Ejercicios: Efectos cinemáticos y dinámicos sobre objetos en el campo

Un astronauta de $70\ \text{kg}$ está sobre la superficie de la Luna, donde el campo gravitatorio vale $g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula su peso en la Luna.
2. b) Calcula su peso en la Tierra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) ¿Cuántas veces menos pesa en la Luna? ¿Ha cambiado su masa? Razona la diferencia entre masa y peso.

La cima del Everest está a $8848\ \text{m}$ sobre el nivel del mar.

1. a) Calcula el campo gravitatorio en la cima aplicando $g = G\cdot\frac{M_T}{(R_T + h)^2}$ y suponiendo la Tierra esférica ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Compara el resultado con $9,8\ \text{m/s}^2$: apenas cambia. Explica a qué se debe.

Un satélite de $500\ \text{kg}$ orbita en una región donde el campo gravitatorio terrestre vale $g = 8,7\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre él.
2. b) Indica la dirección y el sentido de esa fuerza.
3. c) Según la ley de acción y reacción, ¿qué fuerza ejerce el satélite sobre la Tierra?

Una persona está de pie sobre una báscula dentro de un ascensor.

1. a) Con el ascensor en reposo, la báscula marca $700\ \text{N}$: ¿cuánto vale el peso de la persona?
2. b) El ascensor arranca y acelera hacia arriba: razona si la báscula marcará más, menos o lo mismo, ayudándote de un dibujo de fuerzas en tu cuaderno.
3. c) ¿Y si el ascensor baja frenando, es decir, acelerando también hacia arriba? Justifica la respuesta.

En los vídeos de la Estación Espacial Internacional los astronautas «flotan». Sin embargo, a los $400\ \text{km}$ de altura a los que orbitan, el campo gravitatorio terrestre vale unos $8,7\ \text{m/s}^2$, casi como en la superficie.

1. a) Explica por qué se dice que los astronautas y la estación están en «caída libre» permanente alrededor de la Tierra.
2. b) Razona por qué, en esas condiciones, el peso aparente dentro de la estación es nulo aunque el peso real no lo sea.

El vehículo explorador Perseverance, de $1025\ \text{kg}$, trabaja sobre la superficie de Marte, donde $g_M = 3,71\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula su peso en Marte.
2. b) Calcula cuánto pesaba en la Tierra antes del lanzamiento ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) Razona por qué un vehículo así puede llevar ruedas y suspensiones más ligeras en Marte que en la Tierra.

Una báscula de precisión indica que el peso de un instrumento de laboratorio es de $588\ \text{N}$ en un lugar donde $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula la masa del instrumento.
2. b) Si el instrumento se llevara a la Luna ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$), ¿cuál sería su masa? ¿Y su peso?
3. c) Explica qué magnitud no cambia al cambiar de planeta y por qué.

El telescopio espacial Hubble orbita a unos $540\ \text{km}$ de altura.

1. a) Usando la expresión $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$, con $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$ y $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, calcula el campo gravitatorio a esa altura.
2. b) Expresa el resultado como porcentaje del valor en la superficie.

Una persona de $60\ \text{kg}$ se pesa con una báscula dentro de un ascensor ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) El ascensor sube con aceleración constante de $2,0\ \text{m/s}^2$: dibuja las fuerzas en tu cuaderno, aplica $\sum \vec{F} = m\cdot\vec{a}$ y calcula lo que marca la báscula (la fuerza normal).
2. b) Repite el cálculo cuando el ascensor baja con aceleración de $2,0\ \text{m/s}^2$.
3. c) ¿En qué caso se siente la persona más pesada? ¿Coincide con lo que notas en los viajes en ascensor?

El Observatorio del Teide está a $3718\ \text{m}$ de altitud.

1. a) Calcula $g$ a esa altura con $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$ ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcula la diferencia con el valor a nivel del mar.
3. c) Exprésala en tanto por ciento y comenta si un instrumento de medida corriente la apreciaría.

La Estación Espacial Internacional orbita a $400\ \text{km}$ sobre la superficie terrestre.

