Ejercicios: Soluciones de un sistema

Dos amigos han ido a una tienda de videojuegos. El primero compra 2 juegos de acción y 1 de estrategia por $80$ €. El segundo compra 1 de acción y 3 de estrategia por $90$ €. Comprueba si el par $(x, y) = (30, 20)$, donde $x$ es el precio del juego de acción e $y$ el de estrategia, es la solución del sistema que describe esta situación.

Expresa en forma matricial $A \cdot X = B$ el siguiente sistema de ecuaciones lineales, identificando claramente la matriz de coeficientes $A$, la matriz de las incógnitas $X$ y la matriz de los términos independientes $B$:

$ \begin{cases} 3x - 2y + z = 5 \\ x + 4y - 3z = -2 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $

Observa la representación gráfica de las dos ecuaciones de un sistema de primer grado con dos incógnitas. Basándote en el dibujo, indica cuál es la solución del sistema y clasifícalo según su número de soluciones (Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible).

Dada la siguiente matriz ampliada $M^*$ de un sistema de ecuaciones escalonado tras aplicar el método de Gauss, razona si el sistema tiene solución y, en caso afirmativo, si es única:

$M^* = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & | & 4 \\ 0 & 2 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2 \end{pmatrix}$

En una cafetería, el precio de un café ($x$), una tostada ($y$) y un zumo ($z$) están relacionados por el siguiente sistema:

$ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 3 \end{cases} $

Determina si la terna $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ es una solución válida para el precio de estos productos.

Indica, sin resolver, si los siguientes dos sistemas de ecuaciones son equivalentes y justifica tu respuesta comparando sus soluciones o mediante transformaciones elementales:

Sistema 1: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Sistema 2: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x = 6 \end{cases}$

Halla el valor del parámetro $k$ para que la pareja $(x, y) = (2, -1)$ sea solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$ \begin{cases} kx + 3y = 1 \\ x + ky = 3 \end{cases} $

Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones según su interpretación geométrica en el plano. Para ello, analiza la relación entre los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes:

$ \begin{cases} 2x - 4y = 6 \\ -x + 2y = -3 \end{cases} $

Ilustra tu respuesta explicando qué posición relativa tienen las rectas representadas.

Un estudiante de 2º de Bachillerato analiza la posición relativa de tres planos en el espacio. El sistema de ecuaciones que define dicha posición es el siguiente:

1. a) Determina el valor de $k$ para que los tres planos se corten en una recta. ¿Cómo se clasifica el sistema en este caso según el número de sus soluciones?

1. b) Si $k = 0$, ¿cuál es la posición relativa de los planos? Justifica tu respuesta utilizando el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.

Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro real $m$:

Indica en qué casos el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible. No es necesario resolverlo.

Una agencia de marketing digital gestiona la publicidad de una marca en tres plataformas: Instagram ($x$), TikTok ($y$) y YouTube ($z$). Durante el último mes se sabe que:

• El gasto total en las tres plataformas fue de $2500$ €.

• El gasto en Instagram fue el doble del gasto en YouTube.

• La suma del gasto en Instagram y TikTok superó en $100$ € al triple del gasto en YouTube.

1. a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuánto se invirtió en cada plataforma.

1. b) Resuelve el sistema mediante el método de Gauss.

Dado el sistema dependiente del parámetro $a$:

1. a) Calcula el valor de $a$ para que el sistema sea Compatible Indeterminado.

1. b) Para el valor de $a$ hallado en el apartado anterior, escribe la solución general del sistema expresando las incógnitas $x$ e $y$ en función de $z$. Utiliza $z = \lambda$.

Sea la ecuación matricial $A \cdot X = B$, donde:

1. a) Justifica que la matriz $A$ es regular (tiene inversa) calculando su determinante.

1. b) Halla la matriz de las incógnitas $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ resolviendo el sistema asociado mediante la matriz inversa $X = A^{-1} \cdot B$.

Un centro de reciclaje procesa tres tipos de plástico: PET ($x$), HDPE ($y$) y PVC ($z$). Se han recibido tres cargamentos con las siguientes composiciones en toneladas:

• Cargamento 1: $1$ de PET, $2$ de HDPE y $1$ de PVC.

• Cargamento 2: $2$ de PET, $3$ de HDPE y $0$ de PVC.

• Cargamento 3: $0$ de PET, $1$ de HDPE y $2$ de PVC.

Si el centro necesita obtener un total de $10$ toneladas de PET, $17$ de HDPE y $10$ de PVC, ¿es posible conseguirlo combinando estos tres cargamentos? Plantea el sistema y discute si tiene solución única utilizando el Teorema de Rouché-Frobenius.

Se sabe que los dos sistemas siguientes son equivalentes (tienen la misma solución):

Sistema 1: $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

Sistema 2: $\begin{cases} ax + y = 7 \\ x + by = 5 \end{cases}$

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$. Para ello, resuelve primero el Sistema 1 y utiliza los valores obtenidos para plantear una solución en el Sistema 2.

Considera el siguiente sistema homogéneo:

1. a) ¿Para qué valores de $a$ el sistema admite únicamente la solución trivial $(0, 0, 0)$?

1. b) Encuentra un valor de $a$ para el cual el sistema sea Compatible Indeterminado y calcula una solución distinta de la trivial para ese valor.

