Ejercicios: Engranajes, correas y cadenas

Explica qué es la relación de transmisión $i$ en un sistema de dos engranajes y escribe su fórmula $i = \frac{Z_1}{Z_2}$, indicando qué representa $Z_1$ y qué representa $Z_2$.

En una bicicleta, los platos están unidos a los pedales y los piñones a la rueda trasera, conectados por la cadena. Explica qué combinación eliges (plato grande o pequeño, piñón grande o pequeño) si quieres avanzar mucho con cada vuelta de pedal, y qué combinación eliges para subir una cuesta empinada, razonando tus respuestas.

La figura muestra dos engranajes dentados en contacto: el de entrada tiene $Z_1 = 12$ dientes y el de salida $Z_2 = 36$ dientes, y el de entrada gira en el sentido de la flecha, como se muestra en la figura.

Sin hacer cálculos, razona: (a) ¿gira el engranaje de salida más deprisa o más despacio que el de entrada? (b) ¿En el mismo sentido o en sentido contrario? (c) ¿Cuántas vueltas da el engranaje de salida por cada vuelta completa del de entrada?

Explica qué es un piñón y en qué se distingue de la rueda dentada con la que engrana (tamaño, número de dientes y papel en la transmisión).

Dos engranajes en contacto giran en sentidos contrarios. Explica por qué ocurre esto y qué podrías añadir al sistema si necesitas que la salida gire en el mismo sentido que la entrada (una rueda intermedia).

Nombra las piezas que forman la transmisión por cadena de una bicicleta (plato, cadena, piñones, desviadores) y explica la función de cada una en una frase.

Explica una diferencia práctica entre transmitir con correa y con cadena (deslizamiento, ruido, mantenimiento) y razona por qué la distribución de un motor de coche se hace con cadena o con correa dentada, nunca con una correa lisa.

Un taladro lleva un reductor de engranajes entre el motor y el portabrocas. Explica qué hace ese reductor con la velocidad y con el par de giro, y por qué el taladro no lleva el motor conectado directamente a la broca.

Un motor lleva un piñón de $Z_1 = 20$ dientes que engrana con una rueda de $Z_2 = 60$ dientes. (a) Calcula la relación de transmisión $i = \frac{Z_1}{Z_2}$. (b) Si el motor gira a $120\ \text{rpm}$, calcula la velocidad de giro de la rueda de salida, sabiendo que $n_2 = n_1 \cdot i$. (c) Indica si se trata de un sistema reductor o multiplicador y justifícalo.

Una polea de $D_1 = 10\ \text{cm}$ de diámetro, unida a un motor que gira a $900\ \text{rpm}$, mueve mediante una correa una polea de $D_2 = 30\ \text{cm}$. Sabiendo que en poleas $i = \frac{D_1}{D_2}$ y que $n_2 = n_1 \cdot i$, calcula la relación de transmisión y la velocidad de la polea conducida, con sus unidades.

Compara engranajes, correa con poleas y cadena con plato y piñón: indica una ventaja y un inconveniente de cada sistema (precisión, deslizamiento, mantenimiento, ruido, distancia entre ejes...) y pon una aplicación real donde destaque cada uno.

En un sistema reductor, lo que se pierde en velocidad se gana en par (idealmente, el par de salida es el par de entrada dividido entre la relación de transmisión). Un motor da un par de $2\ \text{N} \cdot \text{m}$ a $900\ \text{rpm}$ y mueve un reductor de $i = \frac{1}{3}$. (a) Calcula la velocidad de salida. (b) Calcula el par disponible a la salida. (c) Usando ese resultado, explica por qué un tornillo muy apretado se afloja mejor con la marcha lenta del taladro que con la rápida.

Se necesita que un eje gire a $200\ \text{rpm}$ disponiendo de un motor de $1200\ \text{rpm}$. Calcula la relación de transmisión necesaria y propón un par de engranajes concreto (con números de dientes enteros) que la consiga, comprobando numéricamente tu propuesta.

Una polea de $D_1 = 8\ \text{cm}$ mueve mediante una correa otra de $D_2 = 24\ \text{cm}$, con el motor girando a $600\ \text{rpm}$. Calcula la relación de transmisión y la velocidad de la polea conducida, y razona qué pasaría con esa velocidad si la correa patinara un poco (diferencia frente a un engranaje).

