Ejercicios: Tablas de contingencia

En un estudio sobre el uso de redes sociales en un instituto, se ha encuestado a 100 estudiantes de 2º de Bachillerato sobre su plataforma preferida. Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia, aunque algunos valores se han borrado:

Sabiendo que hay un total de 45 chicos y 55 chicas:

1. a) Completa los valores que faltan en la tabla.
2. b) Si elegimos un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su red preferida sea TikTok?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica que prefiere Instagram?

Una plataforma de streaming analiza las preferencias de sus usuarios según su edad. Se selecciona una muestra aleatoria y se obtienen los siguientes resultados:

	Películas	Series	Total
Menores 25 años	$0,15$	$0,35$	$0,50$
Mayores 25 años	$0,30$	$0,20$	$0,50$
Total	$0,45$	$0,55$	$1,00$

Calcula las siguientes probabilidades al elegir un usuario al azar:

1. a) $P(\text{Series})$, es decir, la probabilidad de que prefiera series.
2. b) $P(\text{Películas} \cap \text{Menor 25 años})$.
3. c) $P(\text{Mayor 25 años} \cup \text{Películas})$.

En un torneo de pádel organizado por el ayuntamiento, participan 80 personas. Se sabe que 32 son hombres y el resto mujeres. De los hombres, 20 están federados, mientras que de las mujeres solo hay 12 federadas.

1. a) Organiza la información en una tabla de contingencia.
2. b) Si seleccionamos a un participante al azar, calcula la probabilidad de que no esté federado.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el participante sea mujer sabiendo que está federada?

Se ha realizado una encuesta sobre hábitos de transporte para ir a la universidad. El $40\%$ de los estudiantes son hombres ($H$) y el $60\%$ son mujeres ($M$). El $25\%$ de los hombres va en coche ($C$), mientras que el $15\%$ de las mujeres utiliza este transporte.

1. a) Si consideramos una muestra de 100 personas, construye la tabla de contingencia con los valores absolutos.
2. b) Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar sea mujer y no use el coche.
3. c) Calcula la probabilidad de que, siendo hombre, no use el coche.

Observa la siguiente tabla que clasifica a los empleados de una empresa según su departamento y si han solicitado teletrabajo:

Calcula razonadamente mediante la tabla:

1. a) $P(T | V)$, la probabilidad de que un empleado teletrabaje si pertenece al departamento de Ventas.
2. b) $P(I | T)$, la probabilidad de que un empleado sea de I+D sabiendo que ha solicitado teletrabajo.
3. c) ¿Qué es más probable: que un empleado de Ventas teletrabaje o que un empleado de I+D teletrabaje?

En una academia de idiomas, los alumnos se dividen por nivel (Básico o Avanzado) y por idioma (Inglés o Alemán). La probabilidad de que un alumno esté en el nivel avanzado es $0,4$. La probabilidad de que estudie inglés es $0,7$. Se sabe que la probabilidad de que un alumno estudie alemán y esté en el nivel básico es $0,2$.

1. a) Elabora una tabla de contingencia con probabilidades (donde el total sea $1$).
2. b) Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar sea del nivel avanzado e inglés.
3. c) Si un alumno estudia inglés, ¿cuál es la probabilidad de que sea del nivel básico?

Un grupo de 200 adolescentes fue preguntado sobre si desayunan cereales o fruta. Los resultados fueron: 120 desayunan cereales, 100 desayunan fruta y 40 desayunan ambas cosas.

1. a) Completa la siguiente tabla de contingencia para organizar los datos:

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un adolescente no desayune ni cereales ni fruta?
2. c) Sabiendo que un adolescente desayuna cereales, ¿cuál es la probabilidad de que también desayune fruta?

Una tienda de ropa deportiva clasifica sus ventas de zapatillas según el tipo (Running o Trail) y el género (Hombre o Mujer). En un día vendieron 50 pares:

	Running	Trail	Total
Hombre	18	12	30
Mujer	15	5	20
Total	33	17	50

Calcula la probabilidad de que al elegir una venta al azar:

1. a) Las zapatillas sean de Trail.
2. b) Sean de una mujer sabiendo que son de Running.
3. c) Sean de Trail sabiendo que es una venta de hombre.

En un estudio sobre los hábitos de consumo de contenidos digitales entre $200$ adolescentes, se ha observado que $120$ están suscritos a alguna plataforma de streaming. De los que están suscritos, $80$ prefieren ver series frente a películas. Entre los que no pagan suscripción, $30$ prefieren las películas.

1. a) Organiza la información anterior en una tabla de contingencia.
2. b) Si elegimos un adolescente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera ver series?
3. c) Sabiendo que el adolescente elegido prefiere las películas, ¿cuál es la probabilidad de que no esté suscrito a ninguna plataforma?

