Ejercicios: Función trigonométrica

Determina el dominio y el recorrido (imagen) de la función trigonométrica $f(x) = -4\cos(x) + 2$.

Calcula el período de la función $g(t) = \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)$.

Halla los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) de la función $h(x) = 2\sin(x) - 1$ en el intervalo $[0, 2\pi]$.

Estudia la simetría (par, impar o ninguna) de las siguientes funciones trigonométricas:

• $f(x) = x^2 \sin(x)$

• $g(x) = \cos(x) + x^4$

Evalúa la función $f(x) = \tan(x)$ en los siguientes valores exactos expresados en radianes:

• $x = \frac{3\pi}{4}$

• $x = \frac{5\pi}{3}$

Calcula el valor exacto en radianes de las siguientes expresiones con funciones trigonométricas inversas, sin utilizar la calculadora:

• $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

• $\arccos(0)$

• $\arctan(\sqrt{3})$

Dada la función $y = 5 - 3\sin(2x)$, identifica su amplitud y su desplazamiento vertical respecto a la función seno básica.

Escribe la expresión analítica de una función del tipo $f(x) = A\cos(Bx)$ sabiendo que su amplitud es $5$ y su período es $4\pi$.

La altura $h$ (en metros) a la que se encuentra una cabina de una noria respecto al suelo en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la gráfica adjunta.

A partir de la gráfica, determina la expresión analítica de la función en la forma $h(t) = A\cos(Bt) + C$. Justifica el valor de los parámetros $A$, $B$ y $C$.

La profundidad del agua $d$ (en metros) en la entrada de un puerto varía con las mareas y se puede modelizar mediante la función $d(t) = 12 + 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, donde $t$ es el tiempo en horas transcurrido desde la medianoche ($t=0$).

• ¿Cuál es la profundidad máxima y mínima del agua en el puerto?

• ¿A qué horas del día se alcanza la profundidad máxima por primera y segunda vez?

Encuentra la expresión analítica de la función $f(x) = A\sin(Bx) + C$ sabiendo que:

• Su valor máximo es $4$ y su valor mínimo es $-2$.

• Su período es $\pi$.

• Pasa por el punto $(0, 1)$ y es creciente en ese instante.

Determina el dominio de la función $f(x) = \frac{1}{2\cos(x) - 1}$ en el intervalo $[0, 2\pi]$.

El voltaje $V$ (en voltios) de un circuito de corriente alterna en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dado por $V(t) = 311\sin(100\pi t)$.

• Calcula la frecuencia de la corriente (número de ciclos completos por segundo).

• Determina el primer instante $t > 0$ en el que el voltaje alcanza su valor máximo de $311$ V.

Una cámara de seguimiento está situada a $50\text{ m}$ de la base de lanzamiento de un cohete. El cohete asciende verticalmente.

• Expresa el ángulo de elevación $\theta$ de la cámara como una función trigonométrica inversa de la altura $h$ del cohete.

• Calcula el ángulo de elevación exacto (en radianes y grados) cuando el cohete se encuentra a una altura de $50\sqrt{3}\text{ m}$.

La posición de un peso suspendido de un muelle que oscila verticalmente se modeliza mediante la función $y(t) = -5\cos(4\pi t)$, donde $y$ es el desplazamiento en cm respecto a la posición de equilibrio ($y=0$) y $t$ es el tiempo en segundos.

• ¿Cuál es la amplitud y el período del movimiento?

• ¿En qué instante $t > 0$ pasa el peso por primera vez por la posición de equilibrio?

Dada la función $f(x) = 2\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + \pi$:

• Determina su dominio.

• Determina su recorrido (imagen).

En una ciudad, el número de horas de luz solar a lo largo del año se puede aproximar mediante una función del tipo $L(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$, donde $t$ es el día del año ($t=1$ es el 1 de enero).

Sabiendo que el día con más horas de luz es el 21 de junio ($t=172$) con $15$ horas, y el día con menos horas de luz es el 21 de diciembre ($t=355$) con $9$ horas:

• Halla los valores de los parámetros $A$, $C$ y $D$.

• Estima el número de horas de luz el 21 de marzo ($t=80$).

Dadas las funciones $f(x) = \sin(2x)$ y $g(x) = \sin(x)$ representadas en la gráfica adjunta en el intervalo $[0, 2\pi]$.

Calcula analíticamente las coordenadas exactas de todos los puntos de intersección entre ambas curvas en el intervalo $[0, 2\pi]$. (Pista: utiliza la identidad del seno del ángulo doble).

Halla los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ (con $a > 0$ y $b > 0$) de la función $f(x) = a\sin(bx) + c$ sabiendo que:

• El valor máximo de la función es $10$.

• El valor mínimo de la función es $2$.

• El período de la función es $\frac{\pi}{2}$.

Determina el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\cos(x)} + \ln(\sin(x))$ restringido al intervalo $[0, 2\pi]$.

Resuelve analíticamente la ecuación trigonométrica inversa: $\arcsin(x) = \arccos(x)$.

Las ventas mensuales $S$ (en miles de unidades) de un producto estacional se modelizan mediante la función $S(t) = 120 + 20t + 50\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, donde $t$ es el tiempo en meses ($t=0$ corresponde a enero).

• Calcula las ventas en enero ($t=0$) y en julio ($t=6$).

• Demuestra analíticamente si las ventas en julio son mayores o menores que en enero y calcula la diferencia exacta.

Expresa la función $f(x) = \sqrt{3}\sin(x) + \cos(x)$ en la forma $f(x) = A\sin(x + \alpha)$. A partir de esta nueva expresión, indica la amplitud y el desfase de la función.

Se inscribe un rectángulo dentro de un semicírculo de radio $R = 10\text{ cm}$, de modo que su base descansa sobre el diámetro del semicírculo, como muestra la figura.

Sea $\theta$ el ángulo que forma el radio trazado hasta un vértice superior del rectángulo con el diámetro.

• Expresa el área del rectángulo en función del ángulo $\theta$. (Pista: usa la fórmula del seno del ángulo doble).

• ¿Para qué valor de $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ el área del rectángulo es máxima y cuál es dicho valor máximo?