Ejercicios: Inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales

Representa en el plano el semiplano solución de la inecuación $2x + 3y \leq 12$ y comprueba algebraicamente si los puntos $A(3, 2)$ y $B(2, 5)$ pertenecen a él. ¿Qué particularidad tiene el punto $A$ respecto de la recta frontera?

Comprueba, sin representarla, si los puntos $P(1, 4)$, $Q(-2, 0)$ y $R(0, -3)$ son solución de la inecuación $3x - y > -5$. Indica además si la recta $3x - y = -5$ forma parte de la solución y por qué.

La figura muestra un semiplano solución delimitado por una recta que corta a los ejes en dos puntos señalados, como se muestra en la figura.

Deduce la ecuación de la recta frontera y escribe la inecuación cuya solución es el semiplano sombreado. ¿Está incluida la frontera en la solución?

Representa el conjunto de puntos del plano que verifican $y \geq 2x - 1$. Explica cómo decides qué semiplano sombrear y si la recta $y = 2x - 1$ pertenece o no a la solución.

Verdadero o falso, razonando la respuesta: «La solución de la inecuación $3x - y < 6$ incluye todos los puntos de la recta $3x - y = 6$».

Representa el recinto solución del sistema formado por $x \geq 0$, $y \geq 0$ y $x + y \leq 5$. ¿Qué figura geométrica se obtiene? Indica sus vértices.

El triángulo sombreado de la figura es la solución de un sistema de tres inecuaciones, como se muestra en la figura.

¿Cuál de los siguientes sistemas es? Razona la elección descartando las demás opciones.

• a) $x \geq 1$, $y \geq 1$, $3x + 4y \leq 19$

• b) $x \leq 1$, $y \leq 1$, $3x + 4y \geq 19$

• c) $x \geq 1$, $y \geq 1$, $3x + 4y \geq 19$

• d) $x \geq 1$, $y \leq 1$, $3x + 4y \leq 19$

Una tienda de ropa deportiva prepara su pedido de primavera: llama $x$ al número de camisetas técnicas e $y$ al número de sudaderas que encargará. Por espacio en el almacén no puede recibir más de $40$ prendas en total, y el proveedor le exige encargar al menos $10$ camisetas. Escribe el sistema de inecuaciones que recoge todas estas condiciones.

Representa el recinto solución del sistema formado por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 6$ y $x \leq 4$. Calcula las coordenadas de todos sus vértices e indica qué tipo de polígono es.

Dado el sistema formado por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $2x + y \leq 10$ y $x + 2y \leq 8$:

• a) Representa el recinto solución.

• b) Halla sus vértices resolviendo los sistemas de ecuaciones necesarios.

Una preparadora física diseña la recuperación de sus deportistas con dos tipos de batido. Cada batido del tipo A aporta $12$ g de proteína y $8$ g de carbohidratos; cada batido del tipo B aporta $6$ g de proteína y $14$ g de carbohidratos. La pauta diaria exige un mínimo de $48$ g de proteína y de $56$ g de carbohidratos. Plantea, sin resolverlo, el sistema de inecuaciones que deben cumplir los números de batidos diarios $x$ e $y$ de cada tipo.

La figura muestra el recinto solución de un sistema de inecuaciones y cuatro puntos marcados sobre él, como se muestra en la figura.

Decide gráficamente qué puntos son solución del sistema y confirma tu respuesta comprobando algebraicamente cada punto en el sistema $x + 2y \leq 10$, $3x + y \leq 15$, $x \geq 0$, $y \geq 0$.

Considera el sistema formado por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 4$ y $x - y \leq 2$.

• a) Representa el recinto solución y halla sus vértices.

• b) Razona, a partir de la representación, si el recinto es acotado o no.

Un estudiante debe representar la solución de $3x - 2y \geq 0$. Como la recta $3x - 2y = 0$ pasa por el origen, prueba con el punto $(0, 0)$ y obtiene $0 \geq 0$, así que concluye que «la solución es todo el plano». Encuentra el error en su razonamiento y explica cómo se decide correctamente el semiplano solución en este caso.

La figura muestra un recinto triangular sombreado cuyas fronteras son las rectas $x = 2$, $y = 1$ y $x + 2y = 12$, como se muestra en la figura.

• a) Escribe el sistema de inecuaciones cuya solución es ese triángulo.

• b) Calcula las coordenadas de sus tres vértices.

La asociación de vecinos organiza su fiesta anual y vende entradas de adulto ($x$) y de menor ($y$). El pabellón tiene un aforo máximo de $300$ personas; por acuerdo con el ayuntamiento deben venderse al menos $50$ entradas de adulto, y la experiencia de otros años indica que el número de menores no superará el doble que el de adultos. Plantea el sistema de inecuaciones correspondiente y representa el recinto de posibilidades.

Considera el sistema formado por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 4$ e $y \leq k$, donde $k > 0$ es un parámetro.

• a) Representa el recinto para $k = 6$ y para $k = 2$.

• b) Determina para qué valores de $k$ el recinto solución es un cuadrilátero y para cuáles es un triángulo, justificando la respuesta.

Representa la región del plano definida por $|x| + |y| \leq 2$. Para ello, razona por cuadrantes: reescribe la condición sin valores absolutos en cada uno de los cuatro cuadrantes y obtén la inecuación correspondiente. ¿Qué figura resulta y cuáles son sus vértices?

Las rectas $x + y = 6$, $y = x - 2$ e $y = 0$ delimitan un triángulo en el plano, como se muestra en la figura.

• a) Calcula los vértices del triángulo.

• b) Escribe el sistema de tres inecuaciones cuya solución es exactamente ese triángulo, comprobando que un punto interior, como el $(4, 1)$, verifica las tres desigualdades.

Un laboratorio de cosmética natural produce dos cremas, hidratante ($x$ botes diarios) y reparadora ($y$ botes diarios). Cada bote de hidratante necesita $3$ minutos en la máquina mezcladora y $2$ minutos en la envasadora; cada bote de reparadora, $2$ minutos de mezcla y $4$ de envasado. La mezcladora puede trabajar $60$ minutos al día y la envasadora, $64$ minutos, como se resume en la figura.

• a) Plantea el sistema de inecuaciones del problema.

• b) Representa el recinto de producciones posibles.

• c) Halla sus vértices e indica qué producción máxima diaria de crema hidratante sería posible si ese día no se fabricara reparadora.