Una empresa de tecnología analiza la relación entre el uso de un nuevo modelo de auriculares inalámbricos y la satisfacción del cliente. De los $500$ usuarios encuestados, $350$ compraron el modelo "Pro" y el resto el modelo "Basic". Se sabe que el suceso $S$ (estar satisfecho) y el suceso $M$ (modelo Pro) son independientes. Si la probabilidad de estar satisfecho es $P(S) = 0,8$:

1. a) Completa la tabla de contingencia con los valores esperados de personas para cada categoría.
2. b) Calcula la probabilidad de que un usuario haya comprado el modelo "Basic" y no esté satisfecho.
3. c) ¿Qué significa en este contexto que los sucesos sean independientes?

En un instituto de enseñanza secundaria, el $60\%$ de los alumnos de 2º de Bachillerato son mujeres. Se sabe que el $20\%$ de las mujeres participan en el club de debate, mientras que el $10\%$ de los hombres también lo hacen.

1. a) Construye una tabla de contingencia de frecuencias relativas (probabilidades).
2. b) Si seleccionamos un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al club de debate?
3. c) Si el alumno elegido no pertenece al club de debate, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

Se ha realizado una encuesta sobre la intención de voto y la principal preocupación social (Medio Ambiente, Economía o Salud) obteniendo la siguiente tabla parcial de probabilidades:

Preocupación	Partido A	Partido B	Totales
Medio Ambiente	$0,15$	$0,10$
Economía	$0,25$		$0,45$
Salud		$0,12$
Totales			$1,00$

1. a) Completa la tabla de contingencia.
2. b) Calcula la probabilidad de que un votante del Partido A esté preocupado por la Salud.
3. c) ¿Son los sucesos "Votar al Partido B" y "Estar preocupado por el Medio Ambiente" independientes? Justifica la respuesta matemáticamente.

Un centro deportivo ofrece clases de Yoga, Pilates y Crossfit. La distribución de los $300$ socios según la actividad y el grupo de edad es la siguiente:

Actividad	Jóvenes (16-30)	Adultos (>30)
Yoga	$20$	$50$
Pilates	$30$	$60$
Crossfit	$110$	$30$

1. a) Si elegimos un socio al azar, ¿cuál es la probabilidad de que practique Yoga o sea Joven?
2. b) Entre los socios Adultos, ¿qué actividad es la más probable?
3. c) Si se elige un practicante de Crossfit, ¿cuál es la probabilidad de que sea Joven?

Se analiza el éxito de una campaña publicitaria en redes sociales. De las personas que vieron el anuncio, el $40\%$ lo hizo en Instagram y el $60\%$ en TikTok. Se sabe que el $15\%$ de los que lo vieron en Instagram compraron el producto, mientras que en TikTok lo hizo el $10\%$.

1. a) Traslada estos porcentajes a una tabla de contingencia de $1000$ personas.
2. b) Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar haya comprado el producto.
3. c) Sabiendo que una persona ha comprado el producto, ¿en qué red social es más probable que haya visto el anuncio?

En un estudio médico sobre la eficacia de una vacuna, se obtienen los siguientes datos de una muestra de $1000$ pacientes:

	Enfermaron	No enfermaron	Totales
Vacunados	$20$		$600$
No vacunados		$280$
Totales			$1000$

1. a) Completa la tabla.
2. b) Calcula la probabilidad de enfermar habiendo sido vacunado.
3. c) Calcula la probabilidad de enfermar no habiendo sido vacunado.
4. d) A la vista de los resultados, ¿consideras que la vacuna es eficaz? Justifica tu respuesta comparando las probabilidades condicionadas.

Una plataforma de e-commerce clasifica a sus clientes en "Frecuentes" y "Ocasionales", y sus compras en "Electrónica" o "Moda". Se sabe que el $30\%$ de los clientes son Frecuentes. De todas las compras realizadas, el $40\%$ son de Electrónica. Además, el $10\%$ del total de clientes son Frecuentes que han comprado Moda.

1. a) Construye la tabla de contingencia completa de probabilidades.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente frecuente compre Electrónica?
3. c) Sabiendo que un cliente ha comprado Electrónica, ¿cuál es la probabilidad de que sea un cliente Ocasional?

Un departamento de ciberseguridad analiza el tráfico de correo electrónico de una gran empresa tecnológica. Se sabe que el $12\%$ de los correos que entran en el servidor son intentos de phishing (fraude). El sistema de filtrado inteligente etiqueta los correos como "Sospechosos" o "Seguros".

El sistema es capaz de detectar correctamente el $95\%$ de los correos de phishing. Sin embargo, por un exceso de celo, el $3\%$ de los correos legítimos son etiquetados erróneamente como "Sospechosos".

1. a) Organiza la información en una tabla de contingencia utilizando una muestra teórica de $10\,000$ correos.

1. b) Si un empleado recibe un correo etiquetado como "Sospechoso", ¿cuál es la probabilidad de que realmente sea un correo legítimo?

1. c) ¿Son los sucesos "Correo de Phishing" y "Etiquetado como Sospechoso" sucesos independientes? Justifica tu respuesta mediante el cálculo de probabilidades.

En un estudio sobre los hábitos de consumo de contenido en streaming de jóvenes de entre 18 y 22 años, se han obtenido los siguientes datos:

• El $65\%$ de los jóvenes está suscrito a Netflix ($N$).