1. a) Calcula el campo gravitatorio terrestre a esa altura ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcula la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre un astronauta de $75\ \text{kg}$ dentro de la estación.
3. c) Si la Tierra tira de él con esa fuerza, ¿por qué el astronauta flota dentro de la estación? Da una explicación detallada usando los conceptos de caída libre y peso aparente.

Una persona de $70\ \text{kg}$ está de pie sobre una báscula en un ascensor ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) El cable se rompe y el ascensor cae con aceleración $g$: calcula lo que marca la báscula y explica el resultado.
2. b) En una avería menos grave, el ascensor baja con una aceleración de $2,0\ \text{m/s}^2$: calcula la lectura de la báscula.
3. c) Razona si sería posible que la báscula marcase un valor negativo durante un descenso y qué condición tendría que cumplirse.

Los aviones de vuelos parabólicos se emplean para entrenar astronautas y ensayar experimentos médicos en ingravidez. El esquema muestra un perfil de vuelo de este tipo:

1. a) Explica cómo debe moverse el avión durante la parábola para que los pasajeros tengan peso aparente nulo: ¿cuánto debe valer su aceleración?
2. b) ¿Cuánto vale el peso aparente de una investigadora de $65\ \text{kg}$ durante la fase de ingravidez? ¿Y su peso real ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) ¿Por qué crees que la medicina espacial utiliza estos vuelos antes de enviar sus experimentos a la Estación Espacial?

Los satélites del sistema GPS orbitan a una distancia de $2,66\cdot10^{7}\ \text{m}$ del centro de la Tierra.

1. a) Calcula el campo gravitatorio terrestre en su órbita ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) Calcula la fuerza gravitatoria sobre un satélite GPS de $1000\ \text{kg}$.
3. c) Compara esa fuerza con el peso del mismo satélite en la superficie ($g = 9,81\ \text{m/s}^2$): ¿cuántas veces menor es?

El módulo de mando del Apolo 11 permaneció en órbita lunar a $110\ \text{km}$ de altura mientras dos astronautas descendían a la superficie.

1. a) Calcula el campo gravitatorio lunar en esa órbita ($M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula la fuerza gravitatoria sobre el módulo, de $5500\ \text{kg}$.
3. c) Compara esa fuerza con el peso del módulo en la Tierra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

En metrología, los patrones de masa deben pesarse con extrema precisión.

1. a) Calcula $g$ en la cima del Mont Blanc ($4808\ \text{m}$) con $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$ ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcula la diferencia de peso de una masa patrón de $1,000\ \text{kg}$ entre la cima y el nivel del mar.
3. c) ¿A cuántos gramos de masa equivale esa diferencia? Comenta por qué los laboratorios de calibración anotan la altitud del lugar de medida.

Una persona de $70\ \text{kg}$ viaja en un ascensor de pie sobre una báscula ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El viaje de subida tiene tres tramos: arranque con aceleración de $1,5\ \text{m/s}^2$ hacia arriba, tramo central a velocidad constante y frenado final con aceleración de $1,5\ \text{m/s}^2$ dirigida hacia abajo.

1. a) Calcula la lectura de la báscula en cada uno de los tres tramos.
2. b) Dibuja en tu cuaderno la gráfica de la lectura en función del tiempo y señala en qué tramo la persona se siente más pesada y en cuál más ligera.
3. c) ¿Qué marcaría la báscula durante todo el viaje si el cable se rompiese justo al arrancar? Justifícalo.

Para alturas pequeñas frente al radio terrestre se usa la aproximación $g \approx g_0\cdot\left(1 - \frac{2\cdot h}{R_T}\right)$, que proviene de $(1 + x)^{-2} \approx 1 - 2\cdot x$ cuando $x \ll 1$.

1. a) Partiendo de $g = g_0\cdot\left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^2$, justifica esa aproximación.
2. b) Aplícala a la cima del Everest ($h = 8848\ \text{m}$, $g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$) y compara con el cálculo exacto.
3. c) Estima a partir de qué altura el error de la aproximación supera el 1 % (pista: el término despreciado es del orden de $3\cdot x^2$) y decide si la aproximación sirve para la órbita de la Estación Espacial ($h = 400\ \text{km}$).

