Ejercicios: Función con raíces

Determina el dominio de definición de la siguiente función con raíz de índice par:

$f(x) = \sqrt{3x - 12}$

Calcula el dominio de definición de la función con raíz de índice impar:

$g(x) = \sqrt[3]{2x^2 - 8x + 1}$

Halla el dominio de la función cuadrática bajo una raíz cuadrada:

$h(x) = \sqrt{16 - x^2}$

Encuentra los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función:

$f(x) = \sqrt{x + 9} - 3$

A partir de la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ cuya gráfica se obtiene al desplazar $f(x)$ tres unidades hacia la izquierda y dos unidades hacia arriba. ¿Cuál es el dominio de $g(x)$?

La relación entre el área $A$ de un círculo y su radio $r$ viene dada por la fórmula $A = \pi r^2$. Expresa el radio en función del área, $r(A)$, e indica el dominio de definición válido en este contexto geométrico.

Halla el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional:

$f(x) = \sqrt{\frac{x - 2}{x + 5}}$

Determina el dominio y el recorrido de la función con coeficiente principal negativo:

$f(x) = -\sqrt{x - 1}$

El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple se puede aproximar mediante la función $T(L) = 2\pi\sqrt{\frac{L}{9,8}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros. Calcula la longitud necesaria para que el periodo sea exactamente de $2$ segundos e indica el dominio teórico de la función $T(L)$ en este contexto físico.

Halla el dominio de definición de la función formada por la suma de dos raíces:

$f(x) = \sqrt{x + 4} + \sqrt{6 - 2x}$

Calcula los puntos de intersección entre la función irracional $f(x) = \sqrt{2x + 5}$ y la función afín $g(x) = x + 1$.

Determina el dominio de la función irracional cuyo radicando es una fracción algebraica con un numerador cuadrático:

$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 9}{x - 1}}$

El coste de producción $C(x)$, en euros, de $x$ piezas de un componente electrónico para satélites sigue un modelo de rendimientos decrecientes dado por $C(x) = 2500 + 120\sqrt{x - 50}$. Determina el dominio válido para la función de costes y calcula cuántas piezas se han fabricado si el coste total ha ascendido a $4900$ euros.

Dada la función $f(x) = 3 + \sqrt{2x - 4}$, determina su función inversa $f^{-1}(x)$ e indica el dominio y el recorrido de dicha función inversa.

Calcula el dominio de la función que contiene una raíz de índice par en el denominador:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x^2 - 5x + 6}}$

Observa la gráfica adjunta que representa una función de la forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$. Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que el vértice de la semiparábola se encuentra en el punto $(2, 1)$ y pasa por el punto $(6, -3)$.

Determina los valores del parámetro $k$ para los cuales el dominio de la función $f(x) = \sqrt{x^2 + kx + 9}$ es todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.

En la teoría de la relatividad especial, el factor de Lorentz $\gamma$ depende de la velocidad $v$ de un objeto según la función $\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío (aproximadamente $3 \cdot 10^8$ m/s). Determina el dominio de la función $\gamma(v)$ e interpreta físicamente qué ocurre con la función cuando $v$ se acerca a los extremos de dicho dominio.

Halla el dominio de definición de la función anidada:

$f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{x - 3}}$

Se inscribe un rectángulo en la región delimitada por el eje de abscisas y la semicircunferencia superior de radio $R = 5$, cuya ecuación es $y = \sqrt{25 - x^2}$. Expresa el perímetro del rectángulo $P(x)$ en función de la coordenada $x$ del vértice situado en el primer cuadrante. Determina el dominio válido de $P(x)$ en este contexto geométrico y calcula su valor para $x = 3$.

Determina el dominio de la función irracional que contiene una expresión racional donde el numerador y el denominador comparten raíces:

$f(x) = \sqrt{\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^2 + x - 2}}$

Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, calcula su función inversa $f^{-1}(x)$ restringiendo el dominio original al intervalo $(-\infty, 0]$. Indica claramente el dominio y recorrido de la función inversa obtenida.

Resuelve la inecuación asociada al dominio de la función $f(x) = \sqrt{\sqrt{x + 7} - x - 1}$ y exprésalo en forma de intervalo.

Una empresa de ingeniería estima que los ingresos $I(x)$ y los costes $C(x)$ diarios, en miles de euros, al fabricar $x$ toneladas de un material compuesto vienen dados por $I(x) = x\sqrt{40 - x}$ y $C(x) = 2x + 5$. Determina el dominio de la función beneficio $B(x) = I(x) - C(x)$ en el contexto del problema y calcula si la empresa obtiene ganancias o pérdidas al fabricar $15$ toneladas.