Ejercicios: Combinatoria

Un restaurante ofrece en su menú del día $4$ primeros platos, $5$ segundos platos y $3$ postres. Calcula cuántos menús completos diferentes (compuestos por un primero, un segundo y un postre) puede pedir un cliente.

Calcula de cuántas formas distintas se pueden colocar $6$ libros de texto diferentes en línea sobre una estantería.

Una asociación de robótica tiene $12$ miembros. Determina de cuántas formas distintas se puede elegir una junta directiva formada por un presidente, un vicepresidente y un secretario, sabiendo que una misma persona no puede ocupar más de un cargo.

Una profesora de tecnología debe seleccionar a $4$ estudiantes de una clase de $20$ para que asistan a una feria de ciencias. Calcula cuántos grupos diferentes de representantes se pueden formar.

Calcula el número de anagramas distintos, tengan o no sentido, que se pueden formar con todas las letras de la palabra $INGENIERIA$.

Un candado digital de una bicicleta se abre mediante una clave de $4$ dígitos (del $0$ al $9$). Determina cuántas claves diferentes se pueden configurar si está permitido repetir los dígitos.

En un plano se han marcado $8$ puntos, de los cuales no hay tres alineados. Determina cuántas rectas distintas se pueden trazar uniendo pares de estos puntos.

De una baraja española de $40$ cartas, se extraen $3$ cartas al azar y sin reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean de la figura "Rey".

Siete amigos van al cine y se sientan en una fila de $7$ butacas. Dos de ellos, Ana y Bruno, quieren sentarse juntos obligatoriamente. Calcula de cuántas formas distintas pueden ocupar los asientos.

Un equipo de investigación biomédica debe estar formado por $5$ personas. Los candidatos disponibles son $6$ biólogos y $4$ químicos. Determina cuántos equipos distintos se pueden formar si en el equipo debe haber exactamente $3$ biólogos y $2$ químicos.

Un lote de $20$ microchips contiene $4$ defectuosos. Si se seleccionan al azar $3$ microchips sin reemplazamiento para una inspección, calcula la probabilidad de que exactamente $1$ de ellos sea defectuoso.

Un sistema de seguridad requiere una contraseña formada por $2$ letras vocales distintas seguidas de $3$ dígitos distintos (del $0$ al $9$). Calcula cuántas contraseñas diferentes se pueden configurar bajo estas condiciones.

Las letras de la palabra $AEROPUERTO$ se desordenan al azar para formar un nuevo anagrama. Calcula la probabilidad de que la nueva palabra empiece y termine por la letra $O$.

En un torneo de ajedrez en el que cada participante juega exactamente una partida contra cada uno de los demás jugadores, se han disputado un total de $105$ partidas. Determina el número de jugadores que participaron en el torneo.

De una baraja francesa de $52$ cartas se reparte una mano de $5$ cartas. Calcula la probabilidad de que el jugador obtenga exactamente $3$ Ases en su mano inicial.

Una urna contiene $5$ bolas rojas, $4$ bolas azules y $3$ bolas verdes. Si se extraen $3$ bolas simultáneamente al azar, calcula la probabilidad de que todas sean de distinto color.

Una empresa tecnológica va a formar un comité de ciberseguridad de $6$ expertos elegidos entre $8$ ingenieros de software y $7$ analistas de redes. Calcula cuántos comités diferentes se pueden formar si en el grupo debe haber al menos $4$ ingenieros de software.

Resuelve la siguiente ecuación combinatoria para hallar el valor natural de $n$:

$3 \cdot V_{n, 3} = 4 \cdot V_{n-1, 3}$

Cuatro hombres y cuatro mujeres van a sentarse a cenar alrededor de una mesa circular. Determina de cuántas formas distintas pueden sentarse si las personas del mismo sexo no pueden estar juntas (es decir, hombres y mujeres deben estar alternados). Considera que dos disposiciones son iguales si una se puede obtener rotando la otra.

En un proceso de control de calidad, se extrae una muestra aleatoria de $5$ piezas de una línea de producción que contiene un total de $50$ piezas, de las cuales el $10\%$ son defectuosas. Calcula la probabilidad de encontrar como máximo $1$ pieza defectuosa en la muestra extraída.

Un inversor desea repartir $10\,000$ euros entre $4$ empresas emergentes (startups). Si la inversión en cada empresa debe ser un múltiplo exacto de $1\,000$ euros (incluyendo la posibilidad de invertir $0$ euros en alguna de ellas), determina de cuántas formas distintas puede distribuir el capital.

Se extraen $5$ cartas al azar de una baraja francesa de $52$ cartas. Calcula la probabilidad de obtener un "Full House", es decir, una mano formada por $3$ cartas de un mismo valor y $2$ cartas de otro valor distinto.

En una ciudad cuyas calles forman una cuadrícula perfecta, calcula cuántos caminos de longitud mínima existen para ir desde el punto $A(0,0)$ hasta el punto $B(6,5)$, pasando obligatoriamente por la intersección $C(3,2)$.

La Agencia Espacial Europea debe asignar a $12$ astronautas en $3$ módulos espaciales distintos (Módulo de Mando, Módulo Lunar y Módulo de Servicio). Calcula de cuántas formas distintas se pueden distribuir a los tripulantes si cada módulo debe alojar exactamente a $4$ astronautas.