Ejercicios: Determinantes de orden 3

Calcula el valor del siguiente determinante utilizando la Regla de Sarrus. Asegúrate de realizar los productos de las diagonales principales y secundarias con cuidado en los signos:

$$ \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 4 & -1 & 1 \end{array} \right| $$

Halla el valor de la incógnita $x$ para que el determinante de la siguiente matriz sea nulo:

$$ \left| \begin{array}{ccc} x & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right| = 0 $$

En una matriz triangular (superior o inferior), el determinante es simplemente el producto de los elementos de su diagonal principal. Calcula el determinante de la siguiente matriz de costes de producción de una empresa:

$$ \left| \begin{array}{ccc} 5 & 8 & 12 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right| $$

Calcula el determinante de la siguiente matriz, que representa la cantidad de tres tipos de acciones (Tecnología, Energía, Banca) en tres carteras de inversión diferentes:

$$ \left| \begin{array}{ccc} 10 & 10 & 10 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right| $$

(Pista: Intenta sacar factor común de la primera fila antes de aplicar Sarrus para simplificar los números).

Una empresa de desarrollo de aplicaciones móviles analiza el impacto de tres de sus funciones estrella (A, B y C) en tres mercados diferentes. Los datos de rendimiento se recogen en la siguiente matriz $M$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Calcula el determinante de la matriz $M$ utilizando la regla de Sarrus para determinar si el modelo de análisis es consistente (es decir, si su determinante es distinto de cero).

Para que un sistema de seguridad digital sea válido, la "matriz de firma" $S$ no debe ser singular (su determinante debe ser distinto de cero). Dada la matriz:

$S = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ a & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Determina los valores del parámetro real $a$ para los cuales el sistema de seguridad no sería válido.

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado planteada a través de un determinante:

$\begin{vmatrix} x & 0 & 1 \\ 1 & x & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 5$

Un mapa digital sitúa tres puntos logísticos en un plano de coordenadas. El área de un triángulo cuyos vértices son $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ y $(x_3, y_3)$ se puede calcular mediante la fórmula:

$Área = \frac{1}{2} \cdot | \det(A) |$, donde $A = \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix}$.

Calcula el área del triángulo formado por los puntos $P_1(1, 2)$, $P_2(4, 5)$ y $P_3(2, 8)$ representados en el siguiente gráfico:

En el diseño de un nuevo mapa para un videojuego de estrategia, los vértices de una región triangular protegida vienen dados por las coordenadas de los puntos $P(1, 1)$, $Q(3, 5)$ y $R(k, 7)$. El motor del juego exige que la superficie de esta región sea exactamente de $10$ unidades cuadradas para equilibrar las facciones.

Utiliza la fórmula del área mediante determinantes de orden 3 para hallar los posibles valores del parámetro $k$ que cumplen esta condición.

Una empresa de logística analiza la viabilidad de tres rutas de reparto. La matriz de costes asociados $M$ depende de un factor de fluctuación del precio del combustible $t$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & t & 0 \\ t & 1 & t \\ 1 & t & t \end{pmatrix}$$

Se sabe que el sistema logístico se bloquea (la matriz no es inversible) cuando el determinante de $M$ es nulo. Determina para qué valores de $t$ la empresa tendrá problemas de bloqueo en sus rutas.

Resuelve la siguiente ecuación de tercer grado planteada mediante el determinante de una matriz que contiene funciones logarítmicas. Halla el valor de $x$ sabiendo que $x > 0$:

$$\begin{vmatrix} \log(x) & 0 & 0 \\ 1 & \log(x) & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 6$$

(Pista: Desarrolla el determinante y resuelve la ecuación resultante para la variable $\log(x)$).

Demuestra, utilizando las propiedades de los determinantes, que el siguiente determinante es nulo para cualquier valor de las variables $a, b, c$, sin necesidad de aplicar la regla de Sarrus:

$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b+c & a+c & a+b \end{vmatrix}$$

(Sugerencia: Intenta realizar operaciones elementales entre filas para que aparezcan elementos proporcionales).