Ejercicios: Probabilidades de una N(0,1)

Un estudio sobre el tiempo que los jóvenes pasan en una conocida red social de vídeos cortos determina que, una vez tipificados los datos, la variable sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0,1)$. Si seleccionamos un usuario al azar, calcula la probabilidad de que su tiempo de uso sea menor o igual a $1,45$ unidades tipificadas. Utiliza la representación gráfica para identificar el área solicitada.

En un torneo de e-sports, el tiempo de reacción de los jugadores profesionales se ha normalizado para que siga una distribución $N(0,1)$. Si se considera "tiempo de reacción lento" a cualquier valor por encima de $0,82$, halla la probabilidad de que un jugador elegido al azar tenga un tiempo de reacción lento, es decir, calcula $P(Z > 0,82)$.

La puntuación en un test de aptitud musical para adolescentes sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0,1)$. El departamento de música de un instituto decide reforzar a aquellos alumnos cuya puntuación tipificada sea inferior a $-1,2$. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar necesite este refuerzo?

Una aplicación de idiomas registra el progreso diario de los usuarios. La mejora en el vocabulario, tras tipificar los datos, se ajusta a una normal $N(0,1)$. Calcula la probabilidad de que un usuario mejore su vocabulario en un intervalo comprendido entre $0,5$ y $1,5$ unidades tipificadas.

En una fábrica de zapatillas de deporte, el control de calidad de la resistencia de la suela se realiza mediante una variable tipificada $Z \sim N(0,1)$. Los ingenieros quieren identificar el valor $k$ positivo tal que la probabilidad de que una suela tenga una resistencia menor o igual a $k$ sea de $0,975$. Busca en la tabla de la normal estándar dicho valor de $k$.

El tiempo de espera en la cola de un festival de música, medido de forma tipificada, sigue una distribución $N(0,1)$. Los organizadores quieren determinar un intervalo central $(-k, k)$ que contenga al $95\%$ de los asistentes. Sabiendo que $P(-k \le Z \le k) = 0,95$, utiliza la simetría de la campana de Gauss para hallar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente.

Las notas de un simulacro de examen de Selectividad (EBAU) se han tipificado obteniendo una distribución normal estándar. Si un estudiante quiere estar por encima del $22,66\%$ de los peores resultados, debe obtener una puntuación tipificada superior a $-0,75$. Calcula la probabilidad $P(Z > -0,75)$ utilizando las propiedades de simetría de la normal.

Dada una variable aleatoria continua que sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0,1)$, calcula la probabilidad de que la variable tome valores en el intervalo $[-1,1, 0,4]$. Recuerda que para resolver este tipo de intervalos debes aplicar la fórmula:

En un estudio sobre el rendimiento de una nueva inteligencia artificial, se han estandarizado los tiempos de respuesta siguiendo una distribución normal mínima $N(0,1)$. Calcula las siguientes probabilidades utilizando la tabla de la distribución normal:

1. La probabilidad de que un tiempo estandarizado sea superior a $1,32$; es decir, $P(Z > 1,32)$.

2. La probabilidad de que el tiempo se encuentre por debajo de $-0,45$; es decir, $P(Z < -0,45)$.

Las puntuaciones de un test de aptitud para jóvenes de 18 años se han normalizado de modo que sigan una distribución $N(0,1)$. Si seleccionamos a un aspirante al azar, determina la probabilidad de que su puntuación estandarizada se encuentre en el intervalo $[-1,24, 2,13]$.

Dada una variable aleatoria continua $Z$ que sigue una distribución normal estándar $N(0,1)$, halla el valor de la constante positiva $k$ que satisface cada una de las siguientes condiciones:

1. $P(Z \leq k) = 0,8708$

2. $P(Z > k) = 0,0228$

En el control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, se utiliza la distribución $N(0,1)$ para analizar las desviaciones respecto al diámetro nominal. Calcula la probabilidad de que una pieza elegida al azar tenga una desviación (en valor absoluto) menor o igual a $1,96$ unidades típicas. Es decir, halla:

Un algoritmo de redes sociales clasifica la relevancia de las publicaciones mediante una variable $Z \sim N(0,1)$. Se sabe que el $10\%$ de las publicaciones más relevantes reciben una mención especial. ¿A partir de qué valor de $Z$ una publicación se considera dentro de ese $10\%$ superior? (Halla el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z > z_{\alpha}) = 0,10$).

