula el campo (módulo y sentido) que crea cada carga en el punto $x = 3\ \text{m}$.
2. b) Aplica el principio de superposición y calcula el campo total en ese punto, indicando su dirección y su sentido.

Dos cargas idénticas $q = 5\ \text{nC}$ están separadas $40\ \text{cm}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Razona, dibujando los vectores en tu cuaderno, cuánto vale el campo total en el punto medio del segmento que une las cargas.
2. b) Calcula el campo total (módulo, dirección y sentido) en un punto del segmento situado a $10\ \text{cm}$ de una de las cargas.

Una carga $Q = 8\ \text{nC}$ está fija en un soporte aislante del laboratorio (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) a $25\ \text{cm}$ de la carga.
2. b) Calcula la fuerza (módulo, dirección y sentido) que sufriría una carga $q_0 = 3\,\mu\text{C}$ colocada en ese punto, usando $\vec{F} = q_0 \cdot \vec{E}$.

El manual de un instrumento de diagnóstico médico exige que el campo eléctrico en su posición no supere los $500\ \text{N/C}$. En la misma sala funciona un equipo que acumula una carga puntual de $2\ \text{nC}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Despeja la distancia de la expresión $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ y calcula a qué distancia mínima del equipo debe instalarse el instrumento.
2. b) Si finalmente se instala al doble de esa distancia, ¿en qué factor se reduce el campo? Razona la respuesta.

Un protón está entre las placas de un condensador, donde el campo eléctrico es uniforme y vale $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del protón $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula la fuerza eléctrica sobre el protón.
2. b) Calcula su peso.
3. c) Calcula el cociente entre ambas magnitudes y extrae una conclusión: en física de partículas, ¿se puede despreciar la gravedad frente a la fuerza eléctrica?

Dos cargas puntuales $q_1 = 4\,\mu\text{C}$ y $q_2 = -4\,\mu\text{C}$ ocupan, respectivamente, el origen de coordenadas y el punto $(0, 3)$, con las coordenadas en metros (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Se quiere hallar el campo en el punto $P(4, 0)$. Observa el esquema:

1. a) Calcula el vector $\vec{E}_1$ que crea $q_1$ en $P$.
2. b) Calcula el módulo del campo que crea $q_2$ en $P$ y, teniendo en cuenta que ese campo apunta desde $P$ hacia la carga negativa (vector unitario $-\frac{4}{5}\,\vec{i} + \frac{3}{5}\,\vec{j}$), escribe el vector $\vec{E}_2$.
3. c) Aplica el principio de superposición: calcula el vector campo total en $P$ y su módulo.

Dos cargas puntuales $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ y $q_2 = 4\,\mu\text{C}$ están sobre el eje $x$, en $x_1 = 0$ y $x_2 = 3\ \text{m}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La figura muestra las tres regiones del eje.

1. a) Razona, analizando el sentido del campo de cada carga, en cuál de las tres regiones del eje (a la izquierda de $q_1$, entre las cargas o a la derecha de $q_2$) puede anularse el campo total.
2. b) Plantea la condición de campo nulo en esa región y calcula el punto exacto.
3. c) Comprueba el resultado verificando que en ese punto los dos campos tienen el mismo módulo.

En una impresora de inyección, las gotas de tinta cargadas se desvían con un campo eléctrico. Para estudiar el principio, considera un electrón que entra con velocidad horizontal $v_0 = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ en una región de longitud $L = 10\ \text{cm}$ donde hay un campo vertical uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$, perpendicular a su velocidad (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). El esquema muestra el montaje.

1. a) Calcula la aceleración del electrón en la región del campo e indica su dirección y su sentido.
2. b) Calcula el tiempo que tarda en cruzar la región.
3. c) Suponiendo el movimiento horizontal uniforme y el vertical uniformemente acelerado (como en el tiro parabólico), calcula la desviación vertical a la salida, $y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.
4. d) Razona qué forma tiene la trayectoria dentro del campo y qué tipo de movimiento lleva el electrón después de salir de él.

Dos cargas puntuales $q_1 = q$ y $q_2 = -2 \cdot q$, con $q > 0$, están sobre el eje $x$, en $x_1 = 0$ y $x_2 = 3\ \text{m}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Predice, justificándolo con el sentido de los campos y con el valor absoluto de las cargas, en qué región del eje puede anularse el campo total: ¿entre las cargas o fuera del segmento?, ¿y de qué lado?
2. b) Plantea la ecuación de campo nulo y resuélvela, obteniendo el punto exacto.
3. c) Explica por qué el resultado no depende del valor de $q$.

Tres cargas idénticas $q = 2\ \text{nC}$ ocupan los vértices de un triángulo equilátero de lado $30\ \text{cm}$ (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observa el esquema:

1. a) Justifica, por simetría (los tres vectores campo en el centro forman entre sí ángulos de $120^\circ$), que el campo total en el centro del triángulo es nulo.
2. b) Se retira una de las cargas. Teniendo en cuenta que el campo de las tres era nulo, razona que el campo de las dos restantes es justo el opuesto del que creaba la carga retirada, y calcula su módulo (la distancia de cada vértice al centro es $\frac{0,3}{\sqrt{3}}\ \text{m}$).
3. c) Indica la dirección y el sentido del campo resultante respecto al vértice que ha quedado vacío.

Dos cargas idénticas $q = 5\,\mu\text{C}$ ocupan dos vértices contiguos, $A(0, 20)$ y $B(20, 20)$, de un cuadrado de lado $20\ \text{cm}$, con las coordenadas en centímetros (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\cos 45^\circ \approx 0,71$). Se estudia el vértice $D(0, 0)$. La figura muestra la disposición.

1. a) Calcula el campo (módulo, dirección y sentido) que crea en $D$ la carga situada en $A$.
2. b) Calcula el módulo del campo que crea en $D$ la carga situada en $B$ (ten en cuenta que la distancia es la diagonal del cuadrado) y descompónlo en sus componentes.
3. c) Suma los vectores y calcula el módulo del campo total en $D$.
4. d) Calcula el módulo de la fuerza que sufriría una carga $Q = -2\,\mu\text{C}$ colocada en $D$.

Tu compañero calcula el campo eléctrico en el punto medio del segmento que une una carga $q_1 = 6\,\mu\text{C}$ con otra $q_2 = -6\,\mu\text{C}$, separadas $20\ \text{cm}$, y escribe: «el campo es cero, porque las cargas son opuestas y se cancelan» (toma $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Explica el error: dibuja en tu cuaderno los vectores $\vec{E}_1$ y $\vec{E}_2$ en el punto medio y razona qué sentido tiene cada uno.
2. b) Calcula el campo correcto (módulo, dirección y sentido) en ese punto.
3. c) ¿Para qué par de cargas del mismo valor absoluto sería correcto el resultado de tu compañero? Justifícalo.

En una cámara de un acelerador lineal de partículas hay un campo eléctrico vertical uniforme $E = 5\cdot10^{3}\ \text{N/C}$. Entran en ella, por separado y con la misma velocidad horizontal, un protón y un electrón (datos: carga elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del electrón $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; masa del protón $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Compara los módulos de las fuerzas eléctricas sobre ambas partículas y razona por qué son iguales.
2. b) Calcula la aceleración de cada una.
3. c) Calcula el cociente $\frac{a_e}{a_p}$ y relaciónalo con el cociente de masas $\frac{m_p}{m_e}$.
4. d) Predice y justifica: ¿se desvían las dos partículas hacia el mismo lado? En el mismo tiempo de vuelo, ¿cuál se desvía más y cuántas veces más?