En una agencia de marketing digital están analizando el impacto de tres campañas publicitarias ($x$, $y$, $z$). El rendimiento de las campañas depende de un factor de mercado estacional representado por el parámetro $k$. El sistema de ecuaciones que describe el retorno de inversión es el siguiente:

1. a) Discute la viabilidad de las soluciones del sistema (su compatibilidad) en función de los valores que pueda tomar el parámetro de mercado $k$, utilizando el Teorema de Rouché-Fröbenius.

1. b) En el caso de que el sistema sea compatible indeterminado, obtén la expresión general de las soluciones. ¿Qué relación debe existir entre las campañas $x$ e $y$ en este escenario?

1. c) Si el factor de mercado es $k = 0$, determina si es posible obtener un retorno positivo en todas las campañas simultáneamente.

Se considera la matriz de coeficientes $A$ y la matriz de términos independientes $B$ de un sistema de costes de una empresa de transporte:

1. a) Determina para qué valores del parámetro $a$ el sistema no admite una solución única.

1. b) Para los valores hallados en el apartado anterior, estudia si el sistema es compatible indeterminado o incompatible. Interpreta el resultado desde el punto de vista de la gestión de recursos: ¿hay alguna configuración de costes que sea imposible de cuadrar?

1. c) Resuelve el sistema para $a = 2$ utilizando exclusivamente el método de la matriz inversa $X = A^{-1} \cdot B$.

Un grupo de estudiantes de 2º de Bachillerato ha diseñado una app de intercambio de apuntes. Tienen tres tipos de suscripciones: Básica ($x$), Premium ($y$) y Pro ($z$). Al finalizar el primer mes, se recogen los siguientes datos:

1. El número total de usuarios es de 500.

2. Si el número de usuarios Premium se duplicara, igualaría a la suma de los usuarios Básicos y Pro.

3. La facturación total fue de 2300 €. Los precios mensuales son: Básica (2 €), Premium (5 €) y Pro (10 €).

1. a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales para determinar el número de usuarios de cada tipo.

1. b) Un error en la base de datos hace que el dato de facturación total (2300 €) sea dudoso. Si llamamos $m$ a la facturación total, discute para qué valores de $m$ el sistema tiene sentido físico (usuarios no negativos y enteros).

1. c) ¿Es posible que existan infinitas combinaciones de usuarios que satisfagan las condiciones si no conociéramos el precio de la suscripción Pro? Razona tu respuesta basándote en la teoría de grados de libertad de un sistema.

Dadas las matrices $M$ y $N$:

Se plantea la ecuación matricial $M \cdot X = N \cdot C$, donde $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

1. a) Antes de resolver, justifica si el sistema de ecuaciones asociado a esta igualdad es compatible determinado analizando el rango de la matriz $M$.

1. b) Encuentra la matriz columna $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ que satisface la ecuación.

1. c) Si modificamos la tercera fila de la matriz $M$ por $(1, 2, 3)$, ¿cómo varía la solución del sistema? Clasifica el nuevo sistema resultante sin resolverlo completamente.

Analiza el siguiente sistema homogéneo en función del parámetro real $\lambda$:

1. a) Determina los valores de $\lambda$ para los cuales el sistema admite únicamente la solución trivial $(0, 0, 0)$.

1. b) Para los valores de $\lambda$ que hacen que el sistema sea compatible indeterminado, obtén la solución paramétrica. ¿Representan estas soluciones una recta o un plano en el espacio?

1. c) Justifica razonadamente por qué este sistema nunca puede ser incompatible, independientemente del valor de $\lambda$.

Tres carteras de inversión ($A$, $B$, $C$) están compuestas por acciones de tres sectores tecnológicos: Inteligencia Artificial ($x$), Energías Verdes ($y$) y Biotecnología ($z$).

• La cartera $A$ tiene una acción de cada sector.

• La cartera $B$ tiene 2 de IA, 1 de Verdes y ninguna de Biotecnología.

• La cartera $C$ tiene 1 de IA y un número $m$ de acciones de Biotecnología.

Se sabe que el valor total de las carteras en el mercado es de 100 €, 80 € y 60 € respectivamente.

1. a) Escribe el sistema de ecuaciones asociado.

1. b) ¿Para qué valor de acciones de Biotecnología en la cartera $C$ ($m$) el sistema no tiene solución? ¿Qué significa esto en términos financieros?

1. c) Si $m = 2$, ¿es posible que el precio de una acción de IA sea el doble que el de una de Energías Verdes? Compruébalo analizando la compatibilidad del sistema aumentado con esta nueva condición.

Estudia la posición relativa de los siguientes tres planos en el espacio en función del parámetro $a$:

1. a) Clasifica el sistema de ecuaciones formado por los tres planos.

1. b) Identifica los valores de $a$ para los cuales los tres planos se cortan en una única recta. Escribe la ecuación de dicha recta en forma paramétrica.

1. c) ¿Existe algún valor de $a$ para el cual los tres planos no tengan ningún punto en común? Describe la configuración geométrica en ese caso.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones con una incógnita extra en los términos independientes:

1. a) Discute el sistema en función de los parámetros $a$ y $b$.

1. b) Si $a = 1$, ¿qué condición debe cumplir $b$ para que el sistema sea compatible? ¿Qué tipo de compatibilidad tendría?

1. c) En el caso $a = -2$, demuestra que el sistema es compatible si y solo si $b = 0$. ¿Cuál es la interpretación geométrica de los planos en este caso cuando $b \neq 0$?