Ejercicios: Sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra escalonado, utilizando el método de sustitución hacia atrás:

$x + 2y - z = 4$

$3y + z = 5$

$2z = 4$

Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$x - y + z = 2$

$2x + y - z = 1$

$x + 2y + z = 7$

Comprueba si la terna $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ es solución del siguiente sistema. Justifica tu respuesta.

$3x + y - z = 0$

$x - 2y + z = 5$

$2x + y + z = 3$

La suma de tres números es $12$. El primero más el segundo suman $7$. El segundo más el tercero suman $9$. Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y determina el valor de dichos números.

Triangula el siguiente sistema mediante el método de Gauss e indica si es un Sistema Incompatible (SIN):

$x + y + z = 1$

$2x + y - z = 0$

$3x + 2y = 5$

Resuelve el siguiente sistema donde en cada ecuación falta una incógnita:

$x + y = 5$

$y + z = 7$

$x + z = 6$

Aplica el método de Gauss al siguiente sistema y comprueba que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI) al obtener una ecuación del tipo $0 = 0$:

$x - y + 2z = 3$

$-2x + 2y - 4z = -6$

$3x - 3y + 6z = 9$

Escribe un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya única solución sea la terna $x = 2$, $y = 0$, $z = -1$.

En una cafetería se venden tres tipos de bocadillos: de jamón, de queso y de tortilla. Un grupo de amigos pide $3$ de jamón, $2$ de queso y $1$ de tortilla, pagando $14$ euros. Otro grupo pide $2$ de jamón, $1$ de queso y $3$ de tortilla, pagando $13$ euros. Un tercer grupo pide $1$ de jamón, $3$ de queso y $2$ de tortilla, pagando $15$ euros. Plantea y resuelve un sistema para calcular el precio de cada tipo de bocadillo.

La edad de un abuelo, su hijo y su nieto suman $120$ años. El abuelo tiene exactamente el doble de años que el hijo. Además, el hijo es $30$ años mayor que el nieto. Determina la edad de cada uno de ellos planteando un sistema de tres ecuaciones.

Resuelve el siguiente sistema compatible indeterminado y expresa sus infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:

$x + 2y - z = 4$

$2x - y + 3z = 3$

$3x + y + 2z = 7$

En un partido de baloncesto, un jugador ha anotado un total de $15$ canastas, consiguiendo $31$ puntos. Sabiendo que el número de canastas de dos puntos es el triple que el de canastas de tres puntos, y que también ha anotado tiros libres (que valen un punto), plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas canastas de cada tipo ha encestado.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales que contiene coeficientes fraccionarios. Simplifica las ecuaciones antes de aplicar el método de Gauss:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z = 1$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 2$

$\frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} = 3$

Encuentra el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible:

$x + y - z = 2$

$2x - y + z = 1$

$3x + y - z = k$

Tres máquinas A, B y C fabrican piezas en una industria. Trabajando juntas, la máquina A y la B fabrican $50$ piezas por hora. La máquina B y la C fabrican juntas $70$ piezas por hora. Finalmente, la máquina A y la C fabrican juntas $60$ piezas por hora. Calcula cuántas piezas por hora fabrica cada máquina individualmente.

En un triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores $A$, $B$ y $C$ es $180^{\circ}$. El ángulo $A$ es igual a la suma de los ángulos $B$ y $C$. Además, el ángulo $B$ es el doble del ángulo $C$. Plantea un sistema de tres ecuaciones y determina la medida de los tres ángulos.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$. Indica para qué valores de $m$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.

$x + y + z = 1$

$x + my + z = m$

$x + y + m^{2}z = m^{2}$

La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el número original. Además, la cifra de las decenas es la media aritmética de las cifras de las centenas y de las unidades. Encuentra el número original. (Nota: Un número de tres cifras $c$, $d$, $u$ tiene un valor de $100c + 10d + u$).

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$

$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 7$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 6$

Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Observa la siguiente representación gráfica donde tres planos se intersecan a lo largo de una única recta, formando un haz de planos.

Dado el sistema:

$\pi_{1}: x + 2y - z = 3$

$\pi_{2}: 2x - y + z = 1$

$\pi_{3}: 4x + 3y - z = k$

Calcula el valor de $k$ para que los tres planos se corten en una única recta (Sistema Compatible Indeterminado con un grado de libertad) y expresa la ecuación paramétrica de dicha recta de intersección.

Una empresa de transportes adquiere tres tipos de vehículos: furgonetas, camiones ligeros y camiones pesados. Se sabe que el número total de vehículos adquiridos es $30$. El coste de cada furgoneta es de $20.000$ euros, el de cada camión ligero $30.000$ euros y el de cada camión pesado $50.000$ euros. Si la inversión total ha sido de $850.000$ euros, plantea el sistema y demuestra que es un Sistema Compatible Indeterminado. Luego, encuentra todas las soluciones enteras posibles sabiendo que la empresa ha comprado al menos un vehículo de cada tipo.

Se dispone de tres aleaciones de plata, cobre y zinc. La primera contiene un $10\%$ de plata, un $70\%$ de cobre y un $20\%$ de zinc. La segunda contiene un $30\%$ de plata, un $40\%$ de cobre y un $30\%$ de zinc. La tercera contiene un $20\%$ de plata, un $50\%$ de cobre y un $30\%$ de zinc. Queremos obtener $100$ kg de una nueva aleación que contenga exactamente un $22\%$ de plata y un $52\%$ de cobre. Plantea el sistema de ecuaciones para calcular cuántos kilogramos de cada aleación debemos mezclar y resuélvelo.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea Compatible Indeterminado:

$x - y + 2z = 1$

$2x + ay - z = 3$

$3x + y + bz = 4$

Demuestra algebraicamente que si un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas admite dos soluciones distintas, por ejemplo $S_{1} = (1, 0, 0)$ y $S_{2} = (0, 1, 0)$, entonces admite infinitas soluciones. Para ello, comprueba que cualquier combinación lineal de la forma $S = \lambda S_{1} + (1-\lambda)S_{2}$ también es solución del sistema.