Ejercicios: Leyes de Kirchhoff y mallas

Enuncia con tus palabras la ley de los nudos (o primera ley de Kirchhoff) y explícala con un símil hidráulico: qué ocurre con el caudal de agua en una tubería que se bifurca en dos.

Enuncia con tus palabras la ley de las mallas (o segunda ley de Kirchhoff): al recorrer por completo cualquier camino cerrado de un circuito, la suma de subidas y caídas de tensión vale $\sum V = 0$. Explícala con el símil de un paseo circular por una montaña (se sube y se baja, pero se vuelve a la misma altura).

Define con tus palabras estos tres elementos de la topografía de un circuito: (a) nudo, (b) rama y (c) malla. Pon un ejemplo de cada uno describiendo un circuito sencillo con dos pilas y tres resistencias.

Por un cable llegan $5\ \text{A}$ a un nudo y salen por otra rama $2\ \text{A}$. Aplicando la ley de los nudos ($I_\text{entran} = I_\text{salen}$), calcula qué corriente sale por la tercera rama del nudo y explica el razonamiento.

Un compañero afirma: «la ley de los nudos significa que la carga eléctrica no puede acumularse en un punto del circuito: todo lo que entra tiene que salir». Indica si la afirmación es verdadera o falsa y justifícala físicamente.

Relaciona cada concepto con su definición: (1) nudo, (2) rama, (3) malla, con: (a) tramo de circuito entre dos nudos consecutivos, recorrido por la misma corriente; (b) camino cerrado que empieza y termina en el mismo punto sin pasar dos veces por la misma rama; (c) punto del circuito donde se unen tres o más conductores.

A un nudo llegan $3\ \text{A}$ por un cable y salen $1\ \text{A}$ por una de las dos ramas restantes. Calcula la corriente que sale por la última rama aplicando $I_1 = I_2 + I_3$ y razona por qué no puede salir más corriente de la que entra.

Las reglas de los circuitos serie y paralelo (la corriente es la misma en serie, la tensión es la misma en paralelo) son en realidad casos particulares de las leyes de Kirchhoff. Explica a qué ley corresponde cada una y por qué Kirchhoff sirve para circuitos que no son ni serie ni paralelo.

A un nudo llegan dos cables con $4\ \text{A}$ y $2\ \text{A}$, y salen $5\ \text{A}$ por un tercero. (a) Calcula el valor y el sentido (entra o sale) de la corriente por el cuarto cable. (b) Comprueba el resultado escribiendo $\sum I = 0$ con signos (entrantes positivas, salientes negativas).

En una malla con una pila de $12\ \text{V}$ y dos resistencias se miden caídas de tensión de $5\ \text{V}$ y $7\ \text{V}$. (a) Comprueba que se cumple la ley de las mallas escribiendo la suma con signos. (b) Razona qué ocurriría con la corriente de la malla si las caídas medidas sumaran menos que la tensión de la pila.

En una única malla se conectan, una tras otra, una pila de $12\ \text{V}$, una pila de $4\ \text{V}$ montada en oposición (sus polos positivos enfrentados) y una resistencia total de $8\ \Omega$. (a) Calcula la tensión neta que impulsa la corriente y su valor $I$. (b) Calcula la caída de tensión en la resistencia. (c) Escribe la ecuación de la malla completa, $\sum V = 0$, comprobando que se cumple.

El circuito de la figura tiene dos pilas y tres resistencias repartidas en dos mallas, con las corrientes de rama rotuladas, como se muestra en la figura.

(a) Escribe la ecuación del nudo superior que relaciona las tres corrientes de rama ($I_1$, $I_2$ e $I_3$). (b) Escribe la ecuación de la malla izquierda (la que contiene la pila de $12\ \text{V}$, $R_1$ y $R_3$) aplicando $\sum V = 0$. (c) Escribe la ecuación de la malla derecha. No hace falta resolver el sistema: solo plantearlo.

Un circuito de dos mallas tiene una pila de $6\ \text{V}$ con $R_1 = 1\ \Omega$ en la rama izquierda, una pila de $4\ \text{V}$ con $R_2 = 2\ \Omega$ en la rama derecha y $R_3 = 2\ \Omega$ en la rama común. Llamando $I_1$ e $I_2$ a las corrientes de las ramas laterales e $I_3 = I_1 + I_2$ a la de la rama común, plantea (sin resolver) las tres ecuaciones de Kirchhoff del circuito: la del nudo y las de las dos mallas.

Por una rama formada por una pila de $12\ \text{V}$ (recorrida de su polo negativo al positivo) y una resistencia de $3\ \Omega$ circula una corriente de $2\ \text{A}$. Calcula la diferencia de tensión entre los extremos de la rama recorriéndola en el sentido de la corriente (sube $12\ \text{V}$ en la pila y cae $I \cdot R$ en la resistencia) y explica cada término de tu cálculo.