• El $40\%$ está suscrito a Disney+ ($D$).

• La probabilidad de que un joven no esté suscrito a ninguna de las dos plataformas es de $0,25$.

1. a) Elabora una tabla de contingencia expresando los valores en términos de probabilidad.

1. b) Se elige un joven al azar que resulta estar suscrito a Netflix. Calcula la probabilidad de que también lo esté a Disney+.

1. c) Determina si tener una suscripción a Netflix es independiente de tener una suscripción a Disney+.

Una plataforma de venta de ropa de segunda mano analiza el comportamiento de sus usuarios. El $60\%$ de los usuarios son "Compradores Recurrentes" ($C$), mientras que el resto son "Compradores Esporádicos".

Se observa que el $70\%$ de los compradores recurrentes utiliza la aplicación móvil para sus transacciones, mientras que solo el $30\%$ de los compradores esporádicos la utiliza (prefiriendo la web).

1. a) Si seleccionamos un usuario al azar, ¿cuál es la probabilidad de que utilice la web para realizar sus compras?

1. b) Si sabemos que un usuario ha realizado una compra a través de la web, ¿cuál es la probabilidad de que sea un comprador recurrente?

1. c) Representa la situación mediante una tabla de contingencia para una población de $500$ usuarios.

Un centro de formación profesional ofrece dos ciclos de grado superior: Desarrollo de Aplicaciones Web ($DAW$) y Marketing y Publicidad ($MK$). El $55\%$ del alumnado está matriculado en $DAW$.

Se ha detectado que el $20\%$ de los alumnos de $DAW$ y el $15\%$ de los de $MK$ abandonan los estudios antes de finalizar el primer año.

1. a) Construye la tabla de contingencia asociada a este centro educativo.

1. b) Si elegimos un alumno al azar de entre los que han abandonado el ciclo, ¿cuál es la probabilidad de que estuviera matriculado en Marketing y Publicidad?

1. c) ¿Es el abandono de los estudios independiente del ciclo en el que el alumno se matricula? Razona la respuesta comparando $P(Abandono)$ con $P(Abandono | DAW)$.

En una encuesta realizada en un festival de música sobre la preferencia de género musical y la edad, se han obtenido los siguientes datos de una muestra de $200$ asistentes:

	Pop ($P$)	Rock ($R$)	Indie ($I$)
Menores de 25 años ($M$)	$40$		$30$
25 años o más ($A$)		$50$

Sabiendo que el número total de amantes del Pop es $65$, que los menores de 25 años representan el $45\%$ del total de la muestra y que los sucesos "Ser menor de 25 años" e "Indie" son independientes:

1. a) Completa la tabla de contingencia con los valores absolutos.

1. b) Calcula la probabilidad de que un asistente elegido al azar sea mayor de 25 años y le guste el Indie.

1. c) Si a un asistente le gusta el Rock, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 25 años?

Una plataforma de pagos con el móvil utiliza un sistema automático de detección de fraude. Los datos del sistema indican que detecta correctamente el $98\%$ de las operaciones realmente fraudulentas ($F$). Por otro lado, genera una "falsa alarma" (marca como sospechosa una operación legítima, $L$) en el $4\%$ de los casos. En la plataforma se estima que el $5\%$ de las operaciones son fraudulentas.

1. a) Crea una tabla de contingencia para una muestra de $10\,000$ operaciones.

1. b) Si una operación ha sido marcada como sospechosa, ¿cuál es la probabilidad real de que sea fraudulenta? Comenta el resultado obtenido en relación a la fiabilidad del sistema.

1. c) Si el sistema no marca una operación, ¿cuál es la probabilidad de que sea realmente legítima?

Un gimnasio ofrece dos tipos de actividades: Musculación ($M$) y Clases Colectivas ($C$). El $40\%$ de los socios son mujeres. Se sabe que el $70\%$ de las mujeres opta por clases colectivas, mientras que el $80\%$ de los hombres prefiere musculación.

1. a) Si elegimos un socio al azar, ¿cuál es la probabilidad de que prefiera musculación?

1. b) Si seleccionamos un socio que prefiere clases colectivas, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

1. c) Determina si el sexo del socio y la preferencia por musculación son sucesos independientes. Explica tu razonamiento matemático.

En un estudio sobre el uso de vehículos eléctricos ($E$) y vehículos de combustión ($C$) en una ciudad, se analizan $1\,200$ conductores. El $25\%$ de los conductores tiene un vehículo eléctrico. De los conductores de vehículos eléctricos, el $60\%$ vive en viviendas unifamiliares ($U$), mientras que entre los conductores de vehículos de combustión, este porcentaje desciende al $20\%$.

1. a) Calcula la probabilidad de que un conductor elegido al azar viva en una vivienda unifamiliar.

1. b) Si un conductor vive en una vivienda unifamiliar, ¿cuál es la probabilidad de que sea propietario de un vehículo eléctrico?

1. c) ¿Son los sucesos "Tener un vehículo eléctrico" y "Vivir en una vivienda unifamiliar" independientes? Demuéstralo comparando las probabilidades pertinentes.