Un reloj de péndulo se calibra a nivel del mar, donde su período es $T_0 = 2,00\ \text{s}$ con $g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, y se sube después a la cima del Everest, donde $g = 9,78\ \text{m/s}^2$. El período de un péndulo simple es $T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{\frac{L}{g}}$.

1. a) Sin cambiar la longitud del péndulo, razona si el reloj se adelanta o se atrasa en la cima.
2. b) Calcula el nuevo período.
3. c) Calcula cuánto se retrasa el reloj en un día completo.

El módulo de ascenso del Apolo 11, de $4700\ \text{kg}$, despegó de la superficie lunar ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el empuje mínimo que tuvo que dar su motor para elevarse verticalmente con una aceleración de $2,0\ \text{m/s}^2$ (aplica $\sum \vec{F} = m\cdot\vec{a}$ en la vertical).
2. b) Calcula el empuje que haría falta para realizar la misma maniobra desde la superficie terrestre ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) A la vista de los dos resultados, explica por qué el módulo lunar pudo despegar con un motor pequeño mientras que el cohete Saturno V necesitó un empuje de $3,4\cdot10^{7}\ \text{N}$.

En una torre de caída de un parque de atracciones, la cabina con una pasajera de $60\ \text{kg}$ cae libremente durante $2,0\ \text{s}$ y después frena con aceleración constante hasta detenerse ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) ¿Cuánto vale el peso aparente de la pasajera durante la caída libre? Justifícalo.
2. b) La frenada se realiza con una aceleración de módulo $2\cdot g$ dirigida hacia arriba: calcula el peso aparente en esa fase y compáralo con el peso real.
3. c) Calcula la velocidad al final de la caída libre y la distancia recorrida durante la frenada.

Una sonda sale de la Tierra hacia el espacio profundo.

1. a) Calcula a qué altura sobre la superficie el peso de la sonda es la mitad que en el lanzamiento: plantea $G\cdot\frac{M_T}{(R_T + h)^2} = \frac{g_0}{2}$, observa que $G$ y $M_T$ se cancelan, y despeja $h$ en función de $R_T$ ($R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$).
2. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra el peso sería la décima parte?
3. c) Expresa ambos resultados en radios terrestres y comenta qué implica la rapidez con que decrece el campo sobre la validez de tomar $g$ constante en los problemas de proyectiles.

En el interior de un planeta de densidad uniforme, el campo gravitatorio crece linealmente con la distancia al centro, de modo que a una profundidad $d$ vale $g = g_0\cdot\left(1 - \frac{d}{R_T}\right)$. La gráfica muestra cómo varía $g$ con la distancia $r$ al centro:

1. a) Calcula $g$ a $3000\ \text{m}$ de profundidad, en el fondo de una mina ($g_0 = 9,81\ \text{m/s}^2$, $R_T = 6,371\cdot10^{6}\ \text{m}$).
2. b) Calcula el peso allí de un ascensor de mina cargado, de $800\ \text{kg}$, y la diferencia con su peso en superficie.
3. c) Al subir $3000\ \text{m}$ de altura, la variación relativa de $g$ es el doble y de signo contrario que al bajar $3000\ \text{m}$: compruébalo con la aproximación $g \approx g_0\cdot\left(1 - \frac{2\cdot h}{R_T}\right)$ y explica físicamente por qué al bajar el efecto es menor (piensa en la masa que queda «por encima»).

Un astronauta entrena saltos verticales con una velocidad inicial de $3,0\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la altura máxima que alcanzaría en la Tierra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$) usando $h = \frac{v_0^2}{2\cdot g}$.
2. b) Calcula la altura máxima en la Luna ($g_L = 1,62\ \text{m/s}^2$).
3. c) Calcula el tiempo total de vuelo (subida y bajada) en ambos lugares con $t = \frac{2\cdot v_0}{g}$.
4. d) Razona, a partir de las dos fórmulas, por qué tanto la altura como el tiempo de vuelo se multiplican por el mismo factor al cambiar de planeta, y calcula ese factor.