Utilizando las propiedades de simetría de la campana de Gauss para una distribución normal estándar $Z$, calcula las siguientes probabilidades sin consultar valores negativos en la tabla:

1. $P(Z > -1,5)$

2. $P(-0,8 \leq Z \leq 0)$

Se ha comprobado que el nivel de ruido en una biblioteca, una vez estandarizado, sigue una distribución $N(0,1)$. Si la probabilidad de que el ruido supere un nivel $k$ es de $0,33$, halla el valor de $k$.

Determina el valor de $a$ para que se cumpla la siguiente igualdad en una distribución normal estándar $N(0,1)$:

Explica el significado gráfico de este resultado en relación con el área central de la curva de Gauss.

En un estudio sobre la eficiencia de un nuevo algoritmo de recomendación de una red social, se ha determinado que el tiempo de permanencia adicional de los usuarios sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0,1)$. Si la plataforma desea identificar al grupo de usuarios "ultra-activos", que son aquellos cuyo tiempo tipificado se encuentra en un intervalo simétrico respecto a la media que encierra exactamente al 88,82 % de la población, calcula el valor crítico $k$ que define los límites de dicho intervalo.

Calcula el valor de la constante positiva $a$ sabiendo que, en una distribución normal estándar $Z \sim N(0,1)$, la probabilidad de que la variable tome valores en el intervalo comprendido entre $-a$ y $a$ es el triple de la probabilidad de que tome valores mayores que $a$. Utiliza las propiedades de simetría de la campana de Gauss para plantear una ecuación antes de consultar la tabla.

Un analista de datos de una liga de e-sports está estudiando el "índice de reflejos" de los jugadores profesionales, el cual se distribuye según una $N(0,1)$. Se sabe que un jugador es seleccionado para el equipo nacional si su índice está por encima de un valor $z_0$. Si se elige un jugador al azar y se sabe que su índice es positivo, la probabilidad de que sea seleccionado para el equipo nacional es de 0,3412. Determina el valor de la puntuación de corte $z_0$ necesaria para entrar en el equipo.

Dada una variable aleatoria continua $Z$ que sigue una distribución normal de media $0$ y desviación típica $1$, determina el valor de $k$ tal que se cumpla la siguiente igualdad:

Explica razonadamente el proceso, indicando cómo utilizas la propiedad del suceso contrario y la simetría de la distribución.

En una distribución $N(0,1)$, se consideran los puntos $z_1$ y $z_2$ tales que $z_1$ es el percentil 20 y $z_2$ es el valor que deja a su derecha una probabilidad de 0,15. Calcula la probabilidad de que la variable $Z$ se encuentre en el intervalo $[z_1, z_2]$. Redondea los valores intermedios de la tabla a cuatro decimales.

Sea $Z$ una variable aleatoria con distribución normal estándar. Determina el valor de la constante $c > 0$ para que se verifique la siguiente condición sobre el valor absoluto de la variable:

A continuación, utilizando el valor de $c$ hallado, calcula la probabilidad condicionada $P(Z > -c \text{ | } Z < c)$.

Se ha diseñado un test de aptitud académica cuyos resultados siguen una $N(0,1)$. La institución que otorga las becas decide que:

• El 10 % de los estudiantes con mejores notas recibirán la "Beca de Excelencia".

• El 25 % de los estudiantes con notas más bajas quedarán excluidos de cualquier ayuda.

Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar no esté en ninguno de estos dos grupos extremos y su nota tipificada sea, además, superior a la media.

Sea $Z \sim N(0,1)$. Halla el valor de $k$ sabiendo que el área de la región sombreada en la figura inferior (que corresponde a la probabilidad $P(k < Z < 2k)$) es igual a 0,1359.

Nota: Deberás expresar las probabilidades en función de la función de distribución $\phi(z)$ y buscar en la tabla el valor que haga posible la diferencia de áreas.