Ejercicios: Módulo y dirección de un vector. Aplicaciones

Calcula el módulo del vector $\vec{v} = (3, -4)$.

Halla la distancia exacta entre los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -3)$.

Obtén un vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que el vector $\vec{w} = (-5, 12)$.

Determina la pendiente (que indica la dirección) del vector que une los puntos $P(1, -4)$ y $Q(3, 8)$.

Un dron se desplaza en línea recta según el vector $\vec{d} = (k, 6)$. Si la distancia total recorrida es de $10$ metros, calcula los posibles valores del parámetro $k$.

Comprueba analíticamente si los vectores $\vec{u} = (2, -5)$ y $\vec{v} = (-4, 10)$ tienen la misma dirección. En caso afirmativo, indica si tienen el mismo sentido o sentidos opuestos.

Encuentra las componentes de un vector de módulo $7$ que tenga la dirección del eje de ordenadas y sentido negativo.

Un jugador de ajedrez mueve su peón desde la casilla representada por el punto $(1, 2)$ hasta la casilla $(1, 4)$, y a continuación mueve un caballo desde $(1, 4)$ hasta $(3, 5)$. Calcula el módulo del vector desplazamiento total de la pieza desde su posición inicial hasta la final.

Halla las coordenadas de un vector $\vec{v}$ sabiendo que su módulo es $5\sqrt{2}$ y que tiene la misma dirección y sentido que el vector $\vec{u} = (-1, 1)$.

Una embarcación se encuentra en el punto $A(2, -1)$ y se desplaza en línea recta una distancia de $13$ millas náuticas. Si el vector director de su trayectoria es proporcional a $\vec{d} = (5, 12)$ y se mueve en el mismo sentido que $\vec{d}$, determina las coordenadas exactas del punto de llegada.

Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas coplanarias representadas por los vectores $\vec{F}_1 = (30, -40)$ N y $\vec{F}_2 = (-15, 20)$ N. Calcula el módulo de la fuerza resultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ y determina un vector unitario en la dirección de dicha resultante.

Calcula el perímetro exacto del triángulo cuyos vértices se encuentran en las coordenadas $A(-1, 2)$, $B(3, 5)$ y $C(5, -1)$.

En una simulación de física, una partícula parte del origen de coordenadas y se mueve con un vector velocidad constante $\vec{v} = (3, 4)$ m/s durante $2$ segundos. Inmediatamente después, cambia su velocidad a $\vec{w} = (-1, 2)$ m/s y mantiene este movimiento durante $3$ segundos más. Calcula a qué distancia del origen se encuentra la partícula al finalizar su recorrido.

Determina las coordenadas de los puntos situados sobre el eje de abscisas que se encuentran a una distancia exacta de $5$ unidades del punto $P(-2, 3)$.

Un arquitecto está diseñando un tejado inclinado. El perfil del tejado sigue la dirección del vector $\vec{u} = (4, 3)$. Si por restricciones de la estructura la longitud total del perfil debe ser de $8,5$ metros, halla las componentes del vector que representa este perfil.

Dos cables tiran de la parte superior de un poste. El primer cable ejerce una fuerza representada por el vector $\vec{T}_1 = (120, 160)$ N. El segundo cable ejerce una fuerza $\vec{T}_2$ de módulo $150$ N, que tiene la misma dirección pero sentido opuesto a $\vec{T}_1$. Halla las componentes exactas del vector $\vec{T}_2$.

Tres fuerzas coplanarias mantienen un objeto en equilibrio estático en el origen de coordenadas (es decir, la fuerza resultante es el vector nulo). Se conocen las componentes de dos de ellas: $\vec{F}_1 = (40, 30)$ N y $\vec{F}_2 = (-20, 50)$ N. Calcula las componentes de la tercera fuerza $\vec{F}_3$ y su módulo exacto.

Un avión vuela con una velocidad respecto al aire dada por el vector $\vec{v}_a = (250, 150)$ km/h. En esa zona, el viento sopla con una velocidad representada por $\vec{v}_v = (k, -50)$ km/h. Si sabemos que la velocidad real del avión respecto al suelo, calculada como $\vec{v}_r = \vec{v}_a + \vec{v}_v$, tiene un módulo exacto de $300$ km/h, determina los posibles valores del parámetro $k$.

Dados los puntos $A(1, 2)$ y $B(m, m-1)$, halla el valor o valores reales de $m$ para que la distancia rectilínea entre $A$ y $B$ sea exactamente de $5$ unidades.

Un robot explorador se encuentra inicialmente en el punto $A(-3, 2)$. Se le programa para avanzar en línea recta en la dirección y sentido del vector $\vec{u} = (2, -1)$ hasta alcanzar un punto $B$, de forma que la distancia $AB$ sea igual a $4\sqrt{5}$. Seguidamente, gira y avanza en la dirección y sentido del vector $\vec{w} = (1, 2)$ una distancia de $3\sqrt{5}$ hasta detenerse en el punto $C$. Calcula las coordenadas exactas de los puntos $B$ y $C$.

Encuentra analíticamente todos los vectores $\vec{v} = (x, y)$ de módulo $\sqrt{10}$ que cumplan la condición de que la suma de sus dos componentes sea exactamente $4$.

En un plano de coordenadas de un videojuego, el personaje principal se encuentra en la posición $P(-4, 1)$. Debe recoger una moneda situada en un punto $Q$ que pertenece a la recta que pasa por los puntos $R(0, 5)$ y $S(2, 7)$. Si el personaje se desplaza exactamente $3\sqrt{2}$ unidades en línea recta para llegar a $Q$, halla las posibles coordenadas donde se encuentra la moneda.

Considera un romboide $ABCD$ del cual se conocen tres de sus vértices: $A(0, 0)$, $B(6, 2)$ y $D(2, 4)$. Calcula las coordenadas del vértice $C$, obtén el módulo de sus dos diagonales y justifica analíticamente si se trata o no de un rombo (es decir, si tiene todos sus lados iguales).

Una señal luminosa parte del punto $A(0, 4)$ con un vector director $\vec{d} = (2, -1)$. Al llegar al eje de abscisas en un punto $P$, se refleja cambiando su dirección y sentido según el nuevo vector director $\vec{d}' = (2, 1)$. Si la señal continúa su trayectoria hasta chocar con la recta vertical $x = 12$ en un punto $Q$, calcula la distancia total recorrida por la luz desde $A$ hasta $Q$.