Un ventilador industrial necesita girar más rápido que su motor, así que se monta un multiplicador: la entrada lleva $Z_1 = 60$ dientes y la salida $Z_2 = 20$ dientes. Calcula la relación de transmisión y la velocidad de salida si el motor gira a $50\ \text{rpm}$, y cita otro aparato que use un multiplicador de velocidad.

Una bicicleta lleva un plato de 50 dientes y un piñón de 25 dientes. (a) Calcula cuántas vueltas da la rueda trasera por cada vuelta completa de pedal. (b) Si la rueda tiene una circunferencia de $2\ \text{m}$, calcula cuántos metros avanza la bicicleta por vuelta de pedal. (c) Razona qué cambia al pasar a un piñón de 20 dientes, manteniendo el plato.

La figura muestra un tren de engranajes de dos etapas: el primer piñón ($Z_1 = 10$) engrana con una rueda ($Z_2 = 40$); en el mismo eje de esta va solidario otro piñón ($Z_3 = 10$) que engrana con la rueda de salida ($Z_4 = 50$), como se muestra en la figura.

(a) Calcula la relación de transmisión de cada etapa y la relación de transmisión total $i_\text{total} = \frac{Z_1}{Z_2} \cdot \frac{Z_3}{Z_4}$. (b) Si el motor gira a $2000\ \text{rpm}$, calcula la velocidad de la rueda de salida. (c) Indica si la rueda de salida gira en el mismo sentido que el motor o al contrario, y razona por qué este montaje se usa para conseguir grandes reducciones.

Un motor que gira a $1500\ \text{rpm}$ debe mover el tambor de una hormigonera a $50\ \text{rpm}$. Calcula la relación de transmisión total necesaria y propón una combinación concreta de dos etapas de engranajes o poleas que la consiga, comprobando numéricamente que tu propuesta da la velocidad pedida.

Un coche tiene una caja de cambios con varias marchas. Explica, usando el concepto de relación de transmisión y la relación entre velocidad y par ($i$ pequeña → mucho par y poca velocidad; $i$ grande → mucha velocidad y poco par), qué marcha conviene para arrancar en una cuesta y cuál para circular por autopista, y por qué un solo engranaje fijo no serviría.

Un tren de engranajes tiene $Z_1 = 12$ dientes en la entrada, que engrana con $Z_2 = 48$; solidario con esta gira $Z_3 = 12$, que engrana con la rueda de salida $Z_4 = 36$. (a) Calcula la relación de transmisión de cada etapa y la total. (b) Si la entrada gira a $1800\ \text{rpm}$, calcula la velocidad de salida. (c) Indica el sentido de giro de la salida respecto al motor, justificándolo por el número de contactos entre engranajes.

Una batidora tiene un motor de $6000\ \text{rpm}$ y sus cuchillas deben girar a $600\ \text{rpm}$. Calcula la relación de transmisión total necesaria y diseña un reductor de dos etapas (dos pares de ruedas) que la consiga, comprobando numéricamente tu propuesta y explicando por qué se reparte la reducción en dos etapas en vez de usar una sola rueda enorme.

Los ciclistas evitan llevar la cadena «cruzada» (plato grande con piñón grande). Analiza qué problema geométrico y de desgaste tiene esa combinación (ángulo de la cadena respecto a los dientes, rozamiento lateral) y qué combinaciones conviene usar en su lugar para conseguir desarrollos parecidos.

Compara un engranaje de dientes rectos con uno de dientes helicoidales (ruido, esfuerzo axial, fabricación) y explica qué es un sistema tornillo sinfín-corona: qué gran ventaja de reducción ofrece en poco espacio y qué particularidad tiene sobre la reversibilidad (la corona no puede mover al sinfín), con una aplicación donde eso es una ventaja.

Tres engranajes seguidos forman un tren simple: $Z_1 = 10$ engrana con $Z_2 = 40$, y este con $Z_3 = 20$. (a) Calcula la relación de transmisión total entre la entrada y la salida. (b) Demuestra con los números que la rueda intermedia no cambia la relación de transmisión, solo el sentido de giro, y explica para qué se usa entonces una rueda loca intermedia en la práctica (invertir el sentido, salvar distancias entre ejes).