Entre dos nudos hay dos ramas en paralelo: por la primera, de resistencia $2\ \Omega$, circulan $6\ \text{A}$. (a) Aplicando la ley de los nudos, calcula la corriente de la segunda rama si por el cable común llegan $9\ \text{A}$. (b) Calcula la resistencia de esa segunda rama sabiendo que ambas soportan la misma tensión. (c) Explica con la ley de los nudos y la ley de Ohm por qué la rama de menor resistencia se lleva más corriente.

Un compañero afirma haber resuelto un circuito de dos mallas (pila de $12\ \text{V}$ con $R_1 = 3\ \Omega$, pila de $8\ \text{V}$ con $R_2 = 2\ \Omega$ y $R_3 = 2\ \Omega$ en la rama común) y dice que las corrientes son $I_1 = 2\ \text{A}$, $I_2 = 1\ \text{A}$ e $I_3 = 3\ \text{A}$. Comprueba si su solución es correcta verificando, con los números dados: (a) la ley del nudo y (b) la ley de las dos mallas.

Un circuito de dos mallas tiene una pila de $14\ \text{V}$ en serie con $R_1 = 2\ \Omega$ en la rama izquierda, una pila de $9\ \text{V}$ en serie con $R_2 = 1\ \Omega$ en la rama derecha y $R_3 = 2\ \Omega$ en la rama común. (a) Plantea el sistema de ecuaciones de Kirchhoff con las corrientes de rama $I_1$ e $I_2$ (la corriente de la rama común es $I_1 + I_2$). (b) Resuélvelo y da las tres corrientes con su unidad. (c) Comprueba la solución verificando el nudo y una de las mallas.

El circuito de la figura tiene dos pilas en las ramas laterales y una resistencia en la rama común, con la corriente de esa rama marcada con una interrogación, como se muestra en la figura.

(a) Plantea el sistema de ecuaciones de Kirchhoff del circuito. (b) Resuélvelo y calcula las tres corrientes de rama, en particular la de la rama común marcada en la figura. (c) Comprueba el resultado con la ley de los nudos.

Para cargar una batería de $6\ \text{V}$ se conecta en oposición con un cargador de $12\ \text{V}$ a través de una resistencia limitadora de $3\ \Omega$, formando una única malla. (a) Calcula la corriente de carga, $I = \frac{12 - 6}{3}$. (b) Calcula la potencia que entrega el cargador, la que absorbe la batería y la que disipa la resistencia ($P = V \cdot I$ en cada elemento). (c) Comprueba que la potencia entregada es la suma de las absorbidas y explica qué significa ese balance.

En un circuito de dos mallas, la rama izquierda tiene una pila de $20\ \text{V}$ con $R_1 = 4\ \Omega$, la derecha una pila de $18\ \text{V}$ con $R_2 = 6\ \Omega$ y la común $R_3 = 4\ \Omega$. (a) Plantea y resuelve el sistema de Kirchhoff. (b) Con las corrientes obtenidas, calcula la potencia que entrega cada pila y la que disipa cada resistencia. (c) Comprueba que la potencia total entregada coincide con la disipada y razona por qué tiene que ser así siempre.

Una pila real de $12\ \text{V}$ tiene una resistencia interna de $0{,}5\ \Omega$, que puede dibujarse en serie con ella. (a) Al conectarle una carga de $5{,}5\ \Omega$, calcula la corriente del circuito y la tensión que se mediría en los bornes de la pila (ya no son $12\ \text{V}$). (b) Explica por qué la tensión en bornes baja al aumentar la corriente. (c) Razona qué ocurriría con esa tensión si la carga fuera un cortocircuito y por qué es peligroso.

Un circuito tiene solo dos nudos unidos por tres ramas: la primera con una pila de $12\ \text{V}$ y $2\ \Omega$, la segunda con una resistencia de $6\ \Omega$ y la tercera con una pila de $4\ \text{V}$ y $1\ \Omega$. (a) Explica por qué este circuito no puede resolverse asociando resistencias en serie y en paralelo (hay más de una fuente repartida en ramas distintas). (b) Plantea las ecuaciones de Kirchhoff necesarias para resolverlo, definiendo antes las corrientes de rama con su sentido. (c) Indica cuántas ecuaciones independientes hacen falta y por qué.

En el circuito de la figura, con dos pilas y tres resistencias iguales de $1\ \Omega$, se han medido las corrientes de las ramas laterales, como se muestra en la figura.

(a) Calcula la corriente de la rama común aplicando solo la ley de los nudos, sin resolver ningún sistema. (b) Con las tres corrientes conocidas, calcula la caída de tensión en cada resistencia. (c) Comprueba que las medidas son coherentes verificando la ley de las mallas en las dos mallas del circuito.

Dos pilas de distinta tensión, $6\ \text{V}$ y $4\ \text{V}$, con resistencia interna de $0{,}5\ \Omega$ cada una, se conectan en paralelo (positivo con positivo) sin ninguna carga exterior. (a) Dibuja el circuito equivalente y calcula, aplicando Kirchhoff a la malla que forman las dos pilas, la corriente que circula entre ellas incluso sin carga. (b) Calcula la potencia que disipa esa corriente en las resistencias internas. (c) Usa el resultado para explicar por qué nunca deben conectarse en paralelo pilas o baterías de distinta tensión.