Ejercicios: Integrales inmediatas

Calcula la siguiente integral indefinida de una función polinómica básica utilizando las propiedades de linealidad (separación de sumas y extracción de constantes):

Halla la familia de funciones primitivas de la siguiente función que contiene una raíz cuadrada. Recuerda expresar la raíz como una potencia de exponente fraccionario antes de integrar:

Para poder integrar la siguiente función racional, primero debes simplificar la expresión dividiendo cada término del numerador por el denominador:

Calcula la integral indefinida de esta función que combina una exponencial de base $e$ y una potencia negativa. Ten cuidado con el signo al aplicar la regla de la potencia:

Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{x} + \cos(x)$. Recuerda cuál es la función cuya derivada es $\frac{1}{x}$ y presta atención al valor absoluto:

Un estudio de mercado indica que el ritmo de crecimiento de seguidores de una nueva "influencer" viene dado por la función $f(x) = 6x + 10$ (donde $x$ es el tiempo en días).

Halla la función $F(x)$ que nos da el número total de seguidores, sabiendo que en el momento del lanzamiento (día $x=0$) ya contaba con $500$ seguidores.

Determina el valor de las siguientes integrales inmediatas casi directas (tipo logarítmico y tipo exponencial con constante):

1. a) $\int \frac{3}{x+2} \, dx$

1. b) $\int e^{5x} \, dx$

En una empresa de fabricación de fundas para móviles, el coste marginal (el coste de producir una unidad adicional) se estima mediante la función $C'(x) = 0,6x + 4$.

Obtén la expresión del coste total $C(x)$ si se sabe que los costes fijos de la empresa (alquiler, luz, etc.), que corresponden a producir 0 unidades, ascienden a $1200$ euros.

Calcula la integral indefinida de la siguiente función polinómica que incluye términos con potencias fraccionarias y negativas. Recuerda que debes expresar el resultado de la forma más simplificada posible:

Halla la función primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x - 5}$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(1, 4)$. Analiza primero si el numerador es la derivada del denominador.

Una empresa de mensajería ha determinado que el ritmo de variación de sus costes de mantenimiento mensuales (en euros) viene dado por la función de coste marginal $C'(x) = 0,09x^2 - 0,8x + 20$, donde $x$ representa el número de furgonetas de la flota. Si los costes fijos (el coste cuando no hay furgonetas) ascienden a $1500$ euros, obtén la función de coste total $C(x)$.

Calcula la integral de la siguiente función exponencial ajustando la constante necesaria para que el integrando coincida con la derivada de la función compuesta:

Determina la integral indefinida de la función trigonométrica dada a continuación. Ten en cuenta que es necesario realizar un pequeño ajuste numérico para obtener una integral inmediata:

Halla una función $f(x)$ cuya derivada sea $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}}$ y que cumpla la condición de que $f(1) = 0$.

Resuelve la siguiente integral indefinida de una función racional que resulta en una función de tipo arco tangente. Recuerda que debes manipular el denominador para que tenga la forma $1 + [g(x)]^2$:

Calcula la integral indefinida de la siguiente función utilizando las propiedades de las potencias y la linealidad de la integral:

Una conocida empresa de desarrollo de aplicaciones móviles ha determinado que el ritmo de crecimiento de sus ingresos diarios (en cientos de euros) viene dado por la función de ingreso marginal $f'(x) = 3x^2 \cdot e^{x^3} + \frac{2x}{x^2+1}$, donde $x$ representa el tiempo en semanas desde el lanzamiento de su última actualización. Sabiendo que en el momento del lanzamiento ($x=0$) los ingresos acumulados eran de 500 euros ($5$ unidades en la función), determina la expresión de la función de ingresos totales $f(x)$.

Calcula la primitiva de la función $g(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4}$ que cumple la condición de que su gráfica pase por el punto $P(0, 1)$. Pista: Realiza primero la división de polinomios para descomponer la fracción.

Un "influencer" está analizando la velocidad de pérdida de seguidores en una red social tras una polémica. La función que describe esta variación es $s'(t) = \frac{-6t}{(t^2+3)^2} - \cos(2t)$, donde $t$ es el tiempo en días. Si inicialmente el influencer tenía $100.000$ seguidores, halla la función $s(t)$ que permite calcular el número de seguidores en cualquier instante $t$.

Determina la familia de funciones $F(x)$ cuya derivada es $f(x) = \frac{5}{1+9x^2} + \sqrt[3]{x^2}$. De todas ellas, identifica aquella cuya recta tangente en el punto de abscisa $x=0$ tiene como ecuación $y = 5x - 2$.

Halla la integral indefinida de la función $h(x) = \frac{(e^x + 2)^2}{e^x} + \sin(x) \cdot \cos^4(x)$. Para resolverla, intenta simplificar el primer término expandiendo el cuadrado y separando la fracción, y observa el patrón de la regla de la cadena en el segundo término.

El coste marginal de producción de una fábrica de patinetes eléctricos se define por la función $C'(q) = \frac{100}{2q+10} + 15$, donde $q$ es el número de patinetes fabricados. Si los costes fijos de la fábrica (el coste cuando $q=0$) ascienden a $2.500$ euros, obtén la función de coste total $C(q)$. ¿A cuánto ascendería el coste total si se fabrican $50$ patinetes?

Calcula la función $f(x)$ sabiendo que su derivada segunda es $f''(x) = 12x^2 - 6x + 2$ y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el que la pendiente de la recta tangente vale $5$, pasando además por el punto $A(1, 10)$.

Calcula la siguiente integral indefinida utilizando las propiedades de las potencias y las reglas de integración inmediata:

A continuación, halla la primitiva que toma el valor $4$ cuando $x=1$.