Ejercicios: Regla de Laplace

En una partida de un juego de rol, un jugador lanza un dado de ocho caras (octaedro) numeradas del $1$ al $8$. Si el dado está perfectamente equilibrado, calcula las siguientes probabilidades utilizando la Regla de Laplace:

1. a) Obtener un número par.
2. b) Obtener un número mayor que $5$.
3. c) Obtener un número primo.

De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta al azar. Determina la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. a) Que la carta sea un as.
2. b) Que sea una copa.
3. c) Que sea el rey de oros.

En un cajón hay $10$ calcetines negros, $6$ calcetines azules y $4$ calcetines blancos, todos ellos sueltos. Si elegimos uno al azar para ir a clase, calcula:

1. a) La probabilidad de que sea azul.
2. b) La probabilidad de que no sea blanco.
3. c) La probabilidad de que sea negro o blanco.

Un grupo de estudiantes de 2º de Bachillerato organiza una rifa para el viaje de fin de curso. Han vendido papeletas numeradas del $1$ al $100$. Si el sorteo se realiza extrayendo un número al azar, halla la probabilidad de que el número premiado:

1. a) Sea un múltiplo de $10$.
2. b) Termine en la cifra $7$.
3. c) Sea un número menor que $15$.

En una clase hay $30$ alumnos, de los cuales $18$ son chicas y $12$ son chicos. Se sabe que a $10$ chicas y a $8$ chicos les gusta el podcast de matemáticas "Derivando". Si se elige un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:

1. a) Sea un chico.
2. b) Sea una chica a la que le guste el podcast.
3. c) Sea una persona a la que no le guste el podcast.

Se utiliza una ruleta dividida en $12$ sectores iguales, numerados del $1$ al $12$. Calcula la probabilidad de que al girar la ruleta la flecha se detenga en:

1. a) Un número divisible por $3$.
2. b) Un número que sea cuadrado perfecto (como $1, 4, 9$).
3. c) Un número mayor que $2$ y menor que $7$.

Si elegimos al azar una letra de la palabra ESTADISTICA, determina la probabilidad de los siguientes eventos:

1. a) Que la letra sea una vocal.
2. b) Que la letra sea la S.
3. c) Que la letra sea una consonante.

Lanzamos simultáneamente dos monedas equilibradas al aire.

1. a) Escribe el espacio muestral del experimento.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente una cara?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cruz?

En un festival de juegos de mesa, se utilizan dos dados cúbicos equilibrados (con caras del 1 al 6). Un jugador lanza ambos dados a la vez. Calcula la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas sea un número primo mayor que $5$.

De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas simultáneamente (lo que equivale a extraer una tras otra sin devolución). Calcula la probabilidad de que:

• a) Ambas cartas sean del mismo palo.

• b) Al menos una de las cartas sea un As.

En una urna de cristal para un sorteo de una tienda de tecnología hay $12$ bolas blancas y $8$ bolas negras. Se extraen tres bolas al azar, una a una y sin reemplazamiento. Aplicando la regla de Laplace sobre el espacio muestral de sucesos elementales equiprobables, determina la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean del mismo color.

Se ha realizado una encuesta en un instituto sobre el uso de redes sociales. De los $100$ estudiantes de 2º de Bachillerato, se sabe que $65$ usan TikTok, $40$ usan Instagram y $15$ no usan ninguna de las dos aplicaciones. Si seleccionamos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:

• a) Use ambas redes sociales.

• b) Use TikTok pero no Instagram.

Un videojuego de puntería consiste en lanzar un dardo virtual a una diana cuadrada de $20\text{ cm}$ de lado que tiene inscrito un círculo de color naranja. El programa garantiza que el dardo siempre impacta en algún punto del cuadrado de forma aleatoria (equiprobable). Calcula la probabilidad de que el dardo impacte fuera del círculo naranja. (Considera $\pi \approx 3,14$).

Un grupo de $5$ amigos (Ana, Borja, Clara, David y Elena) va a posar en fila para una foto de graduación. Si se colocan de forma aleatoria, calcula la probabilidad de que Ana y Elena aparezcan juntas en la foto.

Para entrar en una aplicación de banca online, se genera un código PIN aleatorio de $4$ cifras (del $0$ al $9$). Calcula la probabilidad de que el código asignado cumpla las siguientes condiciones:

• a) Todas sus cifras sean distintas.

• b) Sea un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda).

En un bombo de lotería hay $10$ bolas numeradas del $0$ al $9$. Se extraen dos bolas sucesivamente con reemplazamiento (se devuelve la primera antes de sacar la segunda). Calcula la probabilidad de que el número formado por ambas cifras (considerando la primera como decenas y la segunda como unidades) sea un múltiplo de $4$ o un número mayor que $75$.

En un club de deportes electrónicos (eSports), se va a seleccionar un equipo de 5 jugadores para un torneo nacional. Al proceso de selección se han presentado 15 candidatos: 8 especialistas en estrategia y 7 especialistas en reflejos. El reglamento del torneo exige que el equipo tenga, al menos, 3 especialistas en estrategia y, como mínimo, 1 especialista en reflejos. Si la directiva elige a los 5 integrantes al azar entre todos los candidatos, calcula la probabilidad de que el equipo cumpla estrictamente con el reglamento.

Una aplicación de diseño gráfico genera un patrón aleatorio colocando un punto $P$ dentro de un círculo de radio $R = 10 \text{ cm}$. En el centro del círculo se encuentra inscrito un cuadrado de lado $L = 8 \text{ cm}$. El algoritmo de la aplicación considera un "acierto visual" si el punto $P$ cae dentro del cuadrado o en la región del círculo que queda por encima del diámetro horizontal pero fuera del cuadrado. Utilizando el concepto de probabilidad geométrica (extensión de la Regla de Laplace para áreas), calcula la probabilidad de obtener un "acierto visual" en un intento.

Se extraen, de forma simultánea, 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que la suma de los valores de las tres cartas sea exactamente 10. (Para este ejercicio, considera que las figuras: sota, caballo y rey, tienen valores de 8, 9 y 10 respectivamente, y el as vale 1).

Un sistema de seguridad informática requiere una contraseña de 6 caracteres. El usuario debe elegir estos caracteres del conjunto formado por las 26 letras minúsculas del alfabeto y los dígitos del 0 al 9. Si el sistema genera automáticamente una contraseña al azar, ¿cuál es la probabilidad de que contenga exactamente 2 dígitos, 4 letras y que, además, no se repita ningún carácter?

Lanzamos tres dados equilibrados de seis caras (numeradas del 1 al 6) y anotamos los resultados como $(d_1, d_2, d_3)$. Calcula la probabilidad de que el producto de los tres números obtenidos sea un cuadrado perfecto (por ejemplo: $1 \cdot 2 \cdot 2 = 4 = 2^2$).

En una cena de graduación de 2º de Bachillerato, se sientan 8 amigos en una mesa circular. Entre ellos están una pareja, Alicia y Bruno, que han discutido y no quieren sentarse juntos, y otros dos amigos, Carla y David, que son inseparables y deben sentarse obligatoriamente uno al lado del otro. Si los asientos se asignan de forma totalmente aleatoria, calcula la probabilidad de que se cumplan simultáneamente los deseos de los cuatro amigos.

Se realiza un estudio sobre los hábitos de consumo de contenidos vía streaming entre los jóvenes de una ciudad. Se sabe que:

• El $65\%$ tiene suscripción a la plataforma N.

• El $50\%$ tiene suscripción a la plataforma D.

• El $45\%$ tiene suscripción a la plataforma H.

• El $30\%$ está suscrito a N y D.

• El $25\%$ está suscrito a N y H.

• El $20\%$ está suscrito a D y H.

• El $10\%$ está suscrito a las tres plataformas.

Si se elige a un joven al azar, calcula la probabilidad de que esté suscrito únicamente a una de las tres plataformas.

Utilizando las letras de la palabra $ALGORITMO$ (todas ellas distintas), se forman todas las permutaciones posibles. Si se elige una de estas ordenaciones al azar, calcula la probabilidad de que la palabra resultante comience y termine por vocal, y que además todas las vocales aparezcan juntas en algún lugar